空间点、直线和平面的投影分析ppt课件

1、1.1第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.1第第3 3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析靖江市职业教育中心校靖江市职业教育中心校 郁冬郁冬 1.2第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.2 教学提示：教学提示： 空间点、直线和平面是组成一个三维立体的最根本的三个几何要素。空间点、直线和平面是组成一个三维立体的最根本的三个几何要素。本章将重点引见点、直线和平面在三投影面体系中的投影及其投影特性，两本章将重点引见点、直线和平面在三投影面体系中的投影及其投影特性，两两几何要素之间的相对位置关系及其投影

2、特性；本章还将论述常用的几种空两几何要素之间的相对位置关系及其投影特性；本章还将论述常用的几种空间几何问题的图解方法及其运用，如用直角三角形法求普通位置直线的实长间几何问题的图解方法及其运用，如用直角三角形法求普通位置直线的实长和对投影面的倾角、一边平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是学和对投影面的倾角、一边平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是学习如何将点、直线和平面等空间几何要素用投影表达，并反过来又如何用其习如何将点、直线和平面等空间几何要素用投影表达，并反过来又如何用其投影来分析和处理空间几何问题。投影来分析和处理空间几何问题。 教学要求：教学要求： 本章是工程制图最为根底的

3、部分，学生必需熟练掌握各种位置点、直本章是工程制图最为根底的部分，学生必需熟练掌握各种位置点、直线和平面的投影及特性，进一步建立投影法的根本概念和思想方法。在此根线和平面的投影及特性，进一步建立投影法的根本概念和思想方法。在此根底上，学会运用点、直线和平面的相对位置关系的投影特性，与直角三角形底上，学会运用点、直线和平面的相对位置关系的投影特性，与直角三角形法、直角投影定理配合处理简单的空间几何问题，为立体的投影分析和表达法、直角投影定理配合处理简单的空间几何问题，为立体的投影分析和表达打下根底。打下根底。1.3第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.3 3.

4、1 空间点的投影分析空间点的投影分析 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 3.3 空间平面的投影分析空间平面的投影分析本章内容本章内容1.4第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.43.1 空间点的投影分析空间点的投影分析 由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，空间不在一条直线上的三个点可确定一个平面。因此，要研讨空间根本几何要素及其投影关系，首先要建立空间点的投影概念。1.5第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.53.1.1 点的三面投影及其投影特征点的三面投影及其投影特征点的投影仍为一个点，且空间点在一个投影

5、面上只需独一点的投影仍为一个点，且空间点在一个投影面上只需独一的投影。但当知点在一个投影面上的一个投影时，都不能的投影。但当知点在一个投影面上的一个投影时，都不能确定点在空间的独一位置。确定点在空间的独一位置。将点将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面放在三投影面体系中分别向三个投影面V面、面、H面、面、W面作正投影，得到点面作正投影，得到点A的程度投影的程度投影a、正面投影、正面投影 、侧面、侧面投影投影 。(关于空间点及其投影的标志规定为：空间点用大关于空间点及其投影的标志规定为：空间点用大写字母写字母A、B、C表示，程度投影相运用小写字母表示，程度投影相运用小写字母a、b、c表示，正面

6、投影相运用小写字母表示，正面投影相运用小写字母 、 、 表示，侧表示，侧面投影相运用小写字母面投影相运用小写字母 、 、 表示。表示。)将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保管投影轴，便将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保管投影轴，便得到点得到点A的三面投影图，如图的三面投影图，如图3.1所示。所示。aaabcbca3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.6第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.6由此可以得出点在三投影面体系的投影特性是：由此可以得出点在三投影面体系的投影特性是：(1) 点点A的的V面投影和面投影和H面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于

7、OX轴，即轴，即aaOX(长对正长对正)。(2) 点点A的的V面投影和面投影和W面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OZ轴，即轴，即aaOZ(高平齐高平齐)。(3) 点点A的的H面投影到面投影到OX轴的间隔等于点轴的间隔等于点A的的W面投影到面投影到OZ轴的间隔，即轴的间隔，即aax= aaz (宽相等宽相等)，作图时可以用圆弧或，作图时可以用圆弧或45线来反映该关系。线来反映该关系。在三面体系中引入笛卡儿坐标体系，以在三面体系中引入笛卡儿坐标体系，以H、V、W三个投影面为坐标面，以三个投影面为坐标面，以三根投影轴三根投影轴OX、OY、OZ为坐标轴，点为坐标轴，点O为坐标原点。于是空间点为坐标

