点集拓扑(答案)

1、好负料推荐使 g(x) =匕)xe/(n1 % 当工名/O)其中九选择公理定义：设X是一个集合。记 *为X中的所有非空子集构成的集 族，即发= 仲如果一个映射 f:黄7X满足条件：对于任意AX，有山)6/，则此映射6施 为集合X的一个选择函数。任何一个 函数都有选择函数就是选择公理.L设X和Y是两个集合©证明：cardY <cardX当且仅当存在一个从X到Y的 满射。证：设cardYqcardX,即存在一个Y 到X的一一映射K定义g： XfF,为Y中一固定元，则g是从X到Y上 的映射。反之，若存在从X到Y上的映射g, 记 a-= Ay:yer；g",(y) = Ayi

2、 a是 X中非空族，并且a中成员两两无交， 由Zcrmelo假定存在集合CuX，使得 对于每一/wa, /cC是单点集，所 以存在C到Y上的映射,即2 .设7；和笃是集合X的两个拓扑。证明 小笠也是集合X的拓扑。举例说明 方可以不是X的拓扑。证：若7；,看都是X的拓扑，由于 利xm 所以也xw7；n笃：任意 /,占wtn%,即 遇，所以 /n3任意 TuTjn7；，即 Tu7,&,即，则 U44W，所以 2cT|jdb；nG，因此4nn是x的拓 AeT 扑。例：设 X=/加G，Z=a,b,ch 加，"=皿,如/©4易见工都是X的拓扑，但 看皿=a,a,c,b,C，K

3、b,C)，而 力，势w7；Un，母=11的区北 U”，因此7；Un不是X的拓扑。3 .设(X,T)是一个拓扑空间,其中8是 任何一个不属于X的元素。令 X*=XU8, T = TX*.证明 (X：T)是一个拓扑空间。证：显然©,X*wT；任意48eT,若 A, B中有一个为；T,显然/D刀 ;若凡田£丁，则/口丑故总 有/口田上丁；任意7；uT,若X'wT； ,则3孑eT;若才任*,即 工£乙也有JA = TT,故总有UnwT,所以为拓扑空间， 师4 .证明实数集R有一个拓扑以集族 5)|aeRU(8,句为它 的一个基，并说明这个拓扑的特点.证：记 P=

4、(-w,a：aeRUfe I«): AeR"因为 R Z)(JJerS z> ( oo,aU a»+oo) = R .所以UsbS，由定理知， 存在R的唯一拓扑以P为子基。任 意 XWK， 因 为 (7幻， 口,+8)ePuT 所以x = (-co,x|n|x,+co) e T，即 R 的每 一单点集皆为开集，因此T是R的离 散拓扑。5 .如果Y是拓扑空间X的一个开子 集，则Y作为X的子空间时特别称为 X的开子空间。证明：(1)如果Y是 拓扑空间X的一个开子空间，则ZuP 是Y中的一个开集当且仅当A是X的 一个开集。证：设Y为X的开子空间，AuX, 则/ =

5、 /n为Y的开集；反之，若A 为Y的开集，则存在X的开集B使 A = BrY,而Y为X的开集，所以A 为X的开集。有限补空间.设片是一个集合。首先我们重申：当 我们考虑的问题中的基础集自明时，我 们并不是每次提起。因此在后文中对于 X的每一个子集/，它的补集我们写 为令T=匚£| U0 先验证T是X的一个拓扑：(1)XeT,因为丫=0；另外，根据定义 # 0eTo ( 2)设 48eT,如果 43之中有一个是空集，则 /。3=0仁丁.假定48都不是空 集。这时(adb)'=a'UR'是X是一个 有限子集，所以ADBeT. (3)设 才仁7令4=7；0.显然有

6、UA=UA如果 寸 则 AcJi A .|jA=UA = 0wr,设/#0。任意 具6为 AeJj选取Ao£/.这时 (Ua)=<ua) 包 A.二JAuA。是X的一个有限子集， AclJ所以UaAeT。根据上述是X的一 个拓扑，称之为X的有限补拓扑。拓 扑空间(X,T)称为一个有限空间。 可数补交问。设X是一个集合。令T = 0 u XI。,是一个有限可数子集 U0通过与例224中完全类似的做 法容易验证(请读者自证)r是x的 一个拓扑，称之为x的可数补拓扑。 拓扑空间(工丁)成为一个可数补空间。6,、证明：1、从拓扑空间到平庸空间 的任何吠射都是连续吠射.2、从离散 空间到

