福建省厦门市湖滨中学2018届高三数学下学期适应性考试试题理(含解析)练习

1、福建省厦门市湖滨中学2018 届高三数学下学期适应性考试试题理（含解析）练习理科数学试卷一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则A.B.C.D.【答案】 C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，求出集合的补集，解方程化简集合，利用集合交集的定义进行计算即可.详解：因为或，所以又因为，所以，故选 C.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.的值为

2、（）A.B.C.D.1【答案】 A【解析】分析：逆用二倍角正弦公式即可得到结果.详解： sin75 °cos75°=sin75 °cos75°=故选： A点睛：本题考查了二倍角正弦公式，属于基础题.3. 下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是A.B.1/19C.D.【答案】 B【解析】易知原函数的定义域为，单调递增，奇函数，所以A、 C、D 错误， B 正确 . 故选 B.4.的展开式中的系数为（）A.B. 84 C.D. 280【答案】 C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以

3、所求的系数为.故选 C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点. 在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出 ，将 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.5. 设满足约束条件则的最大值为（）A.B.3 C.9 D.12【答案】 C【解析】【分析】画出可行域，通过平移动直线求最大值 .【详解】可行域如图所示：2/19动直线平移到点时， 取最大值. 故选 C.【点睛】一般地，二元一次不等式组条件下的二元一次函数的最值问题，可用线性规划的方法求解 .6

4、. 已知斜率为3 的直线 与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（）A.B.C.2D.【答案】 A【解析】设，则，所以，3/19所以，得，所以，所以。故选 A。7.的值为，则判断框内应填入()A.B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】流程图是判断何时，逐次计算即可 .【详解】第一次执行判断前，；第二次执行判断前，；第三次执行判断前，以此类推，有，故，因此判断框应填，故选 A.【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.8. 日晷是古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”. 通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制

5、的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻. 利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧( 左）视图可能为（）4/19A.B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】从左边看，圆盘的投影是椭圆，而晷针的投影是左虚右实，故可判断选项.【详解】从左边看，圆盘在底面的投影为椭圆，又晷针斜向下穿盘而过，故其投影为左虚右实，故选A.【点睛】本题考察三视图，属于基础题.9.在中，则角（）A. B

6、.【答案】 D【解析】分析：在C.或D.中，利用，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，所以，所以，所以，故选 D.5/19点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.10. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为，底面边长为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】 B【解析】由题意得，设求和三棱柱的

7、上底面的三个焦点分别为,设截面圆的半径为，因为上底面是边长为的正三角形，则，设求的半径为，根据球的性质可得，所以球的表面积为，故选 B。11. 已知过抛物线的焦点的直线 交抛物线于两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点 ，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】 D6/19【解析】由题意知，的焦点的坐标为（ 2,0 ）。直线的斜率存在且不为0，设直线方程为。 由。 消 去y整 理 得， 设，则，故，所以，直线 OS的方程为，代入抛物线方程，解得，由条件知。所以。故选： D点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1) 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性

8、质来解决；(2) 代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围12. 已知函数，则（）A.有 个零点B.在上为减函数C.的图象关于点对称D.有 个极值点【答案】 B【解析】【分析】因为，故可判断无零点，而，当，可通过的符号确定其单调性，通过考虑与可得极值点的个数. 最后通过取特殊值去判断函数的图像是否关于对称 .

9、7/19【详解】因此，故，所以，故判断无零点判断，A 错 .又，当时，故在为减函数，所以B 正确 .，因，故函数的图像不关于对称，所以C 错误 .考虑及的图像（如图所示），它们在上有且仅有一个交点，故在上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故有一个极值点，所以D 错 . 综上，选 B.【点睛】（ 1）函数的零点的个数判断有时可以根据解析式的特点去判断，大多数情况下需要零点存在定理和函数的单调性来考虑.（2）如果函数的解析式满足，那么函数的图像关于对称 .二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13. 若复数满足是虚数单位，则 的虚部为 _【答案】.【解析】

10、分析：先求出复数z，再求复数z 的虚部 .详解：由题得所以复数z 的虚部为 -1. 故答案为： -1点睛：（ 1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的8/19掌握能力 .(2) 复数的虚部是 b, 不是 bi, 这一点要注意.14. 已知向量与 的夹角是，且，则向量与的夹角是 _ 【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，所以向量与的夹角是120°.故填 120°.点睛：本题主要考查平行四边形法则和向量的夹角，属于基础题.15. 已知函数，函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】函数 f （ x） =，

11、当 1x1 时， f （ x） =1x；当 x 1 时， f （ x） =x+3 ；当 x 1 时， f （ x） =（ x 1）2 当 x 1，即 x 1，22可得 g（ x） =（ x 1） +3 x=x 3x+4 ，9/1922当 x 1 时， x 1，则 g（ x） =x+3+（ x+1） =x +3x+4，由 g（ x） 2，解得 2x 1；当 1x1 时， 1 x1，可得 g（ x） =1 x+1+x=2，由 g（ x） 2，解得 1x1，综上可得，原不等式的解集为 2，2 故答案为： 2， 2 16. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像 . 若在上单调递减，则的取值范围为

