第7讲 套利定价理论

1、第第7讲讲 套利定价理论套利定价理论1证券投资学证券投资学 第第1 章章u由于资本资产定价模型在理论和实证方面由于资本资产定价模型在理论和实证方面存在的缺陷（存在的缺陷（不能很好地反映风险中许多不能很好地反映风险中许多重要的系统因素）重要的系统因素），一些学者开始转向研，一些学者开始转向研究其他的资产定价理论。史蒂芬究其他的资产定价理论。史蒂芬罗斯罗斯（1976）运用套利思想发展出了另外一种）运用套利思想发展出了另外一种资产定价方法，即套利定价理论。该方法资产定价方法，即套利定价理论。该方法的应用已扩展到金融衍生产品的定价。的应用已扩展到金融衍生产品的定价。2投资学投资学 第第1章章一一 套利

2、的定义套利的定义u套利指的是，如果两只证券的风险水平相套利指的是，如果两只证券的风险水平相同，但期望收益率存在差异，那么，投资同，但期望收益率存在差异，那么，投资者就可以通过出售（卖空）低预期收益率者就可以通过出售（卖空）低预期收益率的证券并将获得的资金用于购买高预期收的证券并将获得的资金用于购买高预期收益率的证券，从而能在不进行额外投资和益率的证券，从而能在不进行额外投资和承受额外风险的情况下赚取利润。可见，承受额外风险的情况下赚取利润。可见，套利具有套利具有“免费午餐免费午餐”的性质：零投资的性质：零投资+无无风险风险+正利润。正利润。3投资学投资学 第第1章章二二 套利定价的单因素模型套

3、利定价的单因素模型1.证券收益率之间的协方差通常为正，因证券收益率之间的协方差通常为正，因为有一些宏观经济变量会引起大多数公为有一些宏观经济变量会引起大多数公司业绩的同向变动，如司业绩的同向变动，如GNP、利率、通、利率、通货膨胀率、技术革命、劳动力成本和原货膨胀率、技术革命、劳动力成本和原材料成本等。如果这些变量发生了未预材料成本等。如果这些变量发生了未预料到的变化，则整个证券市场的收益率料到的变化，则整个证券市场的收益率会相应地发生意料外的变化。会相应地发生意料外的变化。4投资学投资学 第第1章章2.假设我们把所有影响公司业绩的宏观经假设我们把所有影响公司业绩的宏观经济因素组合成一个总的宏

4、观经济指数，济因素组合成一个总的宏观经济指数，假定它的变化影响所有证券的收益率，假定它的变化影响所有证券的收益率，并假定，除了这个宏观经济指数的影响，并假定，除了这个宏观经济指数的影响，股票收益率的所有其他不确定性都来自股票收益率的所有其他不确定性都来自于公司特有因素。于公司特有因素。5投资学投资学 第第1章章3.在前述假设条件下，证券的持有期收益在前述假设条件下，证券的持有期收益率就可以表示为：率就可以表示为： Ri=E(Ri)+if+ei 其中，其中， E(Ri)是证券持有期期初预期的收益率；是证券持有期期初预期的收益率；ERiE0+iEF，E0表示表示 F为为0时证券的期望收时证券的期望

5、收益率益率， iEF表示宏观经济指数的预期变动对表示宏观经济指数的预期变动对证券期望收益率的影响。证券期望收益率的影响。 f表示宏观经济指数未预期到的变化，表示宏观经济指数未预期到的变化， i表表示证券收益率示证券收益率对对F的敏感系数，的敏感系数，ei表示未预期表示未预期到的公司特有事件引起的证券收益率的变化。到的公司特有事件引起的证券收益率的变化。6投资学投资学 第第1章章4.在应用中，通常用证券市场指数（如标准普尔在应用中，通常用证券市场指数（如标准普尔500指数）的收益率代表宏观经济因素的影响。指数）的收益率代表宏观经济因素的影响。这样，就可以将证券持有期的风险溢价表示为这样，就可以将

6、证券持有期的风险溢价表示为 Ri-Rf=i+i(Rm-Rf)+ei 其中，其中，Rm表示证券市场指数的收益率，表示证券市场指数的收益率，Rf表表示无风险收益率，示无风险收益率， i表示市场风险溢价为零表示市场风险溢价为零时证券时证券i的期望收益率，的期望收益率， i表示证券表示证券i的收益率的收益率变动对市场指数收益率变动的敏感度变动对市场指数收益率变动的敏感度。7投资学投资学 第第1章章5.通过构建充分多样化的证券组合，可剔通过构建充分多样化的证券组合，可剔除企业特有因素对证券收益率的影响。除企业特有因素对证券收益率的影响。充分多样化投资组合收益率充分多样化投资组合收益率Rp和和Rm之之间的

7、关系可表示为：间的关系可表示为： Rp-Rf=p+p(Rm-Rf)6.对于两个具有相同对于两个具有相同敏感系数的证券敏感系数的证券组合，组合，进行相同头寸、相反方向（买入进行相同头寸、相反方向（买入/卖空）卖空）的交易就能够剔除市场指数收益率未预的交易就能够剔除市场指数收益率未预期到的变化对投资收益率的影响。期到的变化对投资收益率的影响。8投资学投资学 第第1章章7.如果两个证券组合具有相同的敏感系数，如果两个证券组合具有相同的敏感系数，但期望收益率不同，那么，投资者通过但期望收益率不同，那么，投资者通过卖空低期望收益率的证券组合，并将获卖空低期望收益率的证券组合，并将获得的资金用于购买高期望