8、原点。于是空间点A便可便可用三个坐标值，即点分别到用三个坐标值，即点分别到W、V、H三个投影面的间隔三个投影面的间隔x、y、z来确定，来确定，由此：由此：点到点到W面的间隔面的间隔 Aa= aaz = aay =oax = x ； 点到点到V面的间隔面的间隔 Aa= aax = aaz = oay = y ； 点到点到H面的间隔面的间隔 Aa = aax = aay = oaz = z 。 3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.7第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.7程度投影由程度投影由X与与Y坐标确定坐标确定(Z=0)；正面投影由；正面投影由X与与

9、Z坐标确定坐标确定(Y=0)；侧面投影由；侧面投影由Y与与Z坐标确定坐标确定(X=0)。点的任何两个投影可。点的任何两个投影可反映点的三个坐标，即确定该点的空间位置。空间点在三面投影反映点的三个坐标，即确定该点的空间位置。空间点在三面投影体系中有独一确定的一组投影。体系中有独一确定的一组投影。(a) (b) (c)图图3.1 点的投影及其投影规律点的投影及其投影规律 3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.8第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.8设空间点设空间点A、B、D分别位于分别位于V、H面和面和OX轴上，如图轴上，如图3.2(a)所示，所示，那么

10、它们的三面投影如图那么它们的三面投影如图3.2(b)所示。由此可知，投影面和投影轴上所示。由此可知，投影面和投影轴上的点的坐标和投影有如下特性：的点的坐标和投影有如下特性： (1) 投影面上的点有一个坐标值为投影面上的点有一个坐标值为0；在该投影面上投影与该点重合；在该投影面上投影与该点重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。(2) 投影轴上的点有两个坐标值为投影轴上的点有两个坐标值为0；在包含这条轴的两个投影面上；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影那么与原点的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影那么与原点O

11、重合。重合。3.1.2 投影面上的点与投影轴上的点投影面上的点与投影轴上的点3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.9第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.9(a) (b)图图3.2 投影面上的点与投影轴上的点投影面上的点与投影轴上的点3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.10第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.103.1.3 两点的相对位置及重影点的投影分析两点的相对位置及重影点的投影分析 1. 空间两点相对位置的投影分析空间两点相对位置的投影分析在投影图上判别空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上、下、左

12、、在投影图上判别空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上、下、左、右、前、后的关系，如图右、前、后的关系，如图3.3(a)所示。所示。由正面投影或侧面投影可判别两点间的上、下关系由正面投影或侧面投影可判别两点间的上、下关系(Z坐标差坐标差)；由正面投影或程度投影可判别两点间的左、右关系由正面投影或程度投影可判别两点间的左、右关系(X坐标差坐标差)；由程度投影或侧面投影可判别两点间的前、后关系由程度投影或侧面投影可判别两点间的前、后关系(Y坐标差坐标差)，如图，如图3.3(b)所示。所示。3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.11第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的

13、投影分析 1.11(a) (b)图图3.3 两点的相对位置两点的相对位置3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.12第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.12 2. 2. 重影点的投影分析重影点的投影分析当空间两点位于对某一投影面的同一条投射线上时，那么此两点在该投影当空间两点位于对某一投影面的同一条投射线上时，那么此两点在该投影面上的投影重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。为区分重影点面上的投影重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。为区分重影点的可见性，规定察看方向与投影面的投射方向一致，即对的可见性，规定察看方向与投影面的投射方向一致，即对

14、V V面由前向后，对面由前向后，对H H面由上向下，对面由上向下，对W W面由左向右。因此，距察看者近之点的投影为可见，反面由左向右。因此，距察看者近之点的投影为可见，反之为不可见。之为不可见。从空间几何关系分析，重影点在空间直角坐标系中有两对坐标值分别相等，从空间几何关系分析，重影点在空间直角坐标系中有两对坐标值分别相等，其可见性那么由它们的另一对不等的坐标值来确定，坐标值大者为可见，其可见性那么由它们的另一对不等的坐标值来确定，坐标值大者为可见，值小者为不可见。画投影图时应在不可见点的投影标志两侧注写括号，如值小者为不可见。画投影图时应在不可见点的投影标志两侧注写括号，如图图3.43.4所

15、示。所示。3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.13第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.13 (a) (b) 图3.4 重影点投影分析 3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.14第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.143.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 由几何学知识可知，空间两点可确定不断线。因此要用投影来表达空间由几何学知识可知，空间两点可确定不断线。因此要用投影来表达空间直线，只需作出直线上恣意两点的投影，再衔接该两点在同一投影面上直线，只需作出直线上恣意两点的投影，再衔接该两点在同一

