基本不等式全题型

1、题型1 基本不等式正用 a+b2Jab例1： (1)函数f(x) = x+(x0)值域为 x1函数f(x) = x + -(x C R)值域为 x1(2)函数f(x)=x x2 + 11 = 1,当且仅当 x=0时等号成立.+-的值域为x2+ 1解析：(1) . x 0 , x + -或 xx=2, , f(x)(x 0)值域为2 , 十0)； x11(2)x2+x7 =(x2+1)+xT7 -12(2)1 , +8)当 xCR 时，f(x)值域为(8, 2U2, +8)；解析：x+ - = x 1+ - + 12+1 = 5.当且仅当 x- 1 =4二;，即x= 3 4时等号成立.答案：5例

2、1 (1)已知x0, .,.f(x)= 2 +-+x= 2x4一十 -xx.- -+ ( x)2“=4,当且仅当一x=-,即x=-一x2时等号成立.f(x) = 2 一 +-xx0时,则f(x)=7的最大值为2x 22解析：(1),x0- -f (x) = 2 / x2+ 1-q=1,当且仅当1-I,即x=1时取等3 .函数y=(x1)的最小值是x-12+2 x-1+3x- 1解析：x1 ,，x10.，y=x- 1x-1x- 1x-143+2.当且仅当x-1 =x- 1，即x= 1时，取等号.答案：2410 .已知x0, a为大于2x的常数，求y =- x的最小值.a-2x解:y=一 + a

3、2x1_ a_2a-2x222 21 a口x=故y =-x的最小值为22题型2基本不等式反用例：函数f(x)=x(1 x)(0 x1)的值域为 (2)函数 f(x) = x(1 2x)10 x-的值域为2x+ 1 -x解析：(1) ,0 x0, x(1 -x)2 = _, .,.f(x)值域为 0,41(2) Pv x0.1 2x+1 -2xx(1 2x) = X2x(1 -2x)2 = -, .,.f(x)值域为8答案：(1) 0(2) 03.(教材习题改编)已知0v x1 ,则x(3 3x)取得最大值时x的值为解析：由 x(3-3x) = X3x(3 -3x)-x- =当且仅当3x = 3

4、-3x,即x =一时等号成立.答案:423 .函数y= x1 -x2的最大值为解析：xAy1 -x2 = Ajx21 x2x2 +1 x24 ,已知 0 x1,则x(33x)取得最大值时x的值为1A 31B23C42 D._3解析,0 x0.，x(3 3x)= 3x(1 -x)0a为大于2x的常数，求函数 y = x(a2x)的最大值;解：.x0, a2x,，y = x(a2x) = X2x(a 2x)12x+a 2xa22 =一,当且仅当8ax=一时取等号，故函数 4的最大值为a28题型三：利用基本不等式求最值t2 4t + 12 .已知t0 ,则函数y =的最小值为t解析,.t0 , .y

5、=t一土工=t+-42-4 = -2,且在t = 1时取等号.答案 2tt2x例：当x0时，则f(x)=-一的最大值为 x2+ 1解析：x0 , .f(x) = 3x- = -23)的最小值；(2)求函数f(x) =(x3)的最小值;x-3x-3a思维突破：“添项.，可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值.(2) “拆项”把函数式变为y = M+M的形式.1(1) ,.x3, .-.x-30. .f(x) =+ (x-3)+ 3 2x-311- x-3 +3=5.当且仅当 = x3,即x=4时取等号，f(x)的最小值是5.(2)令 x-3 = t,则 x=t + 3,且 t0.，f(x)

6、 =1cx2 + dx + fy=(aw。， cw0)的函数,ax + b当且仅当t=；,即t = 1时取等号，此时x=4, .当x=4时，f(x)有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如p般可通过配凑或变量替换等价变形化为y = t + ,(p为常数)型函数，要注意t的取值范围;例：设x 1,求函数y = x+ 6的最小值;4x+ 15=9,当且仅当x+1=-4一, x+ 1x+ 1解：.x - 1 ,，x+10.，y=x+6=x+1 +x+ 1即x=1时，取等号.，当x=1时，函数y的最小值是9.1 .若x0 , y0 ,且x+y = 18 ,贝U

