第十章--第八节------离散型随机变量及其分布列与超几何分布(理)

1、2021/8/612021/8/621.理解取有限个值的离散型随机变量的分布列理解取有限个值的离散型随机变量的分布列 的概念，认识分布列刻画随机现象的重要的概念，认识分布列刻画随机现象的重要 性，会求取有限个值的离散型随机变量的分性，会求取有限个值的离散型随机变量的分 布列布列2理解超几何分布，并能进行简单的应用理解超几何分布，并能进行简单的应用2021/8/632021/8/642021/8/651离散型随机变量的分布列及其性质离散型随机变量的分布列及其性质(1)离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量设离散型随机变量X的取值为的取值为a1，a2，随机变量，随机变量X取

2、取 ai的概率为的概率为pi(i1,2，)，记作：，记作： (i 1,2，) 或把上式列成表或把上式列成表P(Xai)pi2021/8/66Xaia1a2P(Xai)称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的分布列的分布列(2)离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质pi0(i1,2，)；p1p21.p1p22021/8/672超几何分布超几何分布 一般地，设有一般地，设有N件产品，其中有件产品，其中有M(MN)件次品，从中任件次品，从中任 取取n(nN)件产品，用件产品，用X表示取出的表示取出的n件产品中次品的件件产品中次品的件 数，那么数，那么P(Xk) (其中其中k为非负整数为

3、非负整数)，则称，则称X 服从参数为服从参数为N，M，n的超几何分布的超几何分布2021/8/681下列下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的 一个是一个是 () A.X0 1 2P0.3 0.4 0.5B. X0 1 2P0.3 0. 10.82021/8/69 C.D.X1 2 3 4P0.2 0.5 0.3 0X0 1 2P答案：答案：C2021/8/6102袋中有大小相同的袋中有大小相同的6只钢球，分别标有只钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号六个号 码，任意抽取码，任意抽取2个球，设个球，设2个球号码之和为个球号码之和为X，则，则

4、X的所有的所有 可能取值个数为可能取值个数为 () A36 B12 C9 D8解析：解析：X的所有可能取值为：的所有可能取值为：3,4,5,6,7,8,9,10,11共共9个个答案：答案：C2021/8/6113已知随机变量已知随机变量X的分布列为的分布列为P(Xi) (i1,2,3)， 则则P(X2) () A. B. C. D.解析：解析： 1，a3，P(X2) .答案：答案：C2021/8/6124已知随机变量已知随机变量X的分布列为：的分布列为： 则则x_.X0 1 2 3 4P0.1 0.2 0.3 x 0.1 解析：解析：0.10.20.3x0.11，x0.3. 答案：答案：0.3

5、2021/8/6135从从4名男生和名男生和2名女生中任选名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选人参加演讲比赛，则所选3 人中女生人数不超过人中女生人数不超过1人的概率是人的概率是_解析：解析：设所选女生人数为设所选女生人数为x，则，则x服从超几何分布，服从超几何分布，其中其中N6，M2，n3，则，则P(x1)P(x0)P(x1) .答案：答案：2021/8/6142021/8/6151.离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代 表一个试验结果，所以研究随机变量时，关心的是随表一个试验结果，所以研究随机变量时，关心的是随 机变量能取哪些值，

6、包含了哪些试验结果机变量能取哪些值，包含了哪些试验结果(基本事件基本事件)2离散型随机变量的分布列常用表格的形式表示，其结离散型随机变量的分布列常用表格的形式表示，其结 构为两行、构为两行、n1列，第一行表示随机变量的取值，第列，第一行表示随机变量的取值，第 二行对应于随机变量的概率二行对应于随机变量的概率 2021/8/616设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为X0 1 2 3 4P0.2 0.1 0.1 0.3 m求：求：(1)2X1的分布列；的分布列；(2)|X1|的分布列的分布列2021/8/617思路点拨思路点拨2021/8/618课堂笔记课堂笔记由分布列的性质知：

7、由分布列的性质知：0.20.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：首先列表为：X0 1 2 3 42X1 |X1|1 3 5 7 91 0 1 2 32021/8/619从而由上表得两个分布列为：从而由上表得两个分布列为：(1)2X1的分布列：的分布列：2X1P (2)|X1|的分布列：的分布列：|X1|P135790.20.10.10.30.301230.10.30.30.32021/8/620保持题目条件不变，求保持题目条件不变，求P(12X19).解：解：P(12X19)P(2X13)P(2X15)P(2X17)0.10.10.30.5.2021/8/621 求一随机变量的分布列，可