16、投影面上的投影即可。的投影即可。1.15第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.153.2.1 3.2.1 直线的表示法直线的表示法如知两点如知两点A(xA，yA，zA)和和B(xB，yB，zB)的空间位置，可首先绘出该的空间位置，可首先绘出该两点的三面投影，如图两点的三面投影，如图3.5(a)所示，然后将两点的同面投影相连，即可得所示，然后将两点的同面投影相连，即可得直线的三面投影，如图直线的三面投影，如图3.5(b)所示。由此也可得出结论：在普通情况下所示。由此也可得出结论：在普通情况下，直线的投影仍是直线，直线的投影仍是直线(不变性不变性)。而当直线上两

17、点为某一投影面上的重。而当直线上两点为某一投影面上的重影点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点影点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点(积聚积聚性性)。 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.16第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.16(a) (b) 图图3.5 直线的投影直线的投影 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.17第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.17直线与投影面的相对位置有直线与投影面的相对位置有3种：投影面平行线、投影面垂直线

18、和种：投影面平行线、投影面垂直线和普通位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。普通位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。直线和它在投影平面上的正投影之间所成的锐角称为此直线对该平直线和它在投影平面上的正投影之间所成的锐角称为此直线对该平面的倾角。本书商定：直线与面的倾角。本书商定：直线与H、V、W三投影面所成的角分别用三投影面所成的角分别用，表示，如图，表示，如图3.6(a)所示。当直线平行于投影面时，倾角为所示。当直线平行于投影面时，倾角为0；垂直于投影面时为垂直于投影面时为90；倾斜于投影面时，那么倾角在；倾斜于投影面时，那么倾角在0和和90之间之间。1. 普通位置直线普通位置直线普

19、通位置直线对投影面普通位置直线对投影面V、H、W均为倾斜，两端点的坐标差都不均为倾斜，两端点的坐标差都不等于零。如图等于零。如图3.6(a)所示的直线所示的直线AB，由此可得普通位置直线的投影，由此可得普通位置直线的投影特性。特性。3.2.2 直线相对于投影面的位置及其投影特性直线相对于投影面的位置及其投影特性3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.18第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.18 1) 1) 普通位置直线的三个投影与其实践长度的关系为：普通位置直线的三个投影与其实践长度的关系为：ab=ABcosab=ABcos；ab=ABc

20、osab=ABcos；ab= ABcosab= ABcos由于，均不为由于，均不为0 0，故普通位，故普通位置直线的置直线的3 3个投影之长均小于其实践长度。个投影之长均小于其实践长度。(2) (2) 三面投影均倾斜于投影轴，且它们与投影轴的夹角不反映该直线与三面投影均倾斜于投影轴，且它们与投影轴的夹角不反映该直线与投影面的倾角。投影面的倾角。(a) (b)图图3.6 普通位置直线普通位置直线 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.19第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.19 2. 2. 投影面平行线投影面平行线在三面体系中，平行于一个

21、投影面且与其他两投影面倾斜的直线称为在三面体系中，平行于一个投影面且与其他两投影面倾斜的直线称为投影面平行线。根据该直线平行于哪一个投影面又分为投影面平行线。根据该直线平行于哪一个投影面又分为3 3种：种：正平线：直线平行于正平线：直线平行于V V面面(=0)(=0)，对，对H H、W W面倾斜。面倾斜。程度线：直线平行于程度线：直线平行于H H面面(=0)(=0)，对，对V V、W W面倾斜。面倾斜。侧平线：直线平行于侧平线：直线平行于W W面面(=0)(=0)，对，对H H、V V面倾斜。面倾斜。投影面平行线的三线投影及投影特性如表投影面平行线的三线投影及投影特性如表3-13-1所示。且由

22、表所示。且由表3-13-1可得出可得出投影平行线的投影特性为：投影面平行线在所平行的平面上为一条倾投影平行线的投影特性为：投影面平行线在所平行的平面上为一条倾斜于轴线的直线并反映实长，与相应投影轴的夹角反映直线对另外两斜于轴线的直线并反映实长，与相应投影轴的夹角反映直线对另外两个投影面的倾角的真实大小；直线的另外两个投影面的投影平行线平个投影面的倾角的真实大小；直线的另外两个投影面的投影平行线平行于该投影面，并倾斜于相应的投影轴。行于该投影面，并倾斜于相应的投影轴。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.20第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析

23、 1.20表表3-1 投影面平行线的投影及其投影特性投影面平行线的投影及其投影特性 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.21第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.21 3. 投影面垂直线投影面垂直线在三面体系中，垂直于一个投影面且必平行于另两个投影面的直线称为投影面垂在三面体系中，垂直于一个投影面且必平行于另两个投影面的直线称为投影面垂直线。根据该直线垂直于不同的投影面又分为直线。根据该直线垂直于不同的投影面又分为3种：种：正垂线：直线垂直于正垂线：直线垂直于V面，面，=90，=0。铅垂线：直线垂直于铅垂线：直线垂直于H面，面，=90，