7、xy的最大值是 解析 由于x0 , y0 ,则x + y 2Jxy,所以xy0 , y0且1=一+2、/上，xyW3.当且仅当一=时取等号.答案 33 4. 123 432， 时xy取得最大值3.答案：3y=26. （2013 大连期电已知x, y为正实数，且满足 4x+3y=12,则xy的最大值为 j 4x= 3y ,解析：12 = 4x+3yW/4xX3y,，xyw3.当且仅当4x+3y=12,2 .已知 m0 , n0 ,且mn = 81 ,则 m + n的最小值为 解析：,m。，n0 ,，m + n 2ymn= 18.当且仅当 m = n = 9时，等号成立.答案：185 .已知 x0

8、, y0, lg x+lg y = 1,则 z = 一十一 的最小值为.解析：由已知条件2y =5x时取等x ylg x+lg y = 1 ,可得 *丫 = 10.则一十一行2x y号.又xy=10,即x = 2, y = 5时等号成立.答案：2 （2012 天津高考）已知log 2a+log 2b1 ,则3a+ 9b的最小值为 解析：由 log2a+log2b 1得 log 2（ab） 1,即 ab 2,，3a+9b= 3a+32b2 X32（当且仅当3a=32b,即 a = 2b时取等号）. .-a+2b2，2ab2（当且仅当a = 2b时取等号），3a +9bA2X32= 18.即当a

9、= 2b时，3a+9b有最小值18.3 .设 x, y R, a1b1，若 ax=by=3, a+b=,则 1+1 的最大值为（）1DI2x yA. 2 B.3 C. 1 2解析 由 ax= by = 3,得：x= log a3, y= log b3,由 a1 , b1 知 x0 , y0 , 一 十 一= log 3a+ log 3b = log 3ab w x ylog 3 2=1,当且仅当a=b = J3时“=”成立，则1+1的最大值为1.答案 C21x y6. （2011 湖南设x, yCR,且xy#0,则x2 + ,4y2的最小值为 111. 11解析 x2+q 1+ 4y2 =5+

10、行+4x2y25+2/行 4x2y2=9,当且仅当x2y2=;时=”成立.答案 9例：若正数x, y满足x+3y=5xy,求xy的最小值.解：. x0, y0,则5xy = x + 3y2-Jx 3y,，xy3一,当且仅当x= 3y时取等号.，xy的最小值为 . 25254 .若正实数x, y满足2x+y+6 = xy,则xy的最小值是 答案 18解析 由 x0 , y0,2 x+y+6 = xy,得xyR2、/2y+6(当且仅当 2x = y 时，取“=”)， 8P(Jxy)2-22/xy-60,.(635)血 0.又qxy0 , . .yA3y2,即 xy 18. xy的最小值为18.例：

11、已知x0 , y0 , x + 2y+2xy=8,则x+2y的最小值是A. 3B,4C.9D.22解析依题意，得(x+1)(2 y+1)=9,即x+ 2y2.2y + 1=6,x+ 1 = 2y+ 1 ,当且仅当x+ 2y+ 2xy= 8 ,x = 2,即时等号成立.y=1.x+2y的最小值是4.3.若 x, yC(0, 十0), x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范围；(2)求x+y的取值范围.解：由 x+2y + xy = 30, (2 + x)y = 30x,则 2 + xM, y = 0,0 x 30.2 + xx2 30 x.FT-x2-2x+ 32x+ 64 -64x+ 2

