第六章定积分

1、第六章第六章 定积分定积分(1)(1)分割分割在在 a, b 内插入内插入n1个分点个分点bxxxxxann1210 , , . , ,112110nniixxxxxxxx， 把区间把区间 a,b,b 分成分成n个小区间个小区间1 (1 2)iiixxxin ， ，记每一个小区间记每一个小区间 的长度为的长度为1,iixx abX X( )yf x oy6.1 6.1 引出定积分概念的例引出定积分概念的例( (一一) ) 曲边梯形的面积曲边梯形的面积如图如图, ,由连续曲线由连续曲线y= =f( (x)()(这里不防先假设这里不防先假设 ），），()0fx Y直线直线x= =a，x= =b及及

2、x轴围成的图形称为轴围成的图形称为曲边梯形曲边梯形. .下面我们讨论如何求其面积下面我们讨论如何求其面积(2)近似近似 表示第表示第i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积,在小区间在小区间 内任取一点内任取一点 ,过点过点 作作x轴的垂线与曲线轴的垂线与曲线交于点交于点 ,以以 为底为底, 为高做矩形为高做矩形,以此以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则则iA 1,(1,2, )iixxin 1()iiiixx i (,()iiiPfix ()if ()iiiAxf a( )yf x MNoy(3)求和求和将所有矩形面积求和将所有矩形面积求和1122 ()()()

3、nnnAfxfxfx1()niiifx xb过每个过每个分点分点xi(i=1,2,n)作作y轴的平行线，将轴的平行线，将曲边梯形曲边梯形分割成分割成n个小曲边梯形个小曲边梯形.则则 即是曲边梯形面积即是曲边梯形面积S的近似值的近似值. .1()nniiisfx (4) (4) 取极限取极限 记记 为所有小区间中长度的最大者为所有小区间中长度的最大者, ,即即 1max,ii nx 01lim()niiiSfx( (二二) ) 变力所作的功变力所作的功设质点受力设质点受力F的作用沿的作用沿X轴由点轴由点a移动到点移动到点b，并设，并设F处处处处平行于平行于X 轴，且轴，且F为变力，它连续依赖于质

4、点所在位置为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标的坐标x，即，即 F= =F( (x) ) axb 图示如下：图示如下：0 ns当当 时时, ,总和总和 的极限就是曲边梯形面积的极限就是曲边梯形面积S,S,即即0axbF(x)求变力求变力F对质点所做的功对质点所做的功W。()WFba 分析分析: :若若F F为常力，则它对质点所作的功为常力，则它对质点所作的功这里变力这里变力F( (x) )为为 a,b 上的连续函数，但它在很小的一上的连续函数，但它在很小的一段位移区间上可近似看作常量段位移区间上可近似看作常量. .因此可类似于求曲边梯形面积那样处理这里的问题，采因此可类似于求曲边梯形面积那样

5、处理这里的问题，采用：用：(1)分割分割;(2) 近似；近似；3)求和；求和；(4)取极限。取极限。解解 (1) (1) 分割分割011211,iinnssssssss 1 (1,2, )iiisssin 0121 innassssssb 在在 插入插入n个分点：个分点：,ab将闭区间将闭区间 a, b 分成分成n个小区间个小区间: :小区间的长度记为小区间的长度记为(2) (2) 近似近似 在每一个小区间在每一个小区间 上任取一点上任取一点 , ,把把 视为质点在小区间上受力的近似值视为质点在小区间上受力的近似值, ,于是于是, ,力力F在小区在小区间间 上对质点所做的功的近似值为上对质点所

6、做的功的近似值为i ()iF 1,iiss ()iiiWFs (3) (3) 求和求和 ,ab 把各小区间上力把各小区间上力F所做的功的近似值加起来所做的功的近似值加起来, ,即得到即得到在区间在区间 上所做功的近似值上所做功的近似值, ,即即11() nniiiiiWWFS(4)(4)取极限取极限01lim(niiiWFs ）maxis 把所有小区间的最大长度记为把所有小区间的最大长度记为 , ,即即 则当则当 时时, ,和式的极限即为变力在区间和式的极限即为变力在区间 上上对质点所做的功对质点所做的功, ,即即 0 ,ab 将解决上面两例的思想方法抽象化就得下面的定积将解决上面两例的思想方

7、法抽象化就得下面的定积分概念。分概念。6.2 6.2 定积分的定义（参见教材定积分的定义（参见教材P232-234)P232-234)bxxxxxann1210 定义定义6.16.1 设函数设函数 f( (x) )在区间在区间 a, b 上有定义且有上有定义且有界，将区间界，将区间 a, b 任意分成任意分成n个小区间，分点依次为：个小区间，分点依次为：各小区间的长度依次为各小区间的长度依次为1, 1, 2, , )iiixxxin （并作和式并作和式1()nniiiSfx 在每一个小区间在每一个小区间上任取一点上任取一点 xi-1, , xi ， i ( ) ,iifx 作乘积作乘积1max

