中考数学专题：反比例函数中的直角三角形问题(解析版)

1、专题13 反比例函数中的直角三角形问题1、如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC若ABC的面积为2（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数y=（m0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tanACO=2（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上求点E，使ACE为直角三角形（直接写出点E的坐标）【答案】（1）y

2、=，y=2x+4；（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0）3、如图，一次函数ykx+b（k0）与反比例函数y（a0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BCy轴，垂足为C（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在射线CB上是否存在一点D，使得AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标解：（1）点B（2，3）在反比例函数y的图象上，a3×26，反比例函数的表达式为y，点A的纵坐标为6，点A在反比例函数y图象上，A（1，6），一次函数的表达式为y3x+9；（2）如图，当OD1A90°时，设BC

3、与AO交于E，则E（，3），AEOED1E，E（，3），D1的坐标为（，3）；当OAD290°时，可得直线AD2的解析式为：yx+，当y3时，x19，D2的坐标为（19，3），综上所述，当AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y（m为常数，m1，x0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点（1）求OCD的度数；（2）如图2，连接OQ、OP，当DOQOCDPOC时，求此时m的值；（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点再以OA、OB为邻边作矩形OAMB若点M恰好在函数y（m为常

4、数，m1，x0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度解：（1）设直线PQ的解析式为ykx+b，则有，解得，yx+m+1，令x0，得到ym+1，D（0，m+1），令y0，得到xm+1，C（m+1，0），OCOD，COD90°，OCD45°（2）如图2，过Q作QMy轴于M，过P作PNOC于N，过O作OHCD于H，P（m，1）和Q（1，m），MQPN1，OMONm，OMQONP90°，OMQONP（SAS），OQOP，DOQPOC，DOQOCDPOC，OCD45°，DOQPOCQOHPOH22.5°，MQQHPHPN1，OC

5、DODC45°，DMQ和CNP都是等腰直角三角形，DQPC，OCODm+1，CDOC，CDDQ+PQ+PC，2+2，m+1；（3）如图3，四边形BAPQ为平行四边形，ABPQ，ABPQ，OAB45°，AOB90°，OAOB，矩形OAMB是正方形，点M恰好在函数y（m为常数，m1，x0）的图象上，M（，），即OAOB，ABPQ，解得：m或（舍），OAOB5、如图，反比例函数y的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，BAC75°，ADy轴，垂足为D（1）求反比例函数的解析式；（2）求DC的长

6、；（3）在x轴上是否存在点P，使得APE与ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）反比例函数y的图象经过点，k2，反比例函数的解析式为：；（2）过点B作BMAD于M，把B（1，a）代入得，B（1，2），AMBM21，BAM45°，BAC75°，DAC75°45°30°，CDADtanDAC2×2；（3）存在，如图，OCCDOD1，OEOC，当APx轴时，APECDA，则：OP1AD2，P1（2，0），当APAE时，APEDCA，AP11，AP2P190°30°60°则，

7、综上所述，满足条件点P的坐标为（2，0），（，0）6、如图，直线yx+b与反比例函数y（x0）的图象交于A（2，6），B（a，3）两点，BCx轴（点C在点B的右侧），且BCm，连接OC，过点C作CDx轴于点D，交反比例函数图象于点E（1）求b的值和反比例函数的解析式；（2）填空：不等式x+b的解为 ；（3）当OC平分BOD时，求的值；（4）如图，取BC中点F，连接DF，AF，BD，当四边形ABDF为平行四边形时，求点F的坐标（1）将A（2，6）代入yx+b得，3+b6，解得：b9，将A（2，6）代入y得，k12，反比例函数的解析式为：y；（2）当y3时，3，解得：x4，B（4，3），由图象可知

8、不等式x+b的解为：2x4，故答案为：2x4；（3）将B（a，3）代入y得，3，解得：a4，OC平分BOD，BOCCOD，BCx轴，BCOCOD，BOCBCO，OBBC，B（4，3），OBBC5，C（9，3），E（9，），D（9，0），DE，CE3，；（4）作AHBC于H，则H（2，3），AH3，BH2，四边形ABDF为平行四边形，ABDF，ABDF，CFDCBQ，AHBDCF90°，ABHCBQ，CFDABH，ABHDFC（AAS），CFBH2，F是BC中点，BFCFBC2，B（4，3），F（6，3）7、定义：在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位的平移称为

9、一次斜平移已知点A（1，0），点A经过n次斜平移得到点B，点M是线段AB的中点（1）当n3时，点B的坐标是 ，点M的坐标是 ；（2）如图1，当点M落在y的图象上，求n的值；（3）如图2，当点M落在直线l上，点C是点B关于直线l的对称点，BC与直线l相交于点N求证：ABC是直角三角形；当点C的坐标为（5，3）时，求MN的长解：（1）根据平移的性质，点A（1，0）经过n次斜平移得到点B的坐标为（1+n，2n），当n3时，点B的坐标是（4，6），点M是线段AB中点，点M的坐标是（2.5，3），故答案为：（4，6），（2.5，3）（2）由题意，A（1，0），B（1+n，2n），线段AB中点M（，n），

10、点M落在y的图象上，×n4，解得n2或n4（舍去），n2；（3）连接CM，如图1，M是AB的中点，AMBM，由轴对称可知：BMCM，AMCMBM，MACACM，MBCMCB，MAC+ACM+MBC+MCB180°，ACM+MCB90°，即ACB90°，ABC是直角三角形；点C的坐标为（5，3），点A（1，0），AC5，点C是点B关于直线l的对称点，BNCN，点M是线段AB的中点AMBM，MNAC8、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y（k0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变（1）若点A的