12、x + 32 x + 264=- x+2 +二3+34W18,当且仅当x = 6时取等号,因此xy的取值范围是(0,18.30 -x 32(2)x+y= x+2+x-x+x+21=x+ 2+2- 3 /2-3,当且仅当VI 时，等号成立，又 x+y = x+2 + 2一一3b0,贝U a2 + -的最小值是 解析：aAb。，b(ab)w 2 = 土，24当且仅当a = 2b时等号成立.a2 +16a b1ka2a2a2二当 a = 22, b = d2时,16k取得最小值16.8.设x,v, z为正实数，满足x-2y + 3z = 0,则匕的最小值是 xz解析：由已知条件可得 y = x-z,

13、2y2 x2+9z2+6xz所以一:xz4xz1 x 9z=- + +62 A /xC9 +6 =3, 4. z xy当且仅当x=y=3z时，- 取得最小值3. xz答案：3例：已知x0, y0, xy = x+2y,若xym2恒成立，则实数 m的最大值是解析：由 x0, y0, xy=x + 2y22xy ,得 xy 8 ,于是由 m2Wxy 恒成立，得 m - 28,即 m 7在xC(a, +8)上恒成立，则实数 a的最小值为x- a22解析：因为 xa,所以 2x+=2(x a)+ 2a2+ 2a=2a+4,即 2a+ 4汽，所以a1,即a的最小值为3答案：一25.圆 x2+y2+2x4

14、y+1 =0 关于直线 2axby+2=0 (a, b C R)对称,ab的取值范围是A. 8,1B. 0, 一 4C. 04D.答案解析由题可知直线2ax-by +2 = 0 过圆心(一1,2),故可得 a+b= 1a + b又因ab &21一(a=b时取等号). 4故ab的取值范围是1OO -4典例：(121分)已知a、b均为正实数，且 a+b = 1,求y= a 十 一 a1b + b的最小值.易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到.审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”而且还要符合已

15、知条件.(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围.规范解答解 方法一y=1a十 一 a=ab + + 一+- ab + 一 +2 ab a b ab4- 2 =空10 分24当且仅当 a=b = 2U, y= a + ；25了.12 分2又 f(t) = - + t 在 0,1一上是单调递减的, 410 分1b+-取最小值，最小值为 b方法y= a+- b + ：=ab+L + a + b a b ab b a1a2+b21 a+b 2 2ab= ab + ab+ k= ab + ab2=+ ab 2.8 分ab令 t = abw a 2 = -,即 t e 0,-.24433一

16、,此时, 4a=b = 1. 21，当1=一时,f(t)min = 4当a = b=时，y有最小值 .12分温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手.但是解这类题目却又常常出错.(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等.否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错.(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件方法与技巧1 .基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2 .恒等变形：为了利用基本不等式，有时

17、对给定的代数式要进行适当变形.比如：(1)当 x2 时，x + -(x-2)+-+2 2+ 2= 4. x2x- 2(2)0 x2jab3 3 ,即 ab -2/ab-3 0. iPf/ab -3)C/ab+ 1)0. Tab 0,，0b + 1 1.r/ab- 30,，ab9.当且仅当a=b = 3时取等号.又*y0或；b , .-.ab = a+ b + 30. a + b + 2 0 有 a+b 6 0 )即 a+b 6.a + b的取值范围是6, +oo).a + 3方法二：由 ab = a + b + 3,则 b =a- 1ab = a+= a+4 +=a-1+5a-1a-1a-1当

18、且仅当a=b = 3时取等号. ab的取值范围是9, +8).a + 3由 ab=a+b + 3,得 b =a- 1a + b = a += a + 1 += (a 1) + 2a-1a-1a-1当且仅当a=b = 3时取等号.a + b的取值范围是6, +8).技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a + b与ab分别是统一的整体， 把a + b转换成ab或把ab转换成a + b.例3：已知正数a, b满足a +2b = 1,则1+1的最小值是 a b11 a+2b a+2b试解：a+丁丁十丁= 3 + 2b+a3+2A=3 + 2a ba b易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑

19、等号能否同时成立。在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成立的条件是“当且仅当a = 2b时”；而第二次等号成立的1 1条件是“当且仅当一=一时；这显然不可能同时成立，因此等号取不到.a b3 .已知x0 , y0 ,且2x + y = 1 ,则2的最小值是 x y答案 8解析因为，+ 2=(2x+y) 1+2 x yx y= 4 + y+竺4+2、Q4x =8,等号当且仅当 y=, x = 1时成立. x yx y24例：已知x0, y0 ,且2x+y=1,则的最小值为 x y解析.0 , y0 ,且 2x+y=1 ,2x+ y 2x+ yx + y3 + y+丝 3+2x yy

20、2x当且仅当=一时，取等号x y9 1思维突破:“整体代换”例：已知x0, y0,且一 + -=1,求x+y的最小值.x+y=(x + y) 一 + 一 ,再化简，用基本不等式求解. x y解析：1-1 _ + -= 1, x y.x+y=(x+y) 9+- =10 +9y+x10 +2A /9yx= 16.x y x y, x y9y x 9 1当且仅当一=一且一+-=1,即x=12, y= 4时取等号. x y x y当x=12, y=4时，x + y有最小值为16.总结：已知条件与“ 1”有关，常利用“1”进行整体代换，转化为能使积为定值的形式.例：已知x, y为正实数，且一十=1,求x

21、+y的最小值. x y- x+y=(x+y)- + - =17+y x yy x；16xy- 17 + 2A/h =25.当且仅当 -=y且1+笆=1时，等号成立. y x x y- x= 5 , y = 20 时，x+y 有最小值 25.4. (2012 浙汀若正数x, y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(A.24B.28C. 5D. 655答案 C解析 .0 , y0 ,由 x+ 3y= 5xy 得一十 一 = 1.5 y x. 3x+4y= (3x +4y) - + - 5y x1 3x12y-% + 4 + 9 + 工13 1 3x 12y 13 13x12y55y x55

22、 M y x=5(当且仅当x=2y时取等号)，3x+4y的最小值为5.1911 . (2013 泉州模拟正数x, y满足一 + - = 1.x y求xy的最小值;(2)求x+2y的最小值.解:(1)由 1 =一十一2x y一丁得xy36,当且仅当一=一，即x yx yy=9x=18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x + 2y=(x+2y) -+- =19+匕19+2 x y x y2y9x2yl= 19 + 6、/2 ,当且仅当一x yx9x一,即 9x2 y= 2y2时取等号，故x+2y的最小值为19+6/2.3 .函数y= log a(x+3) 1 (a0 ,且aw1)的图

23、像恒过定点12大于0,则m+ ；的最小值为A,若点A在直线mx + ny+ 1 =0上，其中m , n均()A. 2B. 4C. 8D. 16答案 C解析点 A( 2, 1),所以 2m + n = 1.n = 2m,即m =4, n=2时等号所以 L+4=(2m + n) -+ - =4 + + -m8 ,当且仅当 m nm n m n成立.典例(2011 重庆高考)已知a0 , b0 , a+b = 2,则y = 一+的最小值是.a ba + b尝试解题-a + b = 2,2 =1.1414a+babab 252a _b_2+ b + 2a92ab=一当且仅当一=一，即b=2a时，等号成

24、立2b 2a故丫 = 十一的最小值为 一.a a b29答案2易错提醒解答本题易两次利用基本不等式，如：2,(a+ b),.a0 , b0 , a+b = 2, .ab8 ; a b ab1思维突破：本题在考查均值定理等号何时成立的同时，也考查到形如“f(x) = x + 一”函数的单调性.x自主解答:12 .ab =,.a2+ b2.1 111 j/ 1方法一：一十=(a+b) -+- 2/ab 2A /一=4.a ba b ab1 11 1 b a b a方法二：一十=(a+b)=1 +- + -+ 1 2 + 2A _= 4.a bab a b/ a b11111(4) 1 +- 1 +