8、0ii nx ( )baf x dx 和和 的取法都无关的取法都无关, ,则称此极限则称此极限I为为f( (x) )在区间在区间 a, , b 上上的的定积分定积分，记为，记为 i 当分割无限加细，即小区间的最大长度当分割无限加细，即小区间的最大长度01lim()niiifxI 时，若存在极限时，若存在极限 ，且此极限，且此极限I与分点与分点01( )lim()nbiiaif x dxfx 即即: : ( )baf x dx 在在 中中( )f x 称称为为积分号积分号； 称称为为被积函数被积函数；( )f x dx 称称为为被积表达式被积表达式；x 称称为为积分变元积分变元； ,ab 称称为

9、为积分区间积分区间；ab 分分别别称称为为、积分下限和上限积分下限和上限。1()niiifx 而和式而和式 则则 称为称为积分和积分和。f( (x) )存在定积分也称存在定积分也称f( (x) )在在 a, ,b 上是可积的。上是可积的。( (这里表示的是和式极限）这里表示的是和式极限）(2) (2) 在定积分定义中，我们假定在定积分定义中，我们假定 ab,若若ba，我们规定，我们规定( )( )abbaf x dxf x dx 特别地，特别地， a=b时，时，( )0aaf x dx (3) (3) 由定义看出，由定义看出， f( (x) )有界是有界是f( (x) )可积的必要条件。可积的

10、必要条件。即即: :()( )( )bbbaaaf x dxf t dtf u du 由定积分定义看出：由定积分定义看出：(1) (1) 定积分定积分 是一个和式的极限值，是一个常是一个和式的极限值，是一个常数，它只与被积函数数，它只与被积函数f(x)及积分区间及积分区间 a, ,b 有关，与积有关，与积分变元用什么字母无关。分变元用什么字母无关。( )baf x dx ( )0abf x dx且且.在有限区间在有限区间 a, , b 上的连续函数上的连续函数f( (x) ) 在在 a, , b 上上是可积的；是可积的；. . 在在 a, b 上只有有限个间断点的有界函数上只有有限个间断点的有

11、界函数f( (x) )在在 a, b 上也是可积的。上也是可积的。如果在如果在a,b上，上，f(x) 0时，时，(4) (4) 定积分在几何意义定积分在几何意义ax( )yf x oyb曲边梯形的面积曲边梯形的面积A A（见右图）。（见右图）。可以证明：可以证明：( )baf x dx 表示以表示以f( (x) )为曲边的为曲边的综上，下图中有综上，下图中有1234( )baf x dxAAAA abf(x)1A2A3A4Aax( )yf x oyb()baAfx d x ( )0f x 如果在如果在 a, ,b 上上 ，此时，此时由曲线由曲线y= =f( (x) )，直线，直线x= =a，x

12、= =b及及x轴所围成的曲边梯形位于轴所围成的曲边梯形位于x轴的轴的下方，则定积分下方，则定积分 在几何在几何上表示上述曲边梯形的面积上表示上述曲边梯形的面积A A的相反数的相反数. .()bafx dx 即：即：0iA 这里这里 表示图表示图形面积。形面积。 1234( )baAAAAf x dx 6.3 6.3 定积分的性质定积分的性质下面的讨论中，区间下面的讨论中，区间 a, , b 均有均有ab1. ( (k为常数为常数) )()()bbaakfx dxkfx dx 2. 2. 被积函数具有可加、减性被积函数具有可加、减性( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x d

13、xg x dx 更一般地，有更一般地，有 12()()()bbbnaaafx dxfx dxfx dx 12()()()bnafxfxfxdxbccabaxxfxxfxxf d)( d)( d)( 3 3. . 积分区间具有可加性积分区间具有可加性: : 若若 ，则，则 ,ca bbabaxxgxxf d)( d)( 4. 4. 保序性保序性: :若在若在 a, , b 上总有上总有 , , 则有则有)( )(xgxf5. 若若f(x) =1 , ，则，则 , xa b dbax ba 6.6.估值定理估值定理：设：设f( (x) ) 在在 a, , b 上的最大最小值分别为上的最大最小值分别

14、为M, m ，即，即: : (), ,mfxMxa bbaabMxxfabm )()d()(则有：则有：（图示见下页左图）（图示见下页左图）当当 时，上式也成立。（但要确保可积。）时，上式也成立。（但要确保可积。） ,ca bmM7. 7. 积分中值定理积分中值定理：若：若f( (x) ) 在在 a, b 上连续，则至少存上连续，则至少存在一点在一点 , ,使使 ( , )a b ( )d( ) ()baf xxfba （图示见上右图）（图示见上右图）性质性质7的几何意义：的几何意义：在在 上至少存在一点上至少存在一点 , ,使得曲边梯形的面积等使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为于同一底边而

