因式分解定理

1、§5因式分解定理§6重因式教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积教学重点：不可约多项式重因式课时：4教学方式：讲授式教学内容：一、不可约多项式1、定义：数域P上次数1的多项式p(x)称为不可约多项式，如果p(x)不能 表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。问：为什么一定要强调数域P呢例：X4 4 (x2 2)(x2 2)在有理数域Q上不可分了(x V2)(x ，(x2 2)在实数域R上不可分了(x V2)(x <2)(x V2i)(x J2i)在复数域C上不可分了注：1、不可约多项式p(x),的因式只有非零常数c与自身的非零常数倍。2、p(x)与任意多项

2、式f(x)之间的关系只可能有两种关系：或者p(x) | f (x), 或者(p(x), f(x) 1。事实上，若(p(x), f(x) d(x)，那么 d(x) | p(x)，所以 d(x) 1 或者 d(x) cp(x)。2、重要性质(定理5):(1)若p(x)不可约，对 f(x),g(x) Px,若p(x) f(x)g(x)，则p(x) f(x)或p(x)g(x)(2) p(x)不可约，若p(x) f1(x)f2(x) fs(x)，则p(x) fi(x),对某个i 1.2, ,s二、因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数1的多项式f(x)均可分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性

3、是指，如果f(x)有两个分解式则必有 s t 且适当排列因式的次序后有Pi(x)Ciqi(x)，其中 Ci0, i 1,2, ,s证明：先证分解式的存在性。我们对f (x) 的次数作用数学归纳法。10 、因为一次多项式都是不可约的，所以 n 1 时结论成立。20、设 (f(x) n ，并假设结论对于次数低于 n 的多项式已经成立。如果 f(x) 是不可约多项式，结论是显然的，无妨设f(x) 不是不可约的，即有f (x) f1(x) f2(x) ，( f1 (x) n ，( f2(x) n 。由归纳假设 力仪)和f2(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。把 f1(x), f2(x)的

4、分解式和起来就得到f(x)的一个分解式。由归纳法原理，结论普遍成立。再证唯一性。设f (x) 可以分解成不可约多项式的乘积f (x)p1(x)p2(x)ps (x)如果 f(x) 还有另一个分解式f (x) q1 (x)q2(x) qt (x)其中qi(x) (i 1,2,t)都是不可约多项式，于是f(x)p1(x) p2(x)ps(x)q1 (x)q2 (x) qt(x)(1)我们对s作归纳法。当s 1, f(x)是不可约多项式，由定义必有 st且f(x)p1(x) q1(x)。现在设不可约多项式的个数为 s 1时唯一性已证。由，Pi(x)1 qi(x)q2(x) qt(x),因此pi(x)

5、必能整除其中的一个，无妨设p1(x)| q1(x)因为qi(x)也是不可约多项式，所以p1(x) cq1(x)(2)在 (1)式两边消去q1(x) ，就有1p2(x) ps(x) c1 q1 (x)q2(x) qt(x)由归纳法假设，有s 1 t 1 ，即 s t，(3)并且适当排列次序之后有1p2 (x) c2c1 q2 (x) ，即p2(x) c2q2(x)pi (x)ciqi (x)(i 3,., s)(4)(2),(3),(4)合起来即为所要证的。三、标准分解式，1、标准分解式把 f(x) 的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式， 并且把相同因式的乘积写成幂的形式：f(x) cp

6、1r1(x)p2r2 (x)psrs ( x)其中c是f (x)的首项次数，p1(x), p2(x), ps(x)是不同的首项系数为1的不可约多项式，r1, r2, ,rsZ最小公倍式定义：多项式m(x)称为f (x)与g(x)的最小公倍式，如果1、 f(x)| m(x) ， g(x)| m(x) ；2、若f(x) |m (x) ， g(x) | m (x) ，则有 m(x) | m (x) 。命题：设f (x), g(x)是两个非零多项式，则 f(x),g(x)( f(x), g(x) f(x)g(x)证明：设 ( f (x), g(x) d(x) ，则 f(x)d(x) f1 (x) ，

7、g(x) d(x)g1 (x) ，并且 ( f (x),g(x) 1 。于是(1)f(x)|m(x), g(x)|m(x); ( f(x)g1(x)m(x)或 g(x) f1(x) m(x)。(2)若 f (x) | m (x), g(x) | m (x) ，我们证明 m(x) |m (x) 。m (x) f(x)q1(x),m (x)g(x)q2(x)可 得 f1(x)q1(x) g1 (x)q2(x) ， 由 于 ( f (x), g(x) 1 ， 所 以 g1(x) |q1(x) 。 设 q1 (x)g1 (x)q3 (x) ，则有m (x) f(x)q3(x)f(x)g1(x)q3(x

8、) m(x)q3(x)于是m(x)是f (x)与g(x)的最小公倍式。2、多项式f(x),g(x)的最大公因式的求法二把f (x), g(x)写成标准分解式，f (x), g(x)就是同时在f (x), g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂指数等于 f (x), g(x) 中所带的方幂较小的那一个。四、重因式1、定义：不可约多项式p(x) 称为多项式f(x) 的 k 重因式，如果pk(x)| f(x) ，而pk1(x)不能整除f(x),此时记作pk(x)|f(x)。注：当k 0时，p(x)根本不是f(x)的因式；当k 1时，p(x)是f (x)的单因式；当k 1时，称

9、p(x)是f (x)的重因式。2、如何判断一个多项式有无重因式方法一：可用标准分解式。 (不常用)方法二：用微商设有多项式n - n 1 f(x) anXan iXa1x a0,我们规定它的微商是f (x)nanxn 1 (n 1)an 1xn 2ai0微商的基本运算规则(f(x) g(x)f (x) g (x);(cf(x) cf (x)； (f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)；(f m(x) mf m 1(x) f (x) o其理论依据为定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k 1),则p(x)是f (x)的 k 1重因式。推论1如果不可约多项式p(x)是

10、f(x)的k重因式(k 1),则p(x)是 f(x), f (x),|, f(k 1)(x)的因式，但不是 严(x)的因式。推论2不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k 1) p(x)是f(x)与f (x) 的公因式。推论3: "*)与£ (x)没有重因式f (x), f (x)13、去掉重因式的方法：若 f(x) cp1r1(x)p22(x)|U pSs(x),则 f (x), f (x)p；1 1(x) p22 1(x) |pSs1(x)。于是一 、CP1(x) P2(x)| Ps(x)f (x), f (x)例1判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确 定重数 f(x) x4 x2 1;(2) f (x) x6 15x4 8x3 5仅2 72x 27.解：(1) f (x) 4x3 2x,而(f(x), f (x) 1,所以 f(x)无重因式(2) f (x) 6x5 60x3 24x2 102x 72,由辗转相除法得 (f(x),f(x) (x 1)2(x 3)从而x 1是f(x)的三重因式，x 3是f(x)的二重因式。例2求f(x) Ax4 Bx2 1有重因式的条件，并确定重数。解：当A 0时，多项式Bx