积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分

1、基本积分表基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdx|ln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax lnCxxdx|cos|lntan)18(Cxxdx|sin|lncot)19(Caxadxxaarctan11)1

2、4(22Cxaxaadxxa|ln211)16(22Caxdxxaarcsin1)15(22Caxaxadxax|ln211)17(22.)()(,1 badxxfdMfbaR时时上区间上区间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR时时上区域上区域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分 dvzyxfdMfR),()(,3时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR时时上平面曲线上平

3、面曲线当当曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),()(曲曲面元素面元素dS xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),()(投影投影面元素面元素dxdy其中其中dsQ

4、PQdyPdxLL)coscos( dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 理论上的联系理论上的联系1.1.定积分与不定积分的联系（定积分与不定积分的联系（牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式）)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 2.2.二重积分与曲线积分的联系（二重积分与曲线积分的联系（格林公式格林公式）)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 3.3.三重积分与曲面积分的联系（三重积分与曲面积分的联系（高斯公式高斯公式） RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( 的外侧取X-X-型区域：型区域：o oa ax xb bx xy

5、 yy=y= 1 1(x)(x)y=y= 2 2(x)(x).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf特点：特点： 平行于平行于y轴的直线与区域边界交点不多于两个轴的直线与区域边界交点不多于两个., bxa ).()(21xyx 1212例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解：解：将D看作X - 型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx1xxy 121 xxy xxyOY型型区域为：区域为：特点特点：平行于平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个轴的直线与区域边界交点不多于两个

6、.x xy ycdx=x=y y1 1(y)(y)x=x=y y2 2(y)(y)xyxfyyd),()()(21yyDdd),(yxyxf12( , )( )( )cydDx yyxyyy 121221d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y22 xy21 yxyxyOxy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1

7、 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下例例3.3.求求,122 Ddxdyyx其中其中D：x2+y2 1解：解：一般一般, 若若D的表达式中含有的表达式中含有x2+y2时，考虑用时，考虑用极坐标极坐标.0 xyx2+y2 1令令x=rcos , y=rsin , 则则x2+y2 1的极的极坐标方程为坐标方程为r = 1.由由(2)D*: 0 r 1, 0 2 Ddxdyyx22110222220sincos1rdrrrd102201rdrrd )(12121022rdr10232)1 (32r32另由另由几何意义几何意义：32)(21122单位球体积Ddyx重积分的应用重积分的应用

8、(1)体积体积的体积为为底的柱体为顶，以区域以曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面积曲面积xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz先一后二（穿线法）先一后二（穿线法）:. ),(),(),(),(21

9、DyxzyxzDdzzyxfdxdydyxF 三重积分的计算三重积分的计算其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)c

10、os,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐标球面坐标例例. 计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)c

11、oscos( 计计算算 y y y y dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( y y y y y y dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)定积分定积分曲线积分曲线积分二重积分二重积分计算计算计算计算Green公式公式各种积分之间的联系各种积分之间的联系yytttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22则二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化)()(ytty),(:txL求曲线积分计算方法：计算方法：（一）如果积分曲线为：(二）如果曲线 L 的方程为),()(bxaxyy则Lsyx

12、fd),(xx d)(12ybaxxf) )(,(y（三）如果曲线 L 的方程为),()(dycyx则Lsyxfd),(xx d)(12ydcyyf),(例例1. 计算,dLsy其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法L 的参数方程为)()(tytxy,:t则（一）LxyxPd ),(tttPd )(),(y)(tLyyxQd ),(tt

13、tQd )(),(y)(ty（二） L 的方程为,:),(baxxyy则则xxxQxxPbad )(,)(,yy)(xyLyyxQxyxPd ),(d ),(（三） 如果 L 的方程为,:),(dcyyx则则yyyQyyyPbad),()(),(LyyxQxyxPd ),(d ),(例例. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2

14、xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxOLD定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式yA xL例例. 计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D , 则O36

15、48与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题关于第二类曲线积分的计算关于第二类曲线积分的计算若曲线封闭，首先考虑使用若曲线封闭，首先考虑使用Green公式公式若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然

16、后再使用闭，然后再使用Green公式公式注意：辅助线上的积分应容易计算，注意：辅助线上的积分应容易计算， 辅助线的方向与曲线的方向相一致。辅助线的方向与曲线的方向相一致。按第二类曲线积分的计算公式直接计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算 注意：起点和终点的坐标注意：起点和终点的坐标曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分定义定义计算计算联系联系 高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式主要内容主要内容（二）（二）曲面积分曲面积分Oxyz曲面方程为：yxDyxyxzz),(),(:yxDyxzyxf),(,(Szyxfd),(yxyxzyxzyxdd)

17、,(),(122对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则yxDyxk)(例例解解dxdyzzdSyx221 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的侧侧. . .dd),(,dd),(,dd),(取取下下侧侧取取上上侧侧xyxyDDyxyxzyxRyxyxzyxRyxzyxR一投影一投影, ,二代入二代入, ,三定号三定号对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分zyzyxPdd),(则Oxyz .dd,),(,dd,),(取后侧取后侧取前侧取前侧yzyzDDzyzyzyxPzyzyzyxP,),()2(给给出出由由如如果果zyxx 一投影一投影, ,二代入二代入, ,三定号三定号,),()3(给给出出由由如如果果xzyy xzzyxQdd),(则xyzO .dd),(,dd),(,取左侧取左侧取右侧取右侧zxzxDDxzzxzyxQxzzxzyxQ一投影一投影, ,二代入二代入, ,三定号三定号例例 计算计算 zdxd