15、高为 的矩形的面积的矩形的面积. . ,ab ( )f ab 例例1. 比较积分值的大小比较积分值的大小 与与 ，21lnex d x 1lnex d x 211xe dx 与与 .2121xedx 0 ln1x 2lnlnxx 211lnln.eex d xx d x 由定积分的保序性得：由定积分的保序性得： 1,2 在区间在区间 上，上，解解 在区间在区间 上，上， 1,e20 xx 211xx 211xxee 2122111.xxe dxedx 3613sind236236x x，解解例例2 2上连续且单增，最大值、最小上连续且单增，最大值、最小. 的值的值试估计定积分试估计定积分 36

16、s in x d x值分别为：值分别为： 3sin,32 1sin.62即即 3613sind1212x x， 在在 ,63sin x6.4 6.4 微积分基本定理微积分基本定理( (一一).).变上限的定积分变上限的定积分定理定理6.1 6.1 设设 f ( (x) )在区间在区间 a, , b 上连续，则上连续，则 ()( )d ()xapxfttfx , xa b 记记 ，称，称 p( (x) ) 为为变上限的定积分。变上限的定积分。 ( )( )d xap xf tt ( )d xaftt , xa b 设函数设函数 f ( (x) )在区间在区间 a, , b 上连续，则对任意上连续

17、，则对任意函数函数 f ( (x) )在在 a, , x 上可积，且上可积，且 为为x的函数的函数, ( )( )d xap xf tt 即即（证明见教材（证明见教材239239） , xa b 例例3. 利用定积分估值定理估计积分利用定积分估值定理估计积分 之值之值.221ln(1)xdx 解解 ： 令令 ，则，则 在闭区间在闭区间2( )ln(1)f xx 1,2 ( )f x( 1)ln2,(0)0,(2)ln5.fff 连续，必存在最大值连续，必存在最大值M 和最小值和最小值 m .令令 ，22( )01xfxx 比较比较 得得 0,ln5.mM 2210ln(1)3 ln5xdx 0

18、 x 得驻点得驻点 . . 由上面的定理可得如下结论：由上面的定理可得如下结论：定理定理6.2(6.2(原函数存在定理原函数存在定理) ) 如果如果f( (x) )在区间在区间 a, b 上上连续，则连续，则 ( )( )d xap xf tt 初等函数在其定义区间内总存在原函数，只是有的初初等函数在其定义区间内总存在原函数，只是有的初等函数的原函数不能用初等函数表示。等函数的原函数不能用初等函数表示。上面的定理说明：连续函数的原函数总是存在的。上面的定理说明：连续函数的原函数总是存在的。由此得：由此得：是是 f(x)在在a, b上的一个原函数。上的一个原函数。 例如，下面的不定积分都存在，但

19、它们都不能用例如，下面的不定积分都存在，但它们都不能用初等函数表示：初等函数表示：2sin1,cos.lnxdxdxx dxxx 定理定理6.1 6.1 推论推论2 2() a( ) ( ) ( )b xxf t dtf b x b x 综上有：综上有：() a( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )b xxxf t dtf b x b xf a x ax (6.11) b( )( )( )bxxxxf t dtf t dtf x 定理定理6.1 6.1 推论推论1 12011xddtdxt 例例1. 求求解：由定理解：由定理6.1 有有22011.11xddtdxtx 例例2 求求12s

20、in2xdtdtdx 解解 122sin2sin2xdtdtxdx 例例3 求求32arctanxxdtdtdx 解解 32arctanxxdtdtdx 33arctan()xx23arctan2arctan 2xx xx arctan 2(2 )xx21c o s20li mtxxed tx 例例4. 求求 可用罗必达法则与变上限定积分的导数求解。可用罗必达法则与变上限定积分的导数求解。221coscos200(cos)limlim2txxxxedtexxx 2cos0sinlim2xxxex 2cos0lim2xxe 1.2e 分析与解分析与解 ：仔细观察一下，这是一个：仔细观察一下，这是

21、一个 型未定式，型未定式，00另外的例见书另外的例见书P243例例10书书P263习习16.求求222001lim(1)xtxxtedtx 分析与解：所求极限为分析与解：所求极限为 型不定式，可用罗必达法则，型不定式，可用罗必达法则，但要注意式中变量表示的意义。但要注意式中变量表示的意义。00222001lim(1)xtxxtedtx 222000(1)limlimxtxxxtedtex 220lim (1)xxxe 1. 22200lim(1)xxtxetedtx 下面的定理称为微积分基本定理（参见教材下面的定理称为微积分基本定理（参见教材P241-242)定理定理6.3 6.3 设函数设函

