空间曲线的副法线曲面方程的研究

1、期 中 论文课程: 微 分 几 何 题目: 空间曲线的副法线曲面方程研究 姓名: xxx 学号: xxx 日期: 2014年6月9日 空间曲线的副法线曲面方程研究摘要 几何是以微积分作为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何学，作为数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些学科发展的一项重要T具经典的微分几何研究三维欧氏空问的曲线和曲面在一点邻近的性质，它是用微积分和线性代数的方法研究空问曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统 本文主要研究的是一种特殊的曲面一一副法线曲面。所谓副法线曲面是指，一条曲线的副法线所产生的直纹面显然，副法线曲面具有直纹面的

2、性质，但是作为一种特殊的直纹面，它还具有一些独特的性质例如，副法线曲面的腰曲线是该曲面的导线然后我们讨论了副法线曲面的极小轨迹和常高斯曲率曲线，以及曲线的挠率中心轨迹在该曲线的副法线曲面上的特殊性质。类比一般空间曲线、曲面的研究方法,把向量、微积分的思想融入到即可曲线的副法线曲面几何性质的研究中，对空间曲线的副法线曲面的方程进行研究。使对空间曲线的副法线曲面进一步理解和认识。 关键字：副法线，副法线曲面，基本三棱形，第一、二基本形式，主曲率，高斯曲率，平均曲率，渐进线。The binormal surface equation of space curve Abstract Different

3、ial geometry is an operational geometry,in which the characteristics of curves and surfaces are analyzed by using the methods of differential and integral calculusBecause differential geometry involves in other branches of mathematics and sciphysics deeply as an important branch of mathematicsit wil

4、l become a main too1 which promote these disciplinestheoretical developmentIn classical differential geometry,we study local properties of curves and surfaces in Euclidean SpaceBy local properties we mean those properties which depend only on the behavior of the curve or surface in the neighborhood

5、of a pointand find out Invariant system which forms the shape of curves and surfaces In this paper, the main research is a special kind of curve one one binormal surface. The so-called binormal surface is a ruled surface of a curve, the binormal generated. Obviously, binormal surface with ruled surf

6、ace properties, but as a special kind of ruled surface, it also has some unique properties. For example, the lumbar curve binormal surface is the guide line of the curved surface. Then we discuss the minimal locus binormal surface and constant Gauss curvature curve, and special properties of binorma

7、l surface curve of the torsion center track in the curve. Research methods like the general space curve, curved surface, the vector, calculus thought into the binormal surface geometric properties can be of the curve, binormal surface of space curve equation of. The binormal surface for the space cu

8、rve and the further understanding and understanding. Key Words：binormal surface；mean curvature；Gauss curvature；principal curvature ；principal direction；minimal locus；center locus of torsion 目 录第1章 前 言31.1微分几何3 1.2 本文的主要内容4第2章 副法线曲面的基本理论和性质52.1 空间曲线的副法线曲面方程5 2.2 空间曲面的副法线曲面上曲线的几何性质6 2.11副法线曲面上的基本三棱形.6

9、 2.1.2 副法线曲面上曲线的曲率，挠率和伏雷内公式.7第3章 空间曲线的副法线曲面的几何性质.83.1 副法线曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长.83.2 副法线曲面的第二基本形式.83.3副法线曲面的法曲率.93.4 副法线曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率.10第4章 空间曲线的副法线曲面上的特殊曲线族.104.1 空间曲线的副法线曲面的渐近方程.104.2 空间曲线的副法线曲面的主方向和曲率线.11参考文献12致谢12第1章 前 言1.1微分几何 微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质

10、的数学分支学科 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的<<分析在几何学上的应用一书，这是微分几何最早的一本著作在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素1827年，高斯发表了<<关于曲面的一般研究的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础微分几何

11、发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内在几何学其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的某一区域的面积、测地线、测地曲率和主曲率等等他的理论莫定了近代形式曲面论的基础1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了埃尔朗根纲领，用变换群对已有的几何学进行了分类在埃尔朗根纲领发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学

12、派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科12本文的主要内容 在许多微分几何书上都介绍了曲线和曲面的性质，其中还包括一些特殊的曲线和曲面，本文主要研究的就是一种特殊的曲面副法线曲面所谓副法线曲面是指一条曲线的副法线所产生的直纹面显然，副法线曲面具有直纹面的性质，但是作为一种特殊的直纹面，它还具有一些独特的性质例如，副法线曲面的腰曲线是该曲面的导线，曲线，0)的副法线曲面沿它的挠率中心轨迹的平均曲率为零，其中f=2饼 Mmmheim侣线