7、拓扑空间的任何映射都是连续映 射,证：1、设广XTF为从拓扑空间X 到平庸空间丫的映射，因为:*<©)= sfy)=X,而丫为平庸空间，所以丫中任一 开集的原像都是X的开集，即/为连 缕映射。2、设/二Xf y为从囹散空间x到任 一拓扑空间Y的映射，对Y中每开集 U,因为X为离散空间，所以i(U) 是X的开集，即f是连续映射.7、设X和丫是两个拓扑空间， f.XY.证明一下两个等价。(1)、f连续。(2)、对于丫的任一子 集B，B的内部的原像包含于B的原像 的内部，即：广促物证明：对于任意BuF,BuF,由定 理知，有f连续当且仅当广Ye(砌) ncCr05»当且仅当

8、广(兑8»二 广g(«砌尸厂(长砌一 «尸(3二长 尸尸尸3O8、证明离散的拓扑空间中的序列七 收敛的充分必要条件是存在NwN,使 得当ij>N时号=、。证明：充分性显然。必要性，设离散的 拓扑空间X中的序列XJ收敛于X、因 处为x的开领域，所以存在NWN使 得当iN时，覆£»，即当iN时， xi=x，因此当 ij>N 时，x=x-=x. 9、设名和招是两个拓扑空间， 与*当是它们的积空间。证明对于任 何A仁耳，Bu 苍有彳x4=AxB “ 证明：设X=(X,X2)eZxB,对于任意 开领域U*v G Ux7从而(Oxr)cAx於二

9、(UcB)x (Un A)二0即UcA¥0, (Uc8)¥0，贝e/'Xj £jB。® X =(XpXj) G B, IxXu/x不。反之，设 X=(XpX,)EAxB >与eZ, Xj eB ,对任意开领 域WE%,存在。W=U*V,由于(U cA) W 0， (Uc万)W 0(Uc&x(Uc5)=Wc ( AxB ) ±0,所以 xw Axli,故IxBn/x后，所以得证。-(U4)=A<-4)10.证明：:3-d4)=0$-4)Zf-1«j4)oxw 笈目r=lH2 /4好负料捱荐。xe B且“区4

10、"二对任何"i ，X £ B且X任4 u>对任何1 eWxwB-A o%6n逐一4M所以石一;作月。 r=lr=1（2）X£E-（P|4）<z>X£j?且 X00|4 II。工eB且存在3 x任4。存在3 使工£石且工仁4。存在I， 使x 万-4 0 "3-4）°日所以 e04）=O（h4）If-11LN为自然数，令4r=胃+L-， 力二LZ -。并令 t=0，4,4 （1）证明T为N的柘扑。（2）写出 IwN的所有开邻域.证：（1）显然0, N = AeT，又 0n4=0et， =lz -，任意

11、 工U% U454=41bl84由 因此 T为N的拓扑。（2）的唯一的开邻域为 4 = n°设和与和巧都是拓扑空间。证明：1）积空间典乂为同胚干积空间 X2xX1：2）积空间（XjXXzNX?同胚干积空间 %1><（%2乂*3）：3）如果禹/空集并且空间为又匕同 胚于积空间孤乂三，则苍同胚干E证明：（1）定义f ：XX玛->*2乂毛 使fW =f巧户2=（孙马），x=（xpx2）gX1xX2，显然f为在空间 上的一一映射，又好。了 = %, 外。/ 二马，皆为连续映射，故/连续， 类似可证二】也连续，即/是同胚，故 %><片2同胚于积空间 xXj（2）由

12、定理3.2.9,知得乂苍乂羽同 胚于（毛又招*及，下证明 X|X%xX,同胚于£产（占乂冬）；记X xX2 XX、向XMaX,的投影分别为 匕，埠p/，乂 xX,向招，乂的投影分别为，将为x（X2xX3）向X、 ，玛乂鼻投影分别记为4,舄，则这些 投影皆为连续映射，定义吠射 广昌乂N2 乂 K 7冬X （毛乂玛）， 使 得 任 意（xnx2,x3）e Xx xX2 xX3, /（xp X2 ,X,）= （xp （x2,» G名“招xX）显然f是在空间上的一 一 映射。又 4。/二心 鼻。鸟。/=%，外。鸟。/=玛都为连 续映射，故马。/连续，所以f为连续 映射，类似可证广也为连续映射，故 f为同胚，即名乂羽乂玛同胚干（4）由题意知存在同胚 厂名乂玛箝乂羽,取£外则 力乂*2匚禺乂苍由3.1习题8 （ 1） /1:?口匕一处乂及是一个同 胚，令g二乂睇乂当，对任何 工£Xkg*） = 3户）是一个同胚.作 h：X,二七。/人弓啾克）是一个同胚，其中鸟是力乂又3的第二个 投 射。3.1证明：离散空间（平点空间）的任 何一个商空间都是离散空间（平庸空 间）证明：（1）设（X&）是离散空间。（X/犬用）是商空间，则就是相对于自 然的投