22、数f( (x) )在在 a, , b 上连续，且上连续，且F( (x) )是是f( (x) )的一个原函数，则的一个原函数，则baaFbFxxf )()(d)( ()d()( )().bbaafxxFxF bF a 又常常写成：又常常写成： 这个公式是由牛顿和莱布尼茨发现的，因此也称为这个公式是由牛顿和莱布尼茨发现的，因此也称为牛牛顿顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式。这个公式把定积分和不定积分这。这个公式把定积分和不定积分这两个两个截然不同的概念截然不同的概念密切联系起来。有了牛密切联系起来。有了牛莱公式，莱公式，要计算定积分的值要计算定积分的值, ,只需用求不定积分的方法求出被积只需用求不定积分的

23、方法求出被积函数的一个原函数函数的一个原函数 F( (x) )，再代入上、下限相减即可。，再代入上、下限相减即可。因此求定积分与求不定积分一样，也有直接积分法、换因此求定积分与求不定积分一样，也有直接积分法、换元积分法、分部积分法。元积分法、分部积分法。20s ind.xx 例例1 1 求求 cossinxx因因为为是是被被积积函函数数的的一一个个原原函函数数，例例2 2 求求2120d.1xxx 2 - -莱布尼茨公式，有莱布尼茨公式，有根据牛顿根据牛顿 20s i ndc o s20 xxxc o s 0c o s2 1 2120d1xxx 112001dd1xxx 1 11arctan0

24、 x 1.4 解解解解1201(1)d1xx 1201d1xx 例例3 3计算计算20( )df xx ，其中其中 2 ,01( )5 ,12xxf xxx 解解20( )df xx 例例4 4计算由曲线计算由曲线 、直线、直线 x= =2 与与x轴围成的图形轴围成的图形的面积的面积2yx 220dAxx 23013x 83 22152x （另外的例见教材（另外的例见教材242243）102xdx 17.22yx 2o21( )df xx 10( )df xx 215xdx 120 x 解由定积分的几何意义，得解由定积分的几何意义，得由于定积分的计算是求出被积函数的原函数，再代上、由于定积分的

25、计算是求出被积函数的原函数，再代上、下限相减，所以定积分用换元法勿需还元，只需遵循：下限相减，所以定积分用换元法勿需还元，只需遵循：换元必换限，用凑微分法换元必换限，用凑微分法“不换元不换元”就不换限，即有：就不换限，即有：6.5 6.5 定积分的换元积分法定积分的换元积分法( (一一). ). 定积分的换元积分法定积分的换元积分法1. ( )bag x dx 令令( )xt 换元、换限换元、换限( )( )ftt dt ( (不需还元不需还元) ) ( )()()FtFF (其中其中 ) 11( ),( )ab要求：要求： 连续可导，且连续可导，且x与与t在对应区间双方在对应区间双方单值变化

26、。单值变化。1()tx ()(bafdxx ( ) ( ) ( )baFxFbFa 2. ()()()bbaag x dxfxx dx (变形变形) (用凑微分用凑微分“不换元不换元”就不换就不换限限) 1,dtdxx 例例1 求定积分求定积分215lnexdxx 解法解法1：令：令 ,则则lntx 且有且有x 从从 时，时，1e变变到到t 从从01.变变到到120(5)tdt 2215ln5lnexdxdxxxx e e1 1（）31(5)30tt 1155.33 15.3 解法解法2215lnexdxx 215lnedxxx （）(“不换元不换元”就不换限就不换限) 21lnln5()ed

27、xx （） 3l3ln5nxxe e （）1 13ln5 ln3ee （）注意注意：这里的：这里的 “不换元不换元”并不是真正意义的不换元并不是真正意义的不换元，只是原积分的变元，只是原积分的变元x 没有用另外的变量代，而是用没有用另外的变量代，而是用x 的函数代。的函数代。3ln 15 ln 13 - -（）例例2 求定积分求定积分ln 220(1)xxeedx 解法解法1 令令 ，则，则1xte 当当x 从从 时，时，0ln2变变到到t 从从 .23变变到到ln 220(1)xxeedx 322t dt (换元就换限换元就换限) 333 2t 333233 193 xdte dx 解法解法

28、2 2ln 220(1)xxeedx ln 220(1)xxe dxe ln 220()(11)xxeed3ln 2(1)30 xe 19.3 例例3 求定积分求定积分442200sincossin(sin)xxdxxdx 解解 1.5 5sin250 x 例例4 求定积分求定积分8311dxxx 2211xdxx 分析：由于上面两个个定积分的被积函数都含有根式分析：由于上面两个个定积分的被积函数都含有根式，因此都需用第二类换元法去根号后，再求积分。，因此都需用第二类换元法去根号后，再求积分。 420sincosxxdx8311dxxx 3tx 解：解： 令令 ，当当 时，时， ；1x 1t

29、当当 时，时， ；8x 2t 22131tdtt 282331113tdxdtttxx 212231()211d tt223ln(1)21t 3(ln5 ln2)2 35ln.22 32,3.xtdxt dt 则则2211xdxx 230tan tdt 解：本题需用三角代换解：本题需用三角代换 ，1seccosxtt 有有 ；sectandxtt dt 当当 时，时，1x 0t ，当当 时，时， 2x 3t . .223101tansec tansecxtdxttdtxt 230(sec1)tdt (tan ) 30t 3.3 另外的例见教材另外的例见教材P244-245.23300sec t