8、收益率的证券得的资金用于购买高期望收益率的证券组合，就能够在无风险、零投资的情况组合，就能够在无风险、零投资的情况下赚取利润。下赚取利润。9投资学投资学 第第1章章8.在允许卖空的情况下，只要有少数几个投在允许卖空的情况下，只要有少数几个投资者能够发现套利机会，他们的竞相抬价资者能够发现套利机会，他们的竞相抬价或压价就能够促使证券组合的市场相对价或压价就能够促使证券组合的市场相对价格发生变化，直到所有充分多样化的证券格发生变化，直到所有充分多样化的证券组合必定具有相同的收益风险比率：组合必定具有相同的收益风险比率： (ERp-Rf)/ p=(ERq-Rf)/ q= =(ERm-Rf)10投资学

9、投资学 第第1章章9.如果无套利的期望收益如果无套利的期望收益-贝塔系数关系对无数不贝塔系数关系对无数不同的充分分散化的投资组合是成立的，那么，同的充分分散化的投资组合是成立的，那么，这一关系对所有单个证券的成立也几乎是可以这一关系对所有单个证券的成立也几乎是可以肯定的。当然，这并不排除个别或一小部分证肯定的。当然，这并不排除个别或一小部分证券违反该关系的可能性。因此，券违反该关系的可能性。因此，当证券市场处当证券市场处于均衡时，单个证券的预期收益率也可以表示于均衡时，单个证券的预期收益率也可以表示为：为：ERi-Rf= i(ERm-Rf) 这意味着市场只对证券包含的系统风险提供补这意味着市场

10、只对证券包含的系统风险提供补偿。偿。11投资学投资学 第第1章章三三 金融衍生产品的套利定价理论金融衍生产品的套利定价理论1.套利定理套利定理u考虑一个试验，其所有可能结果构成的集合考虑一个试验，其所有可能结果构成的集合为为1, 2, , m。假设我们在第。假设我们在第i (i=1, 2, , n)个赌博中投入个赌博中投入xi单位的赌金，若试验结果是单位的赌金，若试验结果是j (j= 1, 2, , m)，则获得收益，则获得收益xiri (j)，其中，其中， ri (j)表示在第表示在第i个赌博上投入一单位赌金的收个赌博上投入一单位赌金的收益函数。投入的赌金数量可以为正、负或零。益函数。投入的

11、赌金数量可以为正、负或零。12投资学投资学 第第1章章u设赌博策略为设赌博策略为x=(x1, x2, xn)，则当试验，则当试验结果是结果是j (j= 1, 2, , m)，该赌博策略的收，该赌博策略的收益为益为xiri (j)。u在该试验的所有可能结果所构成的集合上，在该试验的所有可能结果所构成的集合上，要么存在一个概率向量要么存在一个概率向量p=(p1, p2, , pm)，使得在这个概率下每一种赌博的期望收益使得在这个概率下每一种赌博的期望收益都为零；要么存在一个在任何试验结果下都为零；要么存在一个在任何试验结果下都能获得正收益的赌博策略。都能获得正收益的赌博策略。13投资学投资学 第第

12、1章章2.满足无套利条件的证券价格运动模式。满足无套利条件的证券价格运动模式。u由于所有的衍生证券都可以由其标的证券由于所有的衍生证券都可以由其标的证券构造，因此，在可以选择由衍生证券和标构造，因此，在可以选择由衍生证券和标的证券的组合作为赌博策略的情况下，需的证券的组合作为赌博策略的情况下，需要研究什么样的证券价格运动模式才能满要研究什么样的证券价格运动模式才能满足无套利条件。足无套利条件。14投资学投资学 第第1章章u几何布朗运动。设现在时刻是几何布朗运动。设现在时刻是0，用，用S(y)表表示未来示未来y时刻的证券价格。如果对任何非负时刻的证券价格。如果对任何非负的实数的实数y，t，随机变

13、量，随机变量S(t+y)/ S(y)独立于独立于y时刻及此前的所有价格，且时刻及此前的所有价格，且 S(t+y)/ S(y)是均值为是均值为t t ，标准差，标准差t t的正的正态态随随机机变变量，量，我们就称价格族我们就称价格族S(y)，0y服从服从漂移参数为漂移参数为，波动参数为，波动参数为的几何布朗的几何布朗运动的分布运动的分布。15投资学投资学 第第1章章u作为几何布朗运动的作为几何布朗运动的n阶近似，我们可以假设每阶近似，我们可以假设每过过t/n个单位的时间，证券的价格变化一次，且要个单位的时间，证券的价格变化一次，且要么以么以1/21+(1/21+(/ /) ) t/nt/n 的概

14、率上升为原价格的概率上升为原价格的的u=exp(u=exp( t/nt/n) )，要么以，要么以1/21-(1/21-(/ /) ) t/nt/n 下跌为原价格的下跌为原价格的d=exp(-d=exp(- t/nt/n) )。u根据套利定理，为了不存在套利机会，在每个时根据套利定理，为了不存在套利机会，在每个时期购买证券的期望收益都应为零，因此，期购买证券的期望收益都应为零，因此，p= p= 1/21+(1/21+(/ /) ) t/nt/n 1/21+(r/1/21+(r/- -/2/2) ) t/nt/n 。16投资学投资学 第第1章章u当当n时，时，该证券价格变化的概率分布就该证券价格变化的概率分布就收敛为漂移参数为收敛为漂移参数为(r-(r-/2)/2)，波动参数为，波动参数为的几何布朗运动的分布。的几何布朗运动的分布。 这个风险中性的几何布朗运动分布是所有这个风险中性的几何布朗运动分布是所有描述