13、作为特殊的空间曲线具有许多良好的几何性质和代数性质本文对IVlannheim侣线的副法线曲面进行了主要研究，推导了它的两个渐近方向，以及它沿M锄lnheim曲线的两个渐近方向通过运算还得到了Mamlheim侣线的副法线曲面的曲率线微分方程，并且得到了Mannheim侣线的副法线曲面沿Mannheim曲线的任一点的两个主方向还证明了对于Mannheim侣线的副法线曲面，沿Mannheim曲线的主曲率之比为1；Mannheim曲线是Mannheim侣线的副法线曲面的极小轨迹第2章 副法线曲面的基本理论和性质2.1 空间曲线的副法线曲面的方程 这一章主要讨论副法线曲面的一些基本理论和性质，定义曲线的

14、挠率中心迹，并且对曲线的挠率中心轨迹进行了深入的研究 设任意空间曲线的参数方程为：（其中为自然参数），为曲线上任意一点的副法向量；则曲线的副法线曲面方程为：（其中和为参数）。(如图1所示) 图12.2 空间曲线的副法线曲面上曲的几何性质2.1.1副法线曲面上曲线的基本三棱形由曲线的副法线曲面方程为：（其中和为参数）。当为固定常数时，空间任意曲线在其副法线曲面上对应的曲线方程为：；则副法线曲面上的任意曲线（）方程为：(其中为参数，为常量)。根据空间曲线的伏雷内（Frent）公式，即，则有，故曲线（）上一点的单位切向量：； 曲线（）上一点的主法向量：；曲线（）上一点的副法向量：。 我们把两两正交的

15、单位向量，称为副法线曲面上曲线上点的伏雷内（Frenet）标架。由知伏雷内标架构成右手系（如下图2）。 图2 图3因为，所以切向量和主法向量所确定的平面就是曲线（）在点的密切平面；又因为和都垂直于切于切向量，所以和所确定的平面是曲线（）上点的法平面；至于和所确定的平面则称为曲线（）上点的从切平面（如上图3）曲线（）上一点的密切平面：，或；曲线（）上一点的法平面：，或；曲线（）上一点的从切平面：，或。单位向量，也称为曲线（）的基本向量。由三个基本向量和密切平面，法平面，从切平面所构成的图形为曲线（）的基本三棱形（如图）。 对于曲线（）的一般参数表示：，有 ，。2.1.2 副法线曲面上曲线的曲率、

16、挠率和伏雷内（Frenet）公式 设副法线曲面上曲线（）的参数方程为：（其中和为参数）。根据空间曲线（）在点的曲率定义：，则空间曲线的副法线曲面上曲线（）在点的曲率： 。根据空间曲线（）在点的挠率定义：则空间曲线的副法线曲面上曲线（）在点的挠率为：空间曲线的副法线曲面上曲线（）的伏雷内（Frenet）公式：第3章 空间曲线的副法线曲面的几何性质3.1 副法线曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长设空间曲线的副法线曲面的参数方程为: （其中和为参数）；根据空间曲线的伏雷内（Frent）公式，即。有，。则第一基本量：，。故空间曲线的副法线曲面的第一基本形式为： = 。设曲线（）上两点，；则弧长为 =

17、。3.2 副法线曲面的第二基本形式 设类副法线曲面的方程为：。即有连续的二阶导函数，。有，；，。则第一基本量：，。有；，故副法线曲面的单位法向量为：。根据空间曲线的第二基本量类比有副法线曲面的第二基本量：，。 空间曲线的副法线曲面的第二基本形式为：=。3.3副法线曲面的法曲率类比空间曲面在给定点沿一方向的法曲率为： 即。3.4 副法线曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点处的主曲率。有空间曲面的法曲率可知曲面上已知点（非脐点）的法曲率是一个随着方向不断变化的，而且主曲率是法曲率中的最大值和最小值。即记曲面的主曲率为和。根据空间曲面的主曲率的计算

18、公式：.即空间曲线的副法线曲面的主曲率计算公式为：解得 ,.高斯曲率 ，平均曲率 第4章 空间曲线的副法线曲面上的特殊曲线族4.1 空间曲线的副法线曲面的渐近方程类比空间曲面上渐进曲线的方程：，得空间曲线的副法线曲面上渐进线的微分方程为：，即。定理 1 如果空间曲线的副法线曲面上有直线，则它一定是此曲面的渐进曲线。 2 空间曲线的副法线曲面在渐进曲线上一点出的切平面一点是渐进曲线的密切平面。 3 空间曲线的副法线曲面的曲纹网是渐进网的充要条件是 。 4 空间曲线的副法线曲面的曲纹网是共轭网的充要条件是，即4.2 空间曲线的副法线曲面的主方向和曲率线 空间曲线的副法线曲面上一点的两个方向，如果它们既正交又共轭，则称为曲面在点的主方向。空间曲线的副法线曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称为曲率线。 类比空间曲面的曲率线方程可知，空间曲线的副法线曲面的曲率线方程为：，即 ，即。定理 : 空间曲线的副法线曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是,即。参考文献1 梅向明，黄敬之.微分几何(第四版).北京：高等教育出版社，2008.2 梅向明，王汇淳，微分几何学习指导与习题选解【M，北京：高等教育出版社，2004.3吴大任微分几何讲义(第二版)【M】，北京：人民教育出版社，19