30、dtdt 30t cos1t 1cos2t ( (二二). ). 奇偶函数在对称区间上积分的性质奇偶函数在对称区间上积分的性质设设f( (x) )在在-a , , a 上可积，则上可积，则(1). (1). 当当f( (x) )为偶函数时，为偶函数时，0()2()aaafx dxfx dx (2). (2). 当当f( (x) )为奇函数时，为奇函数时，()0aafx dx 证明：证明：0120( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dxII 对于对于 ，令变换，令变换 ，则有，则有tx 1I()A01()aIft dt 0()aft dt ()B代代 入入 ，得，得()B(

31、)A 0( )( )()aaaf x dxf xfxdx 0( )( )( )aaaf x dxf xf x dx 由由证毕！证毕！由奇偶函数在对称区间上积分的性质，有：由奇偶函数在对称区间上积分的性质，有：22cosxxdx 2252(sin)xx dx 2202x dx 32216.303x ()( )fxf x 当当f( (x) )为偶函数时，有为偶函数时，有 ，代入，代入 ：()C( )C 0( )( )()aaaf x dxf xfxdx 02( )af x dx 0( )( )( )0aaaf x dxf xf x dx ()( )fxf x 当当f(x)为奇函数时，有为奇函数时，

32、有 ，代入，代入 ：()C0, 6.6 6.6 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 定积分适用分部积分的类型以及被积表达式中定积分适用分部积分的类型以及被积表达式中u u、dvdv的选择都与不定积分一致，只是每运算一步都必须带的选择都与不定积分一致，只是每运算一步都必须带限。具体计算公式为：限。具体计算公式为：()()() ()()()bbbaaau x vx dxu x v xv x ux dx 或简记为或简记为: :bbbaaaudvuvvdu 41cos2202xx 例例1 求求20sin 2xx d x 解解：令：令.4 bbbaaaudvuvvdu分部积分公式：分部积分公式： 1s

33、in 2240 x,ux sin 2,dvxdx sin 2vxdx .dudx 1cos 2,2x 20sin2xxdx 20cos22()xxd 201cos 22x xd 例例2 2 求求12112.xed x 解：先将被积函数的根号化掉，令解：先将被积函数的根号化掉，令21tx 则则21(1),2xt .dxtdt 当当 时，时， 12x 0;t 1x 时，时，1.t 10tetd 1121102xted xte d t 10tte e 1. 1ee 10tdet 10te 例例3 3 计算计算1lndeexx 1111lnd(ln)dlndeeeexxxxxx 11111(ln)de

34、exxxxx 1e 解解21ee 11()(1)eeeee （见教材（见教材P263习习12 ）1dex 1deex e 111( ln)deexxxxx 1ln1lnln1xxxexxe 分析与解：积分分析与解：积分I 可用偶函数在对称区间积分的性质及三可用偶函数在对称区间积分的性质及三角代换求出。这里由定积分几何意义，角代换求出。这里由定积分几何意义，I 恰好是半个单位恰好是半个单位圆的面积。（见下图）圆的面积。（见下图）99.22 例例4 4 计算计算1211d,Ixx 并利用该结果求并利用该结果求3239d.xx 12111d=.2Ixx 而而3322339d=31() d3xxxx

35、1t=23191d=xtt 令令o111 21yx323=91() d()33xx 11().eAfx dxe 证证: 设设 , 则由已知则由已知1( )ef x dxA ( )lnf xxA 111( )lneeef x dxxdxAdx 1( ln )1eexxxdxx 将将 两边从两边从1到到 e 积分，得：积分，得：( )lnf xxA (1)(1)AeeA e 即即解之得：解之得：（另外的例见教材（另外的例见教材P247）例例5 5 设连续函数设连续函数 满足满足 ，( )f x1( )ln( )ef xxf x dx 证明：证明：11( ).ef x dxe 分析：分析： 本题的关

36、键是要正确理解并掌握定积分是常数。本题的关键是要正确理解并掌握定积分是常数。(1)Ae 10( )xf x dx 例例6.设设 ，求，求 。 （参见书（参见书P247例例4）21sin( )xtf xdtt 分析：由已知，分析：由已知，2222sin2sin( )(),xxfxxxx 使人想到这里要用分部积分，且令使人想到这里要用分部积分，且令 。( )uf x 解：令解：令 ， 。( )u f x dv xdx 10( )xf x dx 102()2(fdxx 221022)(10()f xfxxx dx 21022sin2xxxdx 120sinxx dx 22101sin.2xxd 21