8、按下面的步骤：求一随机变量的分布列，可按下面的步骤：1明确随机变量的取值范围；明确随机变量的取值范围；2求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率；求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率；3列成表格列成表格2021/8/622特别警示特别警示(1)解决该类问题的关键是搞清离散型随机变解决该类问题的关键是搞清离散型随机变量量X取每一个值时对应的随机事件，然后求出取每一个值时对应的随机事件，然后求出X取每一个值取每一个值的概率的概率(2)列出分布列后，要注意应用分布列的性质检验所求的分列出分布列后，要注意应用分布列的性质检验所求的分布列或概率是否正确布列或概率是否正确2021/8/623 袋中装着

9、标有数字袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各的小球各2个，从袋中个，从袋中任取任取3个小球，按个小球，按3个小球上最大数字的个小球上最大数字的9倍计分，每个小倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用球被取出的可能性都相等，用X表示取出的表示取出的3个小球上的最个小球上的最大数字，求：大数字，求：(1)取出的取出的3个小球上的数字互不相同的概率；个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量随机变量X的分布列；的分布列；(3)计分介于计分介于20分到分到40分之间的概率分之间的概率2021/8/624思路点拨思路点拨2021/8/625课堂笔记课堂笔记(1)法一：法一：“一次取出的一次取出的

10、3个小球上的数字互不个小球上的数字互不相同相同”的事件记为的事件记为A，则，则P(A) .法二：法二：“一次取出的一次取出的3个小球上的数字互不相同个小球上的数字互不相同”的事件记的事件记为为A，“一次取出的一次取出的3个小球上有两个数字相同个小球上有两个数字相同”的事件记为的事件记为B，则事件，则事件A和事件和事件B是对立事件是对立事件因为因为P(B) ，所以所以P(A)1P(B)1 .2021/8/626(2)由题意，由题意，X所有可能的取值为所有可能的取值为2,3,4,5.P(X2) ；P(X3) ；P(X4) ；P(X5) .2021/8/627所以随机变量所以随机变量X的概率分布列为

11、：的概率分布列为：XP2 3 4 52021/8/628(3)“一次取球所得计分介于一次取球所得计分介于20分到分到40分之间分之间”记为事件记为事件C，则，则P(C)P(X3或或X4)P(X3)P(X4) .2021/8/629若将题目条件中的若将题目条件中的“最大数字最大数字”改为改为“最小数字最小数字”，试解，试解决上述问题？决上述问题？解：解：(1)同例同例2解法解法.(2)由题意，由题意，X所有可能的取值为所有可能的取值为1,2,3,4，P(X1) ；2021/8/630P(X2) ；P(X3) ；P(X4) .所以随机变量所以随机变量X的分布列为：的分布列为：XP1 2 3 420

12、21/8/631(3)“一次取球所得计分介于一次取球所得计分介于20分到分到40分之间分之间”的事件记为的事件记为C，则，则P(C)P(X3或或X4)P(X3)P(X4) .2021/8/632 超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品或次品)的件数、某的件数、某种小球的个数如果一随机变量种小球的个数如果一随机变量服从超几何分布，那么服从超几何分布，那么事件事件Xk发生的概率为发生

13、的概率为P(Xk) ，k0,1,2，m，mminM，n2021/8/633特别警示特别警示超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数变量为抽到的某类个体的个数 2021/8/634 在一次购物抽奖活动中，假设某在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等张券中有一等奖券奖券1张，可获价值张，可获价值50元的商品；有二等奖券元的商品；有二等奖券3张，每张可张，每张可获价值获价值10元的奖品；其余元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此张没有奖某顾客从此10张奖张奖券中任抽券中任抽2张，求：张，求：(1)该顾客中奖的概率；该顾客中奖的概率；(2

14、)该顾客获得的奖品总价值该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列元的概率分布列2021/8/635思路点拨思路点拨2021/8/636课堂笔记课堂笔记(1)该顾客中奖，说明是从有奖的该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽张奖券中抽到了到了1张或张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率为概率为P .(或用间接法，即或用间接法，即P1 1 .)2021/8/637(2)依题意可知依题意可知X的所有可能取值为的所有可能取值为0,10,20,50,60(元元)，且，且P(X0) ；P(X10) ；P(X20) ；P(X50) ；P(X60) .2021/

15、8/638所以所以X的分布列为：的分布列为：XP0 10 20 50 602021/8/639将题目中的条件将题目中的条件“任抽任抽2张张”改为改为“任抽任抽3张张”，求，求(1)该顾客该顾客中奖的概率中奖的概率.(2)若抽一张券需花费若抽一张券需花费9元，那么，该顾客抽元，那么，该顾客抽2张奖券还张奖券还是抽是抽3张奖券合算？张奖券合算？解：解：(1)P1 .2021/8/640(2)用用Y表示该顾客抽表示该顾客抽3张奖券后获得奖品总价值张奖券后获得奖品总价值P(Y0) ，P(Y10) ；P(Y20) ；P(Y30) ；P(Y50) ；2021/8/641P(Y60) ；P(Y70) .E(