25、 - = + + 一+ 1 9.abab a b方法一 .a0 , b0 , a+ b= 1 ,1a+bb -1 + -= 1 += 2 + 一，a aa1a同理，1+=2+， bb11ba1 +_ 1 + - = 2 + - 2 + ababb a= 5 + 2 一+一 5 + 4 = 9.a b111 + J9(当且仅当a = b=时等号成立).111 1 11 + - 1+一=1 十 一十一十一. ab1 11由(5)知，一+J+二沌， a b ab111 1故 1 + - 1 + 厂=1 + + 一+ 9.aba b ab11 十一a方法a b ab11111 a+b(5) -十 一+

26、 = 一十 一+a b ab a b ab. a + b = 1 , a0 , b0 ,11a + ba+ bab.-+ =+= 2 + + -2+2=4,aba bba一+1+:8（当且仅当a = b = 一时等号成立）.a b ab2【例1】 已知x0 , y0 , z0.y z x z x y求证： 一+- -+- -+- 8.x x y y z z思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证.证明. x0 , y0 , z0 ,JyzJxzJxy8=8.xyz当且仅当x=y = z时等号成立.探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是

27、从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.变式训壕1已知a0 , b0 , c0 ,且 a+ b+ c= 1.证明:a。, b0 , c0 ,且 a + b + c=1, 1 11 a + b+c a+b + c a+b + c b c a cab b a c a c ba+ b+ c a + b + c3 + a + a+b+b + c+c 3+ a + b + a + c+ b+c 3 + 2 +12 + 2 = 9,当且仅当a=b = c= 一时，取等号. 3题型六：基本不等式的实际应用3】某单位建造一间地面面积为12 m 2的背

28、面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m .房屋正面的造价为 400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 思维启迪：用长度 x表示出造价，利用基本不等式求最值即可.还应注意定义域0xW5；函数取最小值时的 x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性.解 由题意可得，造价 y = 3（2xX150 +乌X400） +5 800x= 900 x + +5 800（0900 X2Ayxx16- + 5 800 = 13

29、 000（元），当且仅当x=-,即x=4时取等号. x故当侧面的长度为4米时，总造价最低.变式或练3（2011 北京某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均x仓储时间为”且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A. 60 件B. 80 件答案 B解析设每件产品的平均费用为()C. 100 件D.120y元，由题意得800当且仅当x800 x-20.x 8800 xy x +82x（x0）,即x=80时“=”成立，故选8B.（12分）为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为盖长方体沉淀箱（如图所示），

30、污水从A孔流入，经沉淀后从流出，设箱的底长为 a m,高度为bm .已知流出的水中该杂质 的质量分别与a, b的乘积成反比，现有制箱材料 60 m 2.问：当的无B孔a,B孔的面积忽略不计）?b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小解 方法一 设y为流出的水中该杂质的质量分数，(Ak则y =,其中k0为比例系数，依题意，求使 y值最小的a, b的值. ab根据题设，有 4b + 2ab + 2a=60 (a0 , b0), 解得 b = 30-a(0 a0 , b0）, 即 a+2b + ab = 30 （a0 , b0）.因为 a +2b 21/23b,所以 2 /ab + a

31、b W30 ,当且仅当a = 2b时，上式取等号.由 a0 , b0 ,解得 0 abp).已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度 v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(单位：元)表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？s解(1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv2,全程航行时间为 ，v p s于是全程燃料费用 y=kv2(p vp v pvpv- pks2、v-p 一+2p = 4ksp(当且仅当v p =,即v=2p时等号成立).Vv-pv-p当2pC(p, q,即2pwq时，ymin=4ksp,此时船的前进速度为2p p = p；sq2当2p?(p, q,即2pq时，函数y = kv2在(p , q内单调递减，所以 ymin = ks ,此时船的前进v-pq-p速度为q - p.故为了使全程燃料费用最小，当2pwq时，船的实际前进速度应为p千米/小时；当2pq时，船的实际前进速度应为(q p)千米/小