24、=0。侧垂线：直线垂直于侧垂线：直线垂直于W面，面，=90，=0。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.22第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.22投影面平行面的三面投影及投影特性见表投影面平行面的三面投影及投影特性见表3-2。且由表。且由表3-2可得出投影垂直可得出投影垂直线的投影特性为：投影面垂直线在所垂直的平面上积聚为一点，直线的另线的投影特性为：投影面垂直线在所垂直的平面上积聚为一点，直线的另外两个投影分别为垂直于相应的投影轴并反映实长；直线对投影面的倾角外两个投影分别为垂直于相应的投影轴并反映实长；直线对投影面的倾角均为知，即

25、为均为知，即为0或或90 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.23第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.233.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 表表3-2 投影面垂直线的投影及其投影特性投影面垂直线的投影及其投影特性 1.24第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.24 由此，我们可得出这样的结论：从特殊位置直线的三个投影，由此，我们可得出这样的结论：从特殊位置直线的三个投影，可直接获得直线的实长和对投影面的倾角的真实大小，而对于普可直接获得直线的实长和对投影面的倾角的真实大小，而对于

26、普通位置直线，那么要经过一定的图解方法来求解其实长和倾角。通位置直线，那么要经过一定的图解方法来求解其实长和倾角。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.25第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.25特殊位置直线在三面投影图中可直接显示实长及对投影面的倾角，特殊位置直线在三面投影图中可直接显示实长及对投影面的倾角，有着良好的投影特性。而普通位置直线的有着良好的投影特性。而普通位置直线的3个投影均不能直接反映个投影均不能直接反映直线的实长和对投影面的倾角，必需经过一定的图解方法来求解。直线的实长和对投影面的倾角，必需经过一定的图解方法来求解。

27、首先，分析如图首先，分析如图3.7所示的空间直线所示的空间直线AB与其投影之间的几何关系：与其投影之间的几何关系：在投射线组成的平面在投射线组成的平面ABba内，过点内，过点A作作AK/ab，交，交Bb于点于点K，得，得R t A B K 。 其 中 ： 直 角 边。 其 中 ： 直 角 边 A K = a b ( 程 度 投 影 的 长 度程 度 投 影 的 长 度 ) ，BK=BbKb=ZBZA=Z(A、B两点间的两点间的Z坐标差坐标差)，斜边，斜边AB即为即为实长，而实长，而AB与与AK的夹角的夹角(即斜边与程度投影的夹角即斜边与程度投影的夹角)为该直线对为该直线对H面面的倾角的倾角。显

28、然，在这个直角三角形的三条边和一个夹角中。显然，在这个直角三角形的三条边和一个夹角中3.2.3 直角三角形法求解普通位置直线的实长和对投影面的倾角直角三角形法求解普通位置直线的实长和对投影面的倾角 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.26第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.26只需知道其中两个要素，就可画出该直角三角形，其他两个要素也就随即获只需知道其中两个要素，就可画出该直角三角形，其他两个要素也就随即获得。如图得。如图3.7(b)所示，线段所示，线段AB的程度投影的程度投影ab和两端点的和两端点的Z坐标差均为知，故坐标差均为知，故

29、可画出此直角三角形，问题便获处理。这种方法称为直角三角形法。可画出此直角三角形，问题便获处理。这种方法称为直角三角形法。直角三角形法中所用的直角三角形是从上述空间几何分析中推理而笼统出来直角三角形法中所用的直角三角形是从上述空间几何分析中推理而笼统出来的，图解时可直接作在投影图中，也可作在投影图形之外，如图的，图解时可直接作在投影图中，也可作在投影图形之外，如图3.7(c)所示。所示。在如图在如图3.7(b)所示的作图过程中，就分别用了两个位置来画直角三角形：一所示的作图过程中，就分别用了两个位置来画直角三角形：一是画在程度投影中，直接利用程度投影是画在程度投影中，直接利用程度投影ab为不断角

30、边，而另不断角边为不断角边，而另不断角边Ab为为坐标差坐标差Z；二是画在正面投影中，利用反映；二是画在正面投影中，利用反映Z坐标差的正面投影坐标差的正面投影ba1为不断为不断角边，而另不断角边角边，而另不断角边a1B就等于其程度投影就等于其程度投影ab。留意两种作法都有同一结果，。留意两种作法都有同一结果，即斜边为实长，斜边与程度投影的夹角为直线对程度投影面的倾角。即斜边为实长，斜边与程度投影的夹角为直线对程度投影面的倾角。 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.27第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.27图图3.7 求线段的实长及对投