37、1cos20 x 1(cos11).26.7 6.7 定积分的应用定积分的应用( (一一). ). 平面图形的面积平面图形的面积由定积分的几何意义，我们可利用定积分求平面图形的由定积分的几何意义，我们可利用定积分求平面图形的面积。面积。1. 1. 平面上平面上X- -型区域的面积的计算型区域的面积的计算(1). (1). 若若y= =f(x)(0)(0)，在，在 a, ,b 上连续，则如右的曲边梯形上连续，则如右的曲边梯形AabBAabB的面积的面积()baSfxd x ABabf(x)当用垂直于当用垂直于X 轴的直线穿区域（不含边界）时，直线与轴的直线穿区域（不含边界）时，直线与区域边界的交

38、点不多于两个，则称该平面区域为区域边界的交点不多于两个，则称该平面区域为X-型区型区域域。abABy=f(x)(2). (2). 若若y= =f( (x)( 0)( 0)，在，在a,b上连续，则如下左的上连续，则如下左的曲边曲边梯形梯形AabB的面积为的面积为()baSfx dx 1S2S3Sabcd(3).(3). 若若y=f( (x）在）在a,b上连续、时上连续、时正时负，则如上正时负，则如上右的阴影区右的阴影区域的面积为域的面积为123()baSSSSfxdx ()bafxd x ()bafx dx abf(x)g(x)Sabf(x)g(x)S(4). (4). 若平面区域由若平面区域由

39、 g( (x) ) f( (x) ,) ,及及x= =a, ,x= =b围成围成（见下图阴影区域）。（见下图阴影区域）。 ( )( )( )( )bbbaaaSf xg x dxf x dxg x dx 则其面积为：则其面积为：注注1 1 、 若若 如下图如下图()()fxg x()()baSfxg xdx abf(x)g(x)c1c22. 2. 平面上平面上Y- -型区域的面积的计算型区域的面积的计算若用垂直于若用垂直于Y 轴的直线穿区域，直线与区域边界的交轴的直线穿区域，直线与区域边界的交点不多于两点，则称该区域为点不多于两点，则称该区域为Y Y 型区域。型区域。(1). (1). 若平面

40、区域由若平面区域由 及及y= =c，y=d 和和 y 轴围成轴围成（如下左图），则阴影区域面积为（如下左图），则阴影区域面积为 ( )xy ()dcSy dy cd( )y( )yScd( )xyS ()()()()dddcccSyydyy dyy dy (2). (2). 若平面区域由若平面区域由 及及y= =c，y= =d 围成围成（如上右图），则阴影区域面积为（如上右图），则阴影区域面积为( )( )yy 注注2 2 、 若平面区域如下图：若平面区域如下图：1D2D3D123DDDSSSS 则则120dSxxx2yxyx 例例1 1 求由曲线求由曲线 所围成的图形的面积所围成的图形的面积

41、S. .2yxyx ，得两曲线的交点为得两曲线的交点为（0,0）, ,（1,11,1）, ,视平面区域为视平面区域为X- -型，于是积分区间为型，于是积分区间为0,1.0,1.所求面积为：所求面积为：解解 首先画出曲线所围成的平面区域如下图所示：首先画出曲线所围成的平面区域如下图所示：求两曲线的交点，为此解方程组求两曲线的交点，为此解方程组332121()330 xx1.3yx o12yx 221(242)d Syyy 解解 由由 解得交点解得交点A(2,-1),B(8,2)A(2,-1),B(8,2)例例2 2 求抛物线求抛物线 与直线与直线 所围成的所围成的图形的面积图形的面积. . 22

42、yx 24xy2242xyxy 视区域为视区域为Y-Y-型区域，则所求面积为型区域，则所求面积为A(2,-1),B(8,2)2322 =4319.yyy （另外的例见书（另外的例见书P250251)画出略图如下右所示：画出略图如下右所示：1.1.设某立体是由连续曲线设某立体是由连续曲线 y = = f( (x)( 0)( 0 ) ) ， 直线直线 x= =a，x= =b（a b）及）及X轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕X轴旋转轴旋转而成的旋转体（见下图）求它的体积而成的旋转体（见下图）求它的体积 .xV类似求曲边梯形的面积类似求曲边梯形的面积，采用：，采用： 2()bxaVfxdx (6.

43、22)( (二二) ) 旋转体的体积旋转体的体积(1)(1)分割；分割；(2)(2)近似；近似； (3)求和；求和；(4)(4)取极限取极限 。（参见教材（参见教材P252)得：得：我们称上面这种求我们称上面这种求 的方法为的方法为微元法微元法。xV直线直线 y= =c，y= =d（c d）及）及y轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕y轴旋轴旋转而成的旋转体（见下面的图示），求它的体积转而成的旋转体（见下面的图示），求它的体积yV 2()dycVyd y (6.23)()(0)xy 2 . 2 . 设某立体是由连续曲线设某立体是由连续曲线采用微元法采用微元法，可得：可得：dc()xy xOyd