11、横坐标为5，求点D的纵坐标；（2）如图（2），当k8时，分别求出正方形ABCD的顶点A、B两点的坐标；（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形ABCD有重叠部分时，求k的取值范围解：（1）如图，过点A作AEy轴于点E，则AED90°四边形ABCD为正方形，ADDC，ADC90°，ODC+EDA90°ODC+OCD90°，EDAOCD，在AED和DOC中，AEDDOC（AAS），ODEA5，点D的纵坐标为5；（2）作AMy轴于M，BNx轴于点N，设ODa，OCb，同理可得BCNCDOADE，CNODAMa，BNCODMb，A（a，a+b），B（a+b

12、，b），点A、B在反比例函数y的图象上，a（a+b）8，b（a+b）8，解得ab2或ab2（舍去），A、B两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；（3）设直线AB的解析式为ymx+n，把A（2，4），B（4，2）代入得，解得，直线AB解析式为yx+6，同样可求得直线CD解析式为yx+2，由（2）可知OCD是等腰直角三角形，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），当A点在直线CD上时，则2mm+2，解得m，此时点A的坐标为（，），k×；当点D在直线AB上时，有m6，此时点A的坐标为（6，12），k6×1272；综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形ABC

13、D有重叠部分时，k的取值范围为x729、如图，如图，一次函数yx+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B （1，3）（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP当ABP是直角三角形时，求出点P的坐标解：（1）点A（m，1）和B （1，3）在反比例函数的图象上，k1×（3）3，km×1，m3，点A（3，1），反比例函数解析式为：y；一次函数yx+b过点B（1，3），31+b，b2，一次函数解析式为：yx2；故答案为：yx2，；（2）如图1，当ABP90°时，过点P作CDx轴，过点A作ACDC于C，过点B作

14、BDCD于D，设点P的坐标为（x，0），ACx+3，CP1，PD3，BDx1，APB90°，APC+BPD90°，又APC+CAP90°，CAPBPD，又CBDP90°，ACPPBD，x11，x21（舍去），点P（1+，0）；当ABP90°时，直线yx2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点C（2，0），点D（0，2），OC2，OD2，CD2，BC3，tanOCD，CP6，点C（2，0），点P（4，0），综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）10、如图，一次函数yx+3的图象与反比例函数y（k0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴

15、交于点C（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）把点A（1，a）代入yx+3，得a2，A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，k1×22；反比例函数的表达式为；（2）一次函数yx+3的图象与x轴交于点C，C（3，0），设P（x，0），PC|3x|，SAPC|3x|×25，x2或x8，P的坐标为（2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，B点坐标为（2，1），点P在y轴上

16、，设P（0，m），AB，AP，PB，若BP为斜边，BP2AB2+AP2 ，即 2+，解得：m1，P（0，1）；若AP为斜边，AP2PB2+AB2 ，即 +2，解得：m1，P（0，1）；综上所述：P（0，1）或 P（0，1）11、如图，直线yx+6与反比例函数y（x0）分别交于点D、A（ABAC），经探索研究发现：结论ABCD始终成立另一直线ymx（m0）交线段BC于点E，交反比例函数y（x0）图象于点F（1）当BC5时：求反比例函数的解析式若BE3CE，求点F的坐标（2）当BE：CD1：2时，请直接写出k与m的数量关系解：（1）针对于直线yx+6，令x0，则y6，A（0，6），OA6，令y0，

17、则0x+6，x8，D（8，0），OD8，AD10，BC5，AB+CDADBC5，ABCD，AB，过点B作BGy轴于G，AGB90°AOB，BAGDAO，ABGADO，AG，BG2，OGOAAG，B（2，），点B在反比例函数y（x0）图象上，k2×9，反比例函数的解析式为y；BC5，BE+CE5，BE3CE，BE，AEAB+BE，过点E作EHy轴于H，AHE90°AOB，HAEOAD，HAEOAD，AH，BG5，OHOAAH，E（5，），直线OE的解析式为yx，联立，解得，（舍）或，F（2，）；（2）BE：CD1：2，BEa，则CD2a，ABCD2a，AEAB+BE

18、3a，过点E作EHy轴于H，同（1）的方法得，HAEOAD，AHa，EHa，OHOAAH6a，E（a，6a），将点E坐标代入直线ymx（m0）中，解得am6a，a，将点E的坐标代入反比例函数y（x0）中，解得，ka（6a）a（103a）×（10）13、如图，已知直线y2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y图象上，过点B作BFOC，垂足为F，设OFt（1）求ACO的正切值；（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；（3）已知直线y2x+2与反比例函数y图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DEx轴，求m的值解：（1）直线y2x+2与x轴交于

19、点A，与y轴交于点C，点A（1，0），点C（0，2）OA1，OC2，tanACO；（2）四边形ACBE是矩形，ACB90°，ACO+BCF90°，且BCF+CBF90°，ACOCBF，OFt，CF2t，tanCBFtanACO，BF42t，点B（42t，t）；（3）如图，连接DE，交x轴于H点，DEx轴，AHE90°，HAE+AEH90°，且CAO+HAE90°，CAO+ACO90°，ACO+BCF90°，AEHBCF，且CFBAHE，AEBC，BCFAEH（AAS）AHBF42t，CFHE，点A（1，0），点H（32t，0），当x32t时，y2（32t）+284t，点D坐标为（32t，84t），点D，点B都在反比例函数y上，（32t）（84t）t（42t）t12（不合题意舍去），t2；点B（，）m×14、如图，过原点的直线y1mx（m0）与反比例函数y2（k0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E