12、_ 【答案】【解析】【分析】根据三角变换和图像变换得到，先求出该函数的单调减区间的一般形式，利用是其子区间可得的取值范围【详解】，故，令，故因为在为减函数，所以存在，使得，故，又，故，所以填【点睛】若在给定区间上是单调函数，那么我们可以先求出单调区间的一般形式（实际上是无数个单调区间），其中必定存在一个区间，使得给定的区间是其子集，从而求得参数的取值范围解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 已知各项均为正数的数列的前 项和为，且成等差数列。10/19（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值。【答案】（ 1）；（ 2）【解析】分析：第一问需要利用条件确定出项与和的关

13、系，之后类比着往前写，之后两式相减，求得相邻两项的关系，确定出数列为等比数列，之后应用等比数列的通项公式求得结果；第二问利用利用题中条件，求得，之后应用裂项相消法求和即可得结果.详解：（ 1）由题知，当时，；当时，即，所以数列为以 2 为公比的等比数列，所以数列的通项公式为；（2）由，得，所以，所以点睛：该题属于数列的综合题，题中考查了数列的通项公式以及求和问题，在解题的过程中，需要明确对数列的项的关系的转化，利用等比数列的定义得结果，在求和时，一定需要熟记裂项的规则，从而求得结果.18. 如图，已知四边形是直角梯形，且，是等边三角形，为的中点11/19（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值

14、【答案】 (1) 见解析 ;(2).【解析】分析 : (1)先证明平面, 再证明平面.(2)利用空间向量法求二面角的余弦值详解：（ 1）证明：取的中点为，连接，由题意知，可得四边形为平行四边形，所以由题可知，且，平面，面，所以平面，又平面，为正三角形，又，平面，平面，平面，又，平面（ 2）解：由（ 1）可知平面，又平面，则平面平面，为正三角形，因此取的中点为坐标原点，以为 轴，在底面内过作的垂线为轴，为 轴，建立空间坐标系，则，设平面的法向量为，则即可取，12/19设二面角的大小为，则点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的

15、运算能力. 证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.（）求椭圆的方程和点的坐标；（）过点的直线与圆 相交于、 两点，过点与 垂直的直线与椭圆相交于另一点 ，求的面积的取值范围 .【答案】 ( ) 椭圆的方程为， 点 P的坐标为.( ).【解析】分析：（ I ）由题意计算可得， 则椭圆的方程为， 结合几何性质可得点 P 的坐标为.（II ）由题意可知直线 l 2 的斜率存在，设 l 2 的方程为，与椭圆方程联立可得， 由弦长公式可得

16、； 结合几何关系和勾股定理可得， 则面积函数， 换元求解函数的值域可得ABC的面积的取值范围是13/19详解：（ I ）设，可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，由题意知，得，由，得，所以椭圆的方程为，点 P的坐标为.（II ）由过点 P 的直线 l 2 与椭圆相交于两点，知直线l 2 的斜率存在，设 l 2 的方程为，由题意可知，联立椭圆方程，得，设，则，得，所以；由直线 l 1 与 l 2 垂直，可设l 1 的方程为，即圆心到 l 1 的距离，又圆的半径，所以，由即，得，设，则，当且仅当即时，取“”，14/19所以 ABC的面积的取值范围是点睛： (1) 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双

17、曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式20.2017 年 5 月，“一带一路”沿线的20 国青年评选出了“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购 .2017 年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用. 某商家统计前 5 名顾客扫描红包所得金额分别为5.5 元， 2.1 元， 3.3元， 5.9元， 4.7元，商家从这 5 名顾客中随机抽取 3 人赠送台历 .（1）求获得台历的三人中至少有一人的红包超过5 元的概率

18、；（2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数与商家每天的净利润元，得到7 组数据，如表所示，并作出了散点图 .（i ）直接根据散点图判断，与哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型 . （的值取整数）（ii ）根据（ i ）的判断，建立关于的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35 时，商家当天的净利润.参考数据：22.86194.29268.863484.2915/19附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.【答案】（）; （）（）见解析;（）见解析.【解析】【分析】（1）总的基本事件有 10 种，至少有 1 人的红包超过 5 元的有 9 种，利用古典概型的计算公式

19、可求概率 .（2）利用公式计算回归方程并预测相应的数据.【详解】（）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5 元”为事件， 5 名顾客中红包超过5元的两人分别记为，不足 5 元的三人分别记为，从这5 名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下：共 10种 .其中至少有一人的红包超过5 元的是前9种情况，所以.（）（）根据散点图可判断，选择作为每天的净利润的回归方程类型比较适合.（）由最小二乘法求得系数，所以所以 关于 的回归方程为.当时，商家当天的净利润元，故使用支付宝付款的人数增加到35 时，预计商家当天的净利润为352 元.【点睛】古典概型的概率计算，关键是总的基本事件的个数和随机事件中基本事件个数的16/19计算 . 可以用枚举法或排列组合的知识来计数.21. 设函数，其中为实常数，其图像与轴交于两点，且.（I ） 求 的取值范围；（II ）设，证明：.【答案】 (1)见解析 ;(2)见解析 .【解析】试题分析：（ 1）求出函数导数后，通过分类讨论，分析函数单调性，结合函数零点个数，得出 a 的范围；（ 2）先计算，利用分析法证明结论.试题