44、c()xy xOy 求平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积时，求平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积时，绕绕X轴旋转，就视平面图形为轴旋转，就视平面图形为x型区域；绕型区域；绕Y轴旋转轴旋转,就视平面图形为就视平面图形为y型区域型区域.确定积分区间、积分变元、确定积分区间、积分变元、被积函数的方法都与求平面图形的面积类似，只需被积函数的方法都与求平面图形的面积类似，只需注意计算公式的差别。注意计算公式的差别。例例4 4 计算由椭圆计算由椭圆 分别绕分别绕x x轴和轴和y y轴旋转轴旋转一周所成的旋转体一周所成的旋转体( (旋转椭球体旋转椭球体) )的体积的体积. .12222byax解（参

45、见书解（参见书P252-253）由于椭圆关于坐标轴对称，只需考虑半椭由于椭圆关于坐标轴对称，只需考虑半椭圆绕坐标轴旋转即可得所求之体积。圆绕坐标轴旋转即可得所求之体积。 （绕（绕x轴轴旋转）旋转）22byaxa 由由(6.22)式，得：式，得：2()axaVyx dx 视椭圆为视椭圆为x型区域，这里只需考虑上半椭圆绕型区域，这里只需考虑上半椭圆绕x轴轴旋转。旋转。()yx其中的其中的 即即上半椭圆周的方程：上半椭圆周的方程：2222()axabVax dxa 222202()abaxdxa 223221()30aba xxa 24.3ab （绕（绕y轴轴旋转）旋转） 只需视右半椭圆为只需视右半

46、椭圆为Y型区域。型区域。得：得：2222()bybaVby dyb 222202()babydyb 24.3ba 34.3Va 特别当特别当 时，得半径为时，得半径为a的球体体积的球体体积ab （由偶函数积分性质）（由偶函数积分性质）22221xyab 22222()axbybybb 将将代入公式（代入公式（6.23），），22222xyayax ，解解得圆与抛物线交点为：得圆与抛物线交点为： ( 2 1)2( 2 1)( 2 1)2( 2 1)AaaBaa , ,、, ,由于平面图形关于由于平面图形关于x轴对称，只需考虑轴对称，只需考虑x轴轴上方的部分，上方的部分，由图看出，旋转体由两部分组

47、成，其中一部分由上图由图看出，旋转体由两部分组成，其中一部分由上图的平面图形的平面图形OAD绕绕X 轴旋转而成，另一部分由平面图轴旋转而成，另一部分由平面图形形ADC 绕绕X 轴旋转而成。轴旋转而成。ABOCD(0)x 图形图形 绕绕X 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。轴旋转一周所形成的旋转体的体积。222 xya 例例5. 5. 求圆求圆 与抛物线与抛物线 围成的围成的22 (0)yaxa 解方程组：解方程组：(21)02daax x (2 1)202 2axa 即所求的体积为：即所求的体积为：3742.3a ( 21)2( 21)Aaa, ,22ya x 222xya ABOCD12 VV

48、V 2(21) ()aayx dx 0C a, ,22(21)()daaaxx (21)20 ()ayx dx 323( 21)axa xa ( (三三). ). 定积分在经济问题中的应用定积分在经济问题中的应用 ( )()( )( ).() , .yf xf xf xa b 设设是是经经济济量量的的函函数数 如如需需求求函函数数，生生产产函函数数，成成本本函函数数，总总收收益益函函数数等等 ，则则导导数数称称为为的的边边际际函函数数或或变变化化率率 在在经经济济管管理理中中，可可以以利利用用积积分分法法，根根据据边边际际函函数数求求出出总总函函数数 即即原原函函数数 或或总总函函数数在在区区

49、间间上上的的改改变变量量进一步，当产量由进一步，当产量由a个单位变到个单位变到b个单位时，总成本的个单位时，总成本的改变量为改变量为: :00()( )xC xCt dtC (6.21) ( )(6 .2 1)baCCt d t ( )C x 1 . 1 . 已知边际成本已知边际成本 ，则当产量为，则当产量为x单位单位时，时，总成本函数为总成本函数为0( )xCt d t 0C这里这里 为可变成本，为可变成本， 为固定成本为固定成本. .当销售量由当销售量由a个单位变到个单位变到b个单位时，总收益的改变个单位时，总收益的改变量为：量为：0()()( 6 .2 2 )xRxRt d t ( )(

50、 6 .2 2 )baRRt d t 3 .3 .因为边际利润为因为边际利润为 ： ( )( )( )L xR xC x 00()( )( )(6.23)xL xRtCtdtC ( )R x 2 . 2 . 已知边际收益已知边际收益 ，则总收益可以表示为：，则总收益可以表示为：故总利润为故总利润为: :式中式中 为固定成本。为固定成本。0C是不计固定成本的利润函数，有时也称为毛利润是不计固定成本的利润函数，有时也称为毛利润. . 0( )( )xR tC tdt 而而 ( )( )(6.23)baLR tC t dt 当产量当产量( (或销量或销量) )由由a个单位变到个单位变到b个单位时，利