31、影面的倾角求线段的实长及对投影面的倾角(a) (b) (c)3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.28第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.28同理，利用线段的正面投影同理，利用线段的正面投影ab或侧面投影或侧面投影ab，可与线段，可与线段AB的实的实长及和角分别组成另外两个直角三角形，如图长及和角分别组成另外两个直角三角形，如图3.8所示。这所示。这3个直角三个直角三角形的组成情况如下：角形的组成情况如下：(1) 两直角边分别为直线的程度投影和两直角边分别为直线的程度投影和Z坐标差，斜边为实长，程度坐标差，斜边为实长，程度投影和实长的夹

32、角为，如图投影和实长的夹角为，如图3.8(a)所示。所示。(2) 两直角边分别为直线的正面投影和两直角边分别为直线的正面投影和Y坐标差，斜边为实长，正面坐标差，斜边为实长，正面投影和实长的夹角为，如图投影和实长的夹角为，如图3.8(b)所示。所示。(3) 两直角边分别为直线的侧面投影和两直角边分别为直线的侧面投影和X坐标差，斜边为实长，侧面坐标差，斜边为实长，侧面投影和实长夹角为，如图投影和实长夹角为，如图3.8(c)所示。所示。用直角三角形法解题时要留意以下几点：用直角三角形法解题时要留意以下几点：3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.29第第3章章 空间点、直线和平面的

33、投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.29 (1) (1) 对照图对照图3.83.8所示的所示的3 3个直角三角形可知，对于同一段直线，用其中恣个直角三角形可知，对于同一段直线，用其中恣意一个直角三角形，都可求得该直线的实长。但对投影面的倾角的问题，意一个直角三角形，都可求得该直线的实长。但对投影面的倾角的问题，那么要用不同的直角三角形来求解。如一定是实长与程度投影的夹角，一那么要用不同的直角三角形来求解。如一定是实长与程度投影的夹角，一定是实长与正面投影的夹角，而一定那么是实长与侧面投影的夹角。定是实长与正面投影的夹角，而一定那么是实长与侧面投影的夹角。(2) (2) 获得直角三角形的投

34、影体系普通是两投影面体系，不同的投影体系所获得直角三角形的投影体系普通是两投影面体系，不同的投影体系所对应的直角三角形也不同。求解的直角三角形从对应的直角三角形也不同。求解的直角三角形从V/HV/H体系中获得，求解的直体系中获得，求解的直角三角形从角三角形从V/HV/H或或V/WV/W体系中获得，求解的直角三角形从体系中获得，求解的直角三角形从V/WV/W体系中获得。体系中获得。(3) (3) 从图中得知，每个直角三角形含有从图中得知，每个直角三角形含有4 4个要素，假设知其中恣意两个，那个要素，假设知其中恣意两个，那么此直角三角形便完全确定，由此可求出另么此直角三角形便完全确定，由此可求出另

35、2 2个要素。凡遇到此个要素。凡遇到此4 4要素的问要素的问题均可用此法来求解。题均可用此法来求解。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.30第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.30(a) (b) (c)图图3.8 直角三角形法中的边和角与投影的关系直角三角形法中的边和角与投影的关系 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.31第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.31 【例3.1】 知线段AB的实长为60mm，求出AB的程度投影ab，如图3.9(a)所示。分析：要求解直线的程度投影

36、ab，那么应利用含有程度投影的那个直角三角形来作图。而在该直角三角形的3条边和一个角中，知AB的Z坐标差(从正面投影而知)和实长两个要素，因此AB的程度投影ab由此可求(可得两解)。作图步骤：(1) 过b 作aa的垂线bB0，以a 为圆心60mm为半径画弧与bB0交于B0，那么得出程度投影ab的长度，如图3.9(b)所示。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.32第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.32(a) (b)图图3.9 作作AB的程度投影的程度投影 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.33第第3章章 空间点

37、、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.33 (2) (2) 过过b b 作投影连线作投影连线bbbb垂直于垂直于OXOX轴。轴。 (3) (3) 以以a a为圆心、为圆心、abab为半径画弧交为半径画弧交bbbb于于b b。 (4) (4) 连连 ab ab即为所求即为所求( (两解两解) )。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.34第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.34空间点与直线的相对位置有两种情况：点在直线上、点不在空间点与直线的相对位置有两种情况：点在直线上、点不在直线上。直线上。根据平行投影法中从属性和等

