2017年北京高考数学真题及答案(理科)

1、绝密本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。数学（理）（北京卷）第1页（共11页）(1)若集合Ax|2 x 1 , B x |x 1 或 x3，则AI B(2)(3)(A) x|(C) x|(A)(C) (1,i)(a,1)1(B)x|2x31(D)x|13i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数执行如图所示的程序框图

2、，输出的s值为(A)a的取值范围是(B)(D)(B)(C)(D)(，1)(1,)(4)若x, y满足(A) 1(C) 5(5)(6)(8)x< 3,x y02,则x 2y的最大值为 y & x,已知函数f(x)(A)是奇函数,(C)是奇函数,(B)(D)3x且在且在R上是增函数R上是减函数设m,n为非零向量，则“存在负数(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)(D)是偶函数，且在是偶函数，且在R上是增函数R上是减函数n 0”(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(A)(B)(C)(D)根据有关资料，围棋状态空间复

3、杂度的上限M约为子总数N约为1080 ,则下列各数中与 M最接近的是(参考数据:lg3 0.48)(A) 1033(B) 1053(C) 1073(D) 10933361,而可观测宇宙中普通物质的原数学(理)(北京卷) 第7页(共11页)第二部分(非选择题 共110分)、填空题共6小题，每小题5分，共30分。2(9)若双曲线x2 y- 1的离心率为 百,则实数m . ma 2(10)若等差数列an和等比数列bn满足ai bi 1 , a4 b4 8 ,则一.n，b2(11)在极坐标系中，点A在圆22 cos 4 sin 4 0上，点P的坐标为(1,0),则| AP |的最小值为.(12 )在平

4、面直角坐标系xOy中，角 与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin (13)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a b c,则a b c”是假命题的一组整数 a,b,c的值依次为(14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i 1,2,3.零件数(件)A.B2A2* B1A3. 记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总 数，则Q1，Q2，Q3中最大的是；记R为第i名工人在这一天中平均每小时加工 的零件数，则p1, p2, P3中最大的

5、是 .工作时间(小时)三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)3在4ABC 中，A 60°, c 3a.7(I)求sinC的值；(n )若a 7 ,求 ABC的面积.(16)(本小题14分)底面 ABCD为正方形，平面 PAD 平面 ABCD，点M在如图，在四棱锥P ABCD中,线段 PB 上，PD 平面 MAC , PA PD 76, AB 4.(I )求证：M为PB的中点；(n)求二面角 B PD A的大小；(出)求直线 MC与平面BDP所成角的正弦值.(17)(本小题13分)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组

6、，每组各 50名，一组服药，另组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“表示服药者,BD *D* * * * *K* * *J.*60* * * * * .* 士 * * * *1.7指标x(I)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率;(n)从图中A, B,C, D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(出)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)(18)(本小题14分)1 ,已知抛物线 C: y 2Px过点P(1,1).过点

7、(0,万)作直线l与抛物线C交于不同的两点M , N ,过点M作x轴的垂线分别与直线 OP, ON交于点A, B ,其中O为原点.(I )求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(n)求证：A为线段BM的中点.(19)(本小题13分)已知函数f(x) ex cos x x .(I)求曲线y f(x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n )求函数f (x)在区间0,上的最大值和最小值. 2(20)(本小题13分)设an和bn是两个等差数列，记Cn max bi an, b2 a2n, L , bn ann ( n 1,2,3,L ),其中maxx1,x2,L ,xs表示x，x2,L ,

8、xs这s个数中最大的数.(I)若an n , bn 2n 1,求C1,C2,C3的值，并证明Cn是等差数列；(n)证明：或者对任意正数 M ,存在正整数m ,当n>m时，/ M ；或者存在正整数 m , ，n使得Cm,Cm 1,Cm 2,L是等差数列.(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)数学(理)(北京卷) 第#页(共11页)(16)(共 14 分)绝密启用前数学（理）（北京卷） 第13页（共11页）2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)(1) A(2)B(3)C(4)D(5) A(6)A(7)B(8)D

9、二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9)2(10) 1(11) 1(12) 79(13) 1, 2, 3 (答案不唯一)(14) Q1p2三、解答题(共6小题，共80分)(15)(共 13 分)解：(I)在 4ABC 中，因为 A 60o, c a ,7所以由正弦定理得sinCcsinA 33a 7 T3.374(n)因为a 7,所以c 3 7 3 .7由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA得 72 b2 32 2b 3 -2解得b 8或b 5 (舍).所以 ABC 的面积 S - bcsin A 18 3 673 . 222解：（I ）设AC, BD交点为E ,连接ME .因