51、个单位时，利润函数的改变量为：润函数的改变量为：例例5 . 某工厂生产一种产品，每天生产某工厂生产一种产品，每天生产 x （吨）时的（吨）时的2( )10060.6C xxx 边际成本为边际成本为 （单位：千元）。（单位：千元）。试求：产量从试求：产量从 2 吨增加到吨增加到4 吨时的总成本及平均成本。吨时的总成本及平均成本。解解 .当当产量从产量从 2 2 吨增加到吨增加到4 4 吨时，总成本改变量为吨时，总成本改变量为42210060.6Cxxdx 23410030.22xxx 224.8 成本改变量的平均值成本改变量的平均值112.4 224.82Cx （千元（千元/吨）。吨）。例例8.

52、 )(3002020d )1020( 6040(2)604026040单位时的总收益为增加到从产量QQQQRQ，单位为个单位产品时的总收益生产)(7202020d )1020( 40) 1 (4002400QQQQR解解.6040)2(40) 1 (. )0( 1020)( 个单位产品时的总收益个单位产品时的总收益个单位产品到个单位产品到求从生产求从生产，个单位产品时的总收益个单位产品时的总收益求生产求生产设某产品生产设某产品生产 个单位，总收益个单位，总收益 的变化率为的变化率为QQQfRQ6.8 6.8 广义积分与广义积分与 函数函数 ( (一一). ). 广义积分广义积分1.1.无限区间

53、上的积分无限区间上的积分(1).(1).定义定义6.2(6.2(参见书参见书P255P255）设函数设函数f( (x) )在区间在区间 上连续上连续, ,如果存在极限如果存在极限 ,)a lim()babfx dx ()ab ( )lim( )baabf x dxf x dx (6.24)这时也称广义积分这时也称广义积分 存在或收敛存在或收敛. . ()afx dx 就称此极限值为就称此极限值为f( (x) )在在 上的广义积分上的广义积分. . ,)a 记作记作: :(6.24)(6.24)右之极限若不存在右之极限若不存在, ,则称广义积分则称广义积分不存在或发散不存在或发散. .()afx

54、 dx 类似地类似地, ,可以定义广义积分可以定义广义积分: :()lim()(6.25)bbaaf x dxf x dx ( )( )( )(6.26)ccf x dxf x dxf x dx (6.26)(6.26)右之两个广义积分都收敛右之两个广义积分都收敛, ,才称左边广义积分收才称左边广义积分收敛敛, ,否则称左边广义积分发散否则称左边广义积分发散. .( )lim( )baabf x dxf x dx (6.24).de03xx例例1 求求bxb03elim31xxbxbxdelimde0303解解301limed( 3 )3bxbx 1.3 311lim 13ebb 例例2 2

55、求求.d112xx02220111ddd111xxxxxx ，解解 根据定义，根据定义，xxxxaad11limd1102020()2 220011dlimd11bbxxxx0lim arctan bbx21d.1xx 0limarctanaax 所以，广义积分所以，广义积分 收敛，且收敛，且21d1xx（参见教材（参见教材P256例例3）2 ，2，1111ddlimbpbxxxx (ln)limbb 1111ddlimbppbxxxx 1111limbpbxp 1, 11, 1ppp 当当，当当，综上：综上：11dpxx 1, 11, 1ppp 当当，当当，证毕证毕！请熟记此题结论！请熟记此

56、题结论！(参见教材参见教材P256例例2）11dpxx 例例3. 3. 试证无穷积分试证无穷积分 当当 时收敛，当时收敛，当1p 1p 时发散。时发散。证明证明 当当 时，时，1p 1ln limbbx 当当 时，时，1p 111limpbbp 例例4 4 试讨论积分试讨论积分 的敛散性的敛散性. .s inIx d x 注意：当无穷限积分收敛时，奇、偶函数在对称区间注意：当无穷限积分收敛时，奇、偶函数在对称区间积分的性质才可以推广来用。例如上面例积分的性质才可以推广来用。例如上面例2可用，例可用，例4则不能用。则不能用。解：解：0120sinsinIxdxxdxII 20limsinbbIx

57、dx lim (c o s)0bbx 我们知道上式右端的极限不存在，所以积分我们知道上式右端的极限不存在，所以积分 I2 发散发散.从而从而 发散发散. . s inIx d x c o s,c o s.ax d xx d x 同理同理 也发散。也发散。在求广义积分时，有时为书写简便，也可省去极在求广义积分时，有时为书写简便，也可省去极限符号，例如：限符号，例如：lim()()lim()()bxbFxFxFxF aaa 表表 示示比如比如21darctanlim arctanlim arctan1xxxxxxx ().22 0cos dsinlim sinsin00 xx xxx 发散。发散。* *2. 2. 无界函数的积分无界函数的积分( (瑕积