16、Y) 0 10 20 30 50 6070 24.E(Y)393.2021/8/642在例在例3的基础上可得的基础上可得E(X)10 20 50 60 16.E(X)292.E(Y)27E(X)18，抽抽2张奖券更合算张奖券更合算2021/8/643 以实际问题为背景，以解答题的形式考查随机变以实际问题为背景，以解答题的形式考查随机变量的概率、分布列是高考对本节内容的常规考法量的概率、分布列是高考对本节内容的常规考法.09年年福建高考将概率、离散型随机变量的分布列与集合、福建高考将概率、离散型随机变量的分布列与集合、组合数的性质等相结合考查，是一个新的考查方向组合数的性质等相结合考查，是一个新

17、的考查方向 2021/8/644 考题印证考题印证 (2009福建高考福建高考)(12分分)从集合从集合1,2,3,4,5的所有非空子的所有非空子集中，等可能地取出一个集中，等可能地取出一个 (1)记性质记性质r：集合中的所有元素之和为：集合中的所有元素之和为10，求所取出，求所取出的非空子集满足性质的非空子集满足性质r的概率；的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为记所取出的非空子集的元素个数为X，求，求X的分布的分布列和数学期望列和数学期望EX2021/8/645【解解】(1)记记“所取出的非空子集满足性质所取出的非空子集满足性质r”为事件为事件A.基本事件总数基本事件总数n 31；

18、事件事件A包含的基本事件是包含的基本事件是1,4,5，2,3,5，1,2,3,4； 事件事件A包含的基本事件数包含的基本事件数m3.P(A) . (5分分)2021/8/646(2)依题意，依题意，X的所有可能取值为的所有可能取值为1,2,3,4,5.又又P(X1) ；P(X2) ；P(X3) ；P(X4) ；P(X5) .(9分分)2021/8/647故故X的分布列为：的分布列为：XP从而从而EX1 2 3 4 5 . (12分分)(11分分)12 3 4 52021/8/648 自主体验自主体验 某中学组建了某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养五个不同的社团组织，为培养

19、学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是团假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的等可能的 (1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数；求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率；求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率； (3)设随机变量设随机变量X为甲、乙、丙这三个学生参加为甲、乙、丙这三个学生参加A社团的人数，社团的人数，求求X的分布列与数学期望的分布列与数学期望2021/8/

20、649 解：解：(1)甲、乙、丙三名学生参加五个社团的选法均甲、乙、丙三名学生参加五个社团的选法均有有5种，故共有种，故共有555125(种种) (2)三名学生选择三个不同社团的概率是三名学生选择三个不同社团的概率是 .三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为 1 .2021/8/650(3)由题意由题意X0,1,2,3.P(X0) ；P(X1) ；P(X2) ；P(X3) .2021/8/651故故X的分布列为：的分布列为：XP数学期望数学期望EX0 1 2 3 . 0 1 2 32021/8/6522021/8/6531设随机变量设随机变量X等可

21、能取值等可能取值1,2,3，n，如果，如果P(X4) 0.3，那么，那么() An3 Bn4 Cn9 Dn102021/8/654解析：解析：P(X4)P(X1)P(X2)P(X3) 0.3，n10.答案：答案：D2021/8/6552随机变量随机变量X的概率分布规律为的概率分布规律为P(Xn) (n1,2,3,4)，其中，其中a是常数，则是常数，则P X 的值为的值为 () A. B. C. D.2021/8/656解析：解析：由题意得由题意得 1，a 1，a ，P X P(X1)P(X2)答案：答案：D2021/8/6573设某项试验的成功率是失败率的设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随

22、机变量倍，用随机变量X去去 描述描述1次试验的成功次数，则次试验的成功次数，则P(X0)等于等于 () A0 B. C. D.2021/8/658解析：解析：设设X的分布列为的分布列为XPP 2p即即“X0”表示试验失败，表示试验失败，“X1”表示试验成功，设失败表示试验成功，设失败率为率为p，则成功率为，则成功率为2p.由由p2p1得得p .答案：答案：C012021/8/6594从装有从装有3个红球，个红球，2个白球的袋中随机取出个白球的袋中随机取出2个球，设个球，设 其中有其中有X个红球，则随机变量个红球，则随机变量X的概率分布为：的概率分布为：X012P2021/8/660解析：解析：P(X2) 0.3，P(X0) 0.1，P(X1) 0.6.答案：答案：0.10.60.32021/8/6615随机变量随机变量X的分布列如下：的分布列如下：X1 0 1PA b c其中其中a，b，c成等差数列，则成等差数列，则P(|X|1)_.2021/8/662解析：解析：a，b，c成等差数列，成等差数列，2bac.又又abc1，b ，P(|X|1)ac .答案：答案：2021/8/6636(2009全国卷全国卷)某车间甲组有某车间甲组有10名工人，其中有名工人，其中有4名女名女 工人；乙组