10、为PD /平面MAC ,平面MAC I平面PDB ME ,所以 PD /ME .因为ABCD是正方形，"所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.（n ）取AD的中点O ,连接OP, OE .因为PA PD ,所以OP AD .又因为平面 PAD 平面ABCD，且OP 平面PAD ,所以OP 平面ABCD .因为OE 平面ABCD ,所以OP OE .因为ABCD是正方形，所以 OE AD .如图建立空间直角坐标系O xyz,则 P(0,0,V2) , D(2,0,0) , B( 2,4,0),BD (4, 4,0) , PD (2,0,历.设平面BDP的法向量为n (x, y, z)

11、,则n BD 0,n PD 0,4x 4y2x 2z0,0.令 x 1 ,则 y 1 , zJ2.于是 n (1,1,72).平面PAD的法向量为p (0,1,0).所以cos n, p由题知二面角B PD A为锐角，所以它的大小为71(m)由题意知 m(,21,2, )C(2,4,0), MC,2(3,2,牙).设直线MC与平面BDP所成角为，则|n MC | 2.6 sin |cos n, MC | -|n|MC|9所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为 逆 . 9(17)(共 13 分)解：(I)由图知，在服药的 50名患者中，指标 y的值小于60的有15人,所以从服药的 50名患者中

12、随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为15500.3.(n)由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.C21P( 0)C! 6' P(1)c2c2"CTP(2)Cfc2所以的分布列为012121P636故的期望E( ) 0 1 1 2 2 - 1 . 636(m)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.解：（I21）由抛物线 C： y 2Px过点P（1,1）,得p万所以抛物线C的方程为y2 x .抛物线C的焦点坐标为（1,0）,准线方程为x4(n）由题意，设直线l的方程为y kx

13、1 （k 0）与抛物线C的交点为M (xi,yi), N(X2,y2).kx12, 得 4k2x2(4k 4)x 1 0 .则x1X2xix212 4k因为点P的坐标为(1,1)所以直线OP的方程为y x ,点A的坐标为供内）.直线ON的方程为y "y2x,点 B 的坐标为(x1,-y2-x1).x2x2因为y1型 x22x1y1x2 y2x1 2x1x2x2八 11、(kx1) x2 (kx2) x1 2x1x22x21 ,、(2k 2)x1x2 -(x2 x1)x211 k(2k 2)9 1k4k 2kx20,所以y1x2故A为线段BM的中点.(19)(共 13 分)f (0)

14、0 解：(I)因为 f(x) excosx x,所以 f (x) ex(cosx sinx) 1 ,又因为f (0) 1,所以曲线y f(x)在点(0, f (0)处的切线方程为y 1 .(n)设 h(x) ex(cosx sinx) 1,贝U xx .h (x) e (cosx sinx sinx cosx) 2esinx.当 x (0,2)时，h(x) 0, 2所以h(x)在区间0,上单调递减.2所以对任意x (0,-有卜依)h(0) 0,即f(x) 0 . 2所以函数f(x)在区间0上单调递减.，2因此f(x)在区间0,j上的最大值为f(0) 1,最小值为f( ；)(20)(共 13 分

15、)解：(I) g b1 a1 1 1 0,c2maxbi2五生2a2max12 1,3 2 21,c3maxb3a1,b23a2,h 3max1 3 1,33 2,53 32 .当n)3时，(bk 1nak1)(bkna"(bk 1bk)n(ak1a"2 n 0 ,一一* 所以8 nak关于k N单调递减.所以 cnmaxb1a1n,b2a2"L ,bnannb1an1 n .所以对任意n > 1, cn 1 n ,于是cn 1 cn1,所以cn是等差数列.(n)设数列an和bn的公差分别为d1,d2,则bk nak b1 (k 1)d2 a1 (k 1)d1nbi an ndi )(k 1).bi an (n 1)。ndi),当 d2 ndi 时，所以Cnt,bi ain,当 d2 & ndi 时.当di 0时，取正整数m 电，则当nm时，ndi d2,因此Cn bi an . di此时，Cm,Cm i,Cm 2,L是等差数列.当d1 0时，对任意n>i,Cn