38、比性的根本性质可知：点在直根据平行投影法中从属性和等比性的根本性质可知：点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上；且点分线段之比，线上，其投影必在该直线的同面投影上；且点分线段之比，其投影后坚持不变。其投影后坚持不变。如图如图3.10所示，知点所示，知点C在在AB上，那么点上，那么点C的的3个投影必在个投影必在AB相相应的同面投影上，且有：应的同面投影上，且有：AC CB = ac cb = a c cb = ac cb。而如图。而如图3.10(b)所示点所示点D的程度投影虽然在直线的程度投影虽然在直线AB的程度投影上，但其正面投影和侧面投影都不在直线的程度投影上，但其正面投影和侧面投影都不在

39、直线AB的的同面投影上，故点同面投影上，故点D不在直线不在直线AB上，如图上，如图3.10(a)所示。所示。3.2.4 点与直线的相对位置点与直线的相对位置3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.35第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.35(a) (b)图图3.10 点与直线的相对位置点与直线的相对位置 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.36第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.36根据上述性质即可判别点能否在直线上以及处理在直线上取点的根据上述性质即可判别点能否在直线上以及处理

40、在直线上取点的作图问题。作图问题。要从投影上判别点能否在直线上，对于普通位置直线而言，只需要从投影上判别点能否在直线上，对于普通位置直线而言，只需从其中两组投影就可加以判别。如在图从其中两组投影就可加以判别。如在图3.10中，点中，点C的两个投影的两个投影在在AB的同面投影上，点的同面投影上，点D只需一个投影在直线只需一个投影在直线AB的同面投影上的同面投影上。因此点。因此点C在直线在直线AB上，点上，点D不在直线不在直线AB上。上。而对于特殊位置直线而言，那么必需从其三组投影或利用点分线而对于特殊位置直线而言，那么必需从其三组投影或利用点分线段之等比性来进展判别。如图段之等比性来进展判别。如

41、图3.11(a)所示，由于所给直线所示，由于所给直线AB及及点点D位于平行于侧面的同一平面内，不论点位于平行于侧面的同一平面内，不论点D能否在能否在AB上，都有上，都有dab，dab 的关系。为此，必需根据第的关系。为此，必需根据第3投影或利用点分线投影或利用点分线段之等比性质来判别。图段之等比性质来判别。图3.11(b)、图、图3.11(c)列出了这两种判别方列出了这两种判别方法。由作图可知，点法。由作图可知，点D不在不在AB上。上。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.37第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.37(a) (b) (c

42、) 图图3.11 点与直线相对位置的判别点与直线相对位置的判别 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.38第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.38空间两直线的相对位置有3种情况，即平行、相交和交叉(即异面直线) 1. 平行两直线空间两直线平行，那么其3组同面投影必平行。反之，假设有两直线的三组同面投影都平行，那么该两直线在空间相互平行。如图3.12所示，知空间两直线ABEF。过AB、EF上的各点向投影面作投射线，所构成的两个平行平面与投影面的交线也相互平行。即abef，abef，abef。其投影图如图3.12(b)所示。从而不难得出AB

43、 / EF= ab / ef = ab / ef = ab/ ef。由此可得其同面投影必平行，且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.39第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.39(a) (b)图图3.12 平行两直线平行两直线3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.40第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.40表表2-6(要判别两条普通位置直线能否平行，只需看它们要判别两条普通位置直线能否平行，只需看它

44、们的恣意两面投影即可。但对于特殊位置直线而言，那么的恣意两面投影即可。但对于特殊位置直线而言，那么必需同时检查它们的必需同时检查它们的3组同面投影。组同面投影。如图如图3.13所示的两直线所示的两直线AB和和CD均为侧平线，虽然它们均为侧平线，虽然它们的的H、V面投影：面投影：abcd，abcd，但，但ab cdab cd，其侧面投影，其侧面投影ab不平行于不平行于cd，故，故直线直线AB不平行于不平行于CD。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.41第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.41图图3.13 两直线能否平行的判别两直线能否平

45、行的判别3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.42第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.422. 相交两直线相交两直线空间两直线相交，其各组同面投影必相交，且交点的投影符合点的投空间两直线相交，其各组同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。反之亦然。如图影规律。反之亦然。如图3.14(a)所示，空间两直线所示，空间两直线AB与与CD相交于点相交于点K，那么交点，那么交点K为两条直线所共有，根据从属性不变的性质，两直线的为两条直线所共有，根据从属性不变的性质，两直线的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律，即同面投影必定相交，且交点

