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文档简介
1、几何体的表面积和体积解答基础1如图,在底半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为二的圆柱,求圆柱的表面积和解:圆锥的高' - L j,圆柱的底面半径r=1 ,表面积:2兀十兀圆锥体积:土兀r,h=-13cm 和 6cm ,2 .如图,在正三棱台ABC - AiBiCi中,已知其上、下底面边长分别为AAi=3cm,求此三棱台的侧面积和体积.ClBlAOEC解:由正三棱台的结构特征知,其上、下底面分别是边长为 3cm和6cm的等边三角形,如图0、Oi为上、下底面的中心,QA=2 .;,0D=二;2Oi Ai = AiDi = 7-X3 x,OiDi =2棱台的高h=X3 X6 )x r.A
2、B3 .四边形 ABCD为直角梯形,AB /CD , AB=4 , BC=CD=2 , AB丄BC,现将该梯形绕旋转一周形成封闭几何体,求该几何体的表面积及体积.解:依题旋转后形成的几何体为上部为圆锥,下部为圆柱的图形,如下图所示:其表面积S=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积;.S=4 I: -:+8 n+4 n=12 n+4 卜;二-;其体积V=圆锥体积+圆柱体积;*30V=三开墟JT二晋兀.4.如图,在底面半径为 2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为 二;的内接圆柱;(1 )求圆柱的表面积;(2 )求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.解:设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r,高分别为h、h
3、39;(1 )圆锥的高h= 廿-古2忑,h =/r=1 .S表面积=2S底+S侧=2冗r2+2 nrh=2 n+2 nX J;=2 (1+:';)n(2 )所求体积L苛可一:.Tj门-2: - _ :亠 I ;=5.已知正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)的底面边长为a,侧棱长为:-a(1 )求它的外接球的体积(2 )求他的内切球的表面积.解:(1)由题意,四棱锥为正四棱锥,该四棱锥的侧棱长为任a,底面是边长为a的正方形,.四棱锥的高为工a,(2 )设内切球的半径为r,则表面积为4冗r2=设外接球的半径为 R,则有R2= (-a) 2+ (' a - R) 2
4、 ,.R=a , 外接球的体积为6 .已知正方形的边长为 a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直 圆柱体的体积.解:设底面半径为r,直圆柱体的高为 h因为侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长所以有底面周长2 nr=a , h=a,解得.-,2 J 由公式圆柱体体积 V= nr2h= t7已知某个四面体的棱长均为a,(1 )求该四面体外接球的体积;(2)求该四面体内切球的体积.解:(1): 正四面体的棱长为 a ,此四面体一定可以放在正方体中,我们可以在正方体中寻找此四面体.如图所示,四面体 ABCD满足题意,BC=a,正方体的棱长为此四面体的外接球即为此正方体的外接球,外接球的直径=正方体的对角线长,外接球的半径为R卡序专=¥a,所以,球的体积为Tta3?a?a?si n60(2 )设正四面体的内切球的半径为r,由于正四面体的每个面的面积为-a2,正四面体的高为故正四面体的体积为VLsha3.312再根据V=4x?r,可得a3=4 xa2?r,求得故四面体内切球的体积沁一;?a38 .半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 ,求 球的表面积和体积.解:设正方形 ABCD - A'B'C'D'的底面ABCD在半球的底面圆上,如图则球心 0为ABCD的中心,连结
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