北师大版高中数学选修2-1同步习题课(三)圆锥曲线与方程

1、习题课（三）圆锥曲线与方程产 丫21.已知双曲线全一方=1（。>0,历>。）的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是（A. 2B.<3仁3C.yjlD.2解析：选C 由题可知与=一互相垂直，可得一瞿=-1，则g=A.由离心率ci a2+b2的计算公式，可得/=曜=2 =2, e=y2.2.已知尸是抛物线y=52的焦点，尸是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程 是（）A. x2=2ylB. x2=2yC. x2=j1D. x2=2y2解析：选A 焦点为尸（0,1）,设P（p, q）,则p2=M.设0（%刃是线段尸产的中点，则x=§, 受，即p=2r, g=2j

2、1,代入p2=4q 得，（2x）2=4（2j1）,即 x2=2y-l.3.已知直线=心+1与双曲线/一;=1交于A, 8两点，且IA加=86，则实数的 值为（）A. ±ftB.或C. ±3D.解析：选B 由直线与双曲战交于A, 8两点，得女。±2.将j=b+l代入户号=1得（4 k2）x2-2kx5=0t 则 J=4Ar2+4（4Ar2）X5>0, A2V5.设 A（xit 力），B（x2,力），则不+小 =吕，*卢2=一言声，所以区初=，1转（吕，?+普7=8，i,解得k=±口或雪L4 .我们把由半椭圆点+方=1（x20）与半椭圆方+/= l（x

3、<0）合成的曲外 线称作“果圆”（其中。2=炉+°2,。动“>0）,如图所示，其中点后，F 尸2是相应椭圆的焦点.若EEF2是边长为1的等边三角形，则。，力的 值分别为（）B.<3, 1D. 5,4C. 5,3解析：选 A VIOF2I =yjb2c2t OF0=c =iOF2 ='> .,力=1, *,a2=b2+c2=l,3 7” 皮 +=不得o=亍5 .如图，Fi,乃是椭圆G：彳+"=1与双曲线。2的公共焦点，A,8分别是Ci, C2在第二、四象限的公共点.其四边形AF1B为矩形, 则G的离心率是（）A.a/2B .小舄D得解析：选D焦

4、点解（一6,O）, B（小，0）,在 RtAAFi尸2 中,IAFiI+L4F2I=4,L4FiI2+L4F2I2=12,所以可解得L4尸2L4尸il =26，故。=近，所以双曲线的高心率，e=坐 选d.26 .若过点4（0,力）（>1）的两条直线八和，2与椭圆E:友+必=1都只有一个交点，且人 ±/2,则h的值为（）A.小B.<5C. 2D.V6解析：选A 由题意知,，2的斜率都存在且不为0.设八：y=h+A,则由/1U2,知，2：了=一,+儿 将八：y=kx+h代入*"+2=1得*+（匕+人）2=1, 即（1+2公八2+4幼x+2/ 一 2=o,由八与椭圆E

5、只有一个交点知j = 16-4（1+2/12）（2/2-2）=0,即 l+2=/2.2同理，由与椭圆E只有一个交点知，1+"=/，得我=2,即42=,从而/?2=1+”2 = 3,即h=小.7 .已知双曲线一£=1（。>0,力>0）的实轴长为4,离心率为小，则双曲线的方程为解析：因为双曲线圣一色=1(。0,力0)的实轴长为4, 所以。=2,由离心率为造，可得;=由，c=2啊所以力=4。202=q204=4, 则双曲线的方程为?一斡=1.答案:4-U=12tt242/4-4书=FF-8 .已知A(0, -4), 3(3,2),抛物线=/上的点到直线从3的最短距离为

6、解析：直线A3为2r-j-4=0,设施物线=12上的点尸“，?)，d=«一»+3、33 小= 小林=5 *答案：挈9 .已知产是抛物线C )2=81r的焦点，”是。上一点，的延长线交)，轴于点N.若 M为FN的中点，则炉Nl=.解析：法一：依题意，抛物线C:2=心的焦点产0),因为M是C上一点，的延长线交y轴于点N, M为FN的中点，设M% b)(b0)9 所以 =1, b=2班,所以汽（0,4吸），HNI=44+32=6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线，垂足为点B,交y交于点P,PM。尸.由题意知，户(2,0),炉01

7、=1/101=2.:悬M为FN的中悬,PM/OF,：.MP=FO = .又由 PI = L4OI=2, ：.MB=MP+BP=3.由抛物线的定义知IMFI=3,故 I 尸M=2IMFI=6.答案：610 .如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为坐若它的一个顶点恰好是抛物线户=4，办的焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)直线x=2与椭圆C交于尸，。两点，点尸位于第一象限，A, 8是椭圆C上位于直线x=2两侧的动点.若直线A3的斜率为:，求四边形AP50面积的最大值.解：设椭圆C的方程为白若=1(。力0).,抛物线9=4回的焦点是(0, 同：.b=y12.由；=半，a1=b1+c1t

8、得。=26，椭圆C的方程为5+¥=i. o L(2)设 A(Xi, ji), 3(%2),直线A3的方程为了=%+/,联立j得工2+汝+2/2-4=0,?'=>+'，则 xi+*2=-2f, xiX2=2t24.在（+¥=1 中，令*=2,得尸（2,1）, 2（2, -1）. O L，四边形AP30的面积S = S 4AI，q + S ABPQ=上尸仆比2丫11= 1x2XIx2-xil 乙= |X2-Xil=、（X1+X2）2 -4X1X2=、*2_*2/2_4）=4/2+16.，当，=0 时，Snuix=4.四边形AP50面积的最大值为4.11 .

9、 (2019北京高考)已知抛物线C： /=一如经过点(2, -1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点W, N,直 线y = - l分别交直线OM, ON于点A和点氏求证：以A3为直径的圆经过轴上的两个定 点.解：(1)由抛物线C：12=一"经过点(2, -1),得p=2.所以抛物线C的方程为"=一4% 其准线方程为J=L(2)证明：抛物线C的焦点为尸(0, -1).设直线/的方程为=履一l(A#0), y=kx,由J 7消去得好+4女x4=0.xz=-4y设 Af(xi, ji), N(xi9 yi)9 则 xiX2=-4.直线OM的方程为丁=+人I令=-1,得点A的横坐标孙=一六同理得点8的横坐标m=一,设点。(0, )，则万7 = (一*一1一)