46、符合点的投影规律，即kkOX(kkOZ)，如图，如图3.14(b)所示。因此，对于一对普通位置直所示。因此，对于一对普通位置直线，要判别它们能否相交，只需检查恣意两面投影的交点的投影连线线，要判别它们能否相交，只需检查恣意两面投影的交点的投影连线能否垂直于投影轴即可。否那么，要同时从能否垂直于投影轴即可。否那么，要同时从3组同面投影、或者从交点组同面投影、或者从交点的从属性及交点分割线段的等比性来判别。的从属性及交点分割线段的等比性来判别。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.43第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.43(a) (b)

47、图图3.14 相交两直线相交两直线 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.44第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.44如图如图3.15(a)所示的两直线所示的两直线AB和和EF，虽然其两面投影均相交，虽然其两面投影均相交，其真实空间并不相交。由于从图其真实空间并不相交。由于从图3.15(b)的判别可看出：的判别可看出：ek kfek kf，所以点，所以点K不在不在EF上，即两直线不相交。同样，上，即两直线不相交。同样，还可经过作出其侧面投影来判别。还可经过作出其侧面投影来判别。(a) (b)图图3.15 两直线能否相交的判别两直线能否相

48、交的判别 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.45第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.453. 交叉两直线交叉两直线在空间既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。如图在空间既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。如图3.13和图和图3.15所示所示的两直线均为交叉两直线。交叉两直线的的两直线均为交叉两直线。交叉两直线的3组同面投影不一定都相交，即使组同面投影不一定都相交，即使都相交，其交点也不符合点的投影规律。我们在交叉两直线的同面投影上都相交，其交点也不符合点的投影规律。我们在交叉两直线的同面投影上看到的交点，实践上是分别在两直线上

49、的两点在该投影面上的重影点。利看到的交点，实践上是分别在两直线上的两点在该投影面上的重影点。利用重影点的投影特性，可判别两直线的相对位置。用重影点的投影特性，可判别两直线的相对位置。如图如图3.16所示，交叉两直线所示，交叉两直线AB，CD上分别有两个点上分别有两个点、(点点AB，点，点CD)，它们在，它们在H面的重影点为面的重影点为(3)4，由，由3.16(b)中的投影可知中的投影可知Z Z，故故点在点在点的正上方，点的正上方，点的程度投影点的程度投影3为不可见，用为不可见，用(3)表示。同理，在表示。同理，在V面上另一对重影点面上另一对重影点I、II中，点中，点II的正面投影的正面投影2

50、不可见，用不可见，用(2 )表示。表示。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.46第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.46(a) (b) 图图3.16 交叉两直线的重影点交叉两直线的重影点3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.47第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.47【例【例3.2】 试判别知直线试判别知直线AB，CD，AE两两之间的相对两两之间的相对位置，如图位置，如图3.17(a)所示。所示。分析：从图中直接察看可得出：分析：从图中直接察看可得出：AB与与AE相交，由于它相

51、交，由于它们有公共点们有公共点A。对于。对于AB与与CD两直线，由于它们均为侧平两直线，由于它们均为侧平线，虽然其正面投影和程度投影均分别平行，但不能凭线，虽然其正面投影和程度投影均分别平行，但不能凭察看直接定出。判别方法有两种，一种方法是作出它们察看直接定出。判别方法有两种，一种方法是作出它们的侧面投影，另一种方法是经过检查的侧面投影，另一种方法是经过检查A，B，C，D 4点能点能否共面。即分别衔接否共面。即分别衔接AC与与BD的正面投影和程度投影，的正面投影和程度投影，使它们构成使它们构成AC与与BD两条直线。由两条直线。由AC与与BD两直线的不共两直线的不共面，即可推断出面，即可推断出A

52、，B，C，D 4点不共面。所以点不共面。所以AB与与CD为两交叉直线，如图为两交叉直线，如图3.17(b)所示。而所示。而AE与与CD是一对交是一对交叉直线，其判别方法可用图叉直线，其判别方法可用图3.17(c)所示的等比性定理，所示的等比性定理，读者可自行分析判别。读者可自行分析判别。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.48第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.48(a) (b) 图图3.17 判别两直线间的相对位置判别两直线间的相对位置 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.49第第3章章 空间点、直线和平面的投

53、影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.49 【例3.3】 求作直线ST，使其与知直线AB，CD相交且平行于知直线EF，如图3.18(a)所示。分析与作图：从图3.18(a)可知，直线CD的程度投影积聚为一点c(d)，故CD为铅垂线。由于所求直线ST与CD相交，故其交点T的程度投影也必积聚于点c(d)。又由于所求直线STEF，且与AB相交。故可过点c(d)作stef交ab于s，由s找到s，过s作stef交于 t，那么st和 st为所求直线ST的两面投影。作图步骤如图3.18(b)所示。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.50第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、

