对张正友标定的理解

1、张正友标定算法解读一直以来想写篇相机标定方面的东西，最近组会上也要讲标定方面 东西，所以顺便写了。无论是OpenCVS是matlab标定箱，都是以张正友棋盘标 定算法为核心实现的，这篇PAMI的文章<<AFlexible NewTechnique for Camera Calibration影响力极大，张正友是zju的机械系出身，貌似现在是微软的终 身教授了，有点牛的。我就简单的介绍下算法的核心原理，公式的推理可能有点 一基本问题描述：空间平面的三维点与相机平面二维点的映射假设空间平面中三维点： M=X, V.ZJj （齐次坐标，世界坐标系）相机平面二维点:（齐次坐标，相机坐标系）

2、那么空间中的点是如何映射到相机平面上去呢？我们用一个等式来表示两者之 问关系：fn 7 由sm = A R tl M. with A = 0 j3 期0 0(1)注：A为相机内参矩阵，R, t分别为旋转和平移矩阵，s为一个放缩因子标量我们把等式（1）再简化下：5m HM with H - A| r（ V） t.因为张正友算法选取的是平面标定，所以令z=0,所以平移向量只有 1r2即可。 H就是我们常说的单应性矩阵，在这里描述的是空间中平面三维点和相机平面二 维点之间的关系。因为相机平面中点的坐标可以通过图像处理的方式 （哈里斯角 点，再基于梯度搜索的方式精确控制点位置）获取，而空间平面中三维点

3、可以通 过事先做好的棋盘获取。所以也就是说每张图片都可以计算出一个H矩阵。内参限制 我们把H矩阵（3*3）写成3个列向量形式，那么我们把 H矩阵又可写成:h hj h：d = AAfT(3)注:lamda是个放缩因子标量，也是s的倒数。那么现在我们要用一个关键性的条件：ri和r2标准正交。(4)单位向量（模相等）：h A r A 'h； = A s A h2(5)正交:3页这个两个等式是非常优美的，因为它完美的与绝对二次曲线理论联系起来了， 这 里就不展开了。相机内参的求解 我们令:Bn 8? BnB = AA - X" B1AH出外(6)我们可知B矩阵是个对称矩阵，所以可以

4、写成一个 6维向量形式:b = Bn,8?当£附我们把H矩阵的列向量形式为：h,二伊小3.丽那么根据等式（8）我们把等式（4）改写成:(9)hTBibVi)=九九+儿*%1,瓦士h* h图h/i十Rih/, h/*h吕十儿工%心瓦也J(10)最后根据内参数限制条件(等式(4) (5):1 - Vr»(11)(12)V矩阵是2*6矩阵，也就是说每张照片可建立起两个方程组， 6个未知数。根据 线性代数知识可知，解6个未知数需至少6个方程组，所以也就是说我们至少需 要三张照片就求解未知数。b矩阵的解出，相机内参矩阵 A也就求解出，从而每 张图像的R, t也就根据等式(1)迎刃而解。四参数优化因为初始的参数已经求解，所以我们将每张图像的控制点根据求解的参数重投影 回三维空间，最小化与真实值的差异，其实就是建立非线性最小化模型：(13)Z £ l|ra j-in(A,