54、直线和平面的投影分析 1.50(a) (b)图图3.18 直线平行与相交的综合题举例直线平行与相交的综合题举例3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.51第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.51空间垂直的两直线空间垂直的两直线(相交或交叉相交或交叉)，假设其中的不断线平行于某投影面时，假设其中的不断线平行于某投影面时，那么两直线在该投影面上的投影仍为直角。直角的这一投影特性称为，那么两直线在该投影面上的投影仍为直角。直角的这一投影特性称为直角投影定理。反之，假设两直线在某投影面上的投影为直角，且其中直角投影定理。反之，假设两直线在某投影面

55、上的投影为直角，且其中有不断线平行于该投影面时，那么该两直线在空间必相互垂直。有不断线平行于该投影面时，那么该两直线在空间必相互垂直。证明如下：如图证明如下：如图3.19(a)所示，设相交两直线所示，设相交两直线ABBC，且，且ABH面。面。ABBC，ABBbAB平面平面BCcb。又又ABH面面abAB。因此：因此：ab平面平面BCcb，得，得abbc，即，即abc=90，如图，如图3.19(b)所示。所示。3.2.6 一边平行于投影面的直角的投影一边平行于投影面的直角的投影(a) (b)图图3.19 直角的投影直角的投影3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.52第第3章章

56、 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.52运用直角投影定理可以处理许多空间定形和定位的几何问题，如求作直角运用直角投影定理可以处理许多空间定形和定位的几何问题，如求作直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形、菱形等的投影作图问题，以及求三角形、等腰三角形、长方形、正方形、菱形等的投影作图问题，以及求解点与直线间、两直线间及直线与平面间的间隔问题等等。解点与直线间、两直线间及直线与平面间的间隔问题等等。直角投影定理同样适宜于两直线交叉垂直的情况。读者可自行证明。如图直角投影定理同样适宜于两直线交叉垂直的情况。读者可自行证明。如图3.203.20所示的两直线就是交叉垂直的情

57、况。由于直线所示的两直线就是交叉垂直的情况。由于直线ABAB是一条程度线，且是一条程度线，且ABAB与与CDCD的程度投影又相互垂直，因此由上述直角定理可知，这两条直线的程度投影又相互垂直，因此由上述直角定理可知，这两条直线在空间垂直。又由于两直线的正面投影不相交，且两直线的两面投影也不在空间垂直。又由于两直线的正面投影不相交，且两直线的两面投影也不平行，因此它们是一对交叉直线。平行，因此它们是一对交叉直线。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.53第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.53 【例【例3.4】 试求点试求点A到直线到直线B

58、C的间隔，如图的间隔，如图3.21(a)所示。所示。分析：求空间一点到直线的间隔的问题，也是过点向直线作垂线、并求出该垂线的分析：求空间一点到直线的间隔的问题，也是过点向直线作垂线、并求出该垂线的实长的问题。在本例中，应从知点实长的问题。在本例中，应从知点A向直线向直线BC 图图3.20 两直线交叉垂直两直线交叉垂直3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.54第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.54作垂线作垂线AK，得垂足为，得垂足为K。由于所给直线。由于所给直线BC为正平线，故由直角投为正平线，故由直角投影定理，应使其正面投影影定理，应

59、使其正面投影akbc；然后利用直角三角形法求出；然后利用直角三角形法求出AK的的实长，即为所求的间隔。实长，即为所求的间隔。作图步骤：作图步骤：(1) 过过 a 作作akbc，交，交bc 于于k，由，由k 找出找出k，衔接，衔接ak，得，得AK的投影的投影(ak，ak)；(2) 用直角三角形法求出用直角三角形法求出AK的实长，即的实长，即a k0为所求，如图为所求，如图3.21(b)所示所示。 (a) (b)图图3.21 求点到直线的间隔求点到直线的间隔3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.55第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.55【

60、例【例3.5】 试作出交叉两直线试作出交叉两直线AB、MN的公垂线的公垂线EF，并求，并求AB与与MN之间的最短间隔，如图之间的最短间隔，如图3.22(a)所示。所示。分析：如图分析：如图3.22(b)所示，公垂线所示，公垂线EF是与是与AB，MN都垂直相交都垂直相交的直线，的直线，EF的实长就是所求交叉两直线的间隔。由于的实长就是所求交叉两直线的间隔。由于ABH面面(AB为铅垂线为铅垂线)，又，又EFAB，所以应有，所以应有EFH面，其垂足面，其垂足E的程度投影的程度投影e必积聚在必积聚在AB的程度投影的程度投影ab处。又由于处。又由于EFH，同时同时EFMN，根据直角投影定理必有，根据直角