平面向量数量积的含义名师课件

1、 我们学过功的概念，即一个物体在力 F的作用下产生位移s（如图） F ? ? s 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角 功是一个标量，它由力和位移两个向量来功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把确定。这给我们一种启示，能否把“功功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？看成这两个向量的一种运算的结果呢？ 1、向量的夹角的概念、向量的夹角的概念 a和和 两个非零向量两个非零向量 OA?a,OB?b， b，作，作 ? ? AOB? ? ?b 的夹角的夹角 则则 和和 a(0?180 )叫做向量叫做向量 B bO b? ?aaA 注意注意:

2、在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点的同起点的 B aO aO A B b? ? ?180 b反向反向 a 与与 A bbB ? ? ?0? 与与 ab 同向同向 O ?A ? ? ?90a与与 b垂直，垂直， 记作记作 ? ?aa?b练习练习1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。 CC 120A ? 通过平移通过平移 变成共起点！变成共起点！ 60?B 2、数量积的概念、数量积的概念 已知两个非零向量已知两个非零向量 a和和 b，它们的夹角为，它们的夹角为? ? ，我们把数

3、量，我们把数量 记作记作a bcos?叫做叫做 的数量积（或内积），的数量积（或内积）， a与与b即有即有 a?b= a bcos?a?b 0?a ?0（1） “?” 不能省略不写，也不能写为 “?” ?b 表示数量而不表示向量 ,与? a、（2） aa ?b a ?b、 不同, 它们表示向量； （3） 在运用数量积公式解题时,一定要注意向量 规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0， 即即 夹角的取值范围是 0?180（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、 性质不适合 练习已知练习已知|a |=5，|b |=4，a与与b的夹角的夹角 ? ? ?120， 求求

4、a b. ?解：解： a b =|a | |b |cos ? ?5? ?4? ?cos1201? ?5? ?4? ?(? ?)2? ?10?3、向量数量积的性质、向量数量积的性质 a b =| a | b |cos? ? 设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的单方向相同的单位向量，位向量，? ?是是a与与e的夹角的夹角,则则 ab?=? ?/2? ?cos? ?=0 (1) e a = a e=| a |cos? ?. ? ?| a | b |cos? ?=0 (2)ab? ? a b =0. ? ? a b =0 (3)当当a与与b同向时同向时,a b=|a|b|;当当

5、a与与b反向时反向时,ab=-|a|b|. 特别地特别地,a a (或写成或写成 a 2)=| a |2或或| a |= a a (4)cos? ?=( a b )/(|a|b|). (5)| a b | a | b |. 向向 量量a与与b共共 线线 ? ? | a b |=| a | b | 练习练习3 3、判断下列命题是否正确、判断下列命题是否正确 1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0. 2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0. ( ) () 3.若若a0,且且a b=0,则则b=0. 4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0. 5.对任

6、意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2. 6.若若a0,且且a b=a c,则则b=c. () () ( ) () 7.7.对实数对实数a,b,ca,b,c有有 (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc) 对向量对向量, ,是否是否有有( (a a. .b b) )c c= =a a( (b b. .c c) ) 4、向量数量积的运算律、向量数量积的运算律 运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？积能否满足下面的运算律？ ?，则向量的数量

7、积满足：，则向量的数量积满足： 已知向量已知向量 a,b,c和实数和实数 （1）a ?b?b?a（交换律）（交换律） ( ?a)?b?(a?b)?a?(?b)（数乘结合律）（数乘结合律） （2）?a?c?b?c（分配律）（分配律） （3）( a?b)?c?4?(a?b)?c?a?(b?c)（不一定成立）（不一定成立） （3） (a?b)?c?a?c?b?c证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 OA?aAB?b， O，作，作 , OC?ca?b（即（即 c方向上的投影等于方向上的投影等于 OB）在）在 a,b在在 c方向上的投影的和，方向上的投影的和， 即即 |a?b|cos?|a|cos?

8、1?|b|cos?2A ?2 |c|a?b|cos?|c|a|cos?1?|c|b|cos?2c?(a?b)?c?a?c?b即即 abB (a?b)?c?a?c?b?cO ?1 ? A1 cB1 C 例1：判断正误，说明理由。、a?0?00?a ?0、a?b?a?b、 若a ? 0，则对任一非零向量b有a?b? 0、a?b?0?a?0 ,b?0、若b?0 ,a?b?b?c，则a?c例2:a?4,b?5当ab;已知: ,ab;a与b的夹角为150时,分别求a与b的数量积 .解:ab,a与b同向或反向若a与b同向,则? 0,a?b?a b cos0?4?5?20?a当 时,? 90b?a?b?a

9、bcos90? 0 当a与b夹角为150,即? 150a?b?abcos150?若a与b反向,则? 180,?a?b?abcos1803?4?5?(?)2? ?10 3?4?5?(?1)? ?20例 3、我们知道，对任意a,b?R,恒有(a?b)?a?2ab?b ,(a?b)(a -b)?a-b .对任意向量a,b.是否也有下面类似的结论？22222?1?(a?b)2?a?2a?b?b ;222?2?(a?b)?(a -b)?a2-b ;2解：?1?(a?b)?(a?b)?(a?b) ?a?a?a?b?b?a?b?b ?a?2 a?b?b ;22?2?(a?b)?(a-b)?a?a?a?b?b

10、?a?b?b?a2- b ;2例4 、已知 a?5 ， b?4 ， a与b 的夹角为60o，问当k为何值时，向量ka?b与a?2 b垂直？解：解：?（ka? ?b）? ?（a? ?2 b）? ?（ka? ?b） （? ?a? ?2 b） ? ?0即即ka? ?（2 k? ?1）a? ?b? ?2 b? ?0ka? ?（2 k? ?1 ） a bcos60? ?2b? ?01225 k? ?（2 k? ?1） ? ?5? ?4? ? ?2? ?4? ?0214k ? ?15o222214? ? 当当k? ?时，向量时，向量ka? ?b与与a? ?2b垂直。垂直。15四、小结：四、小结： 本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：应用，常见的题型主要有： 1 、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义） 2 、由数量积求向量的模、由数量积求向量的模 3 、由数量积确定两向量的夹角、由数量积确定两向量的夹角 4 、运用数量积的性质判定两向量是否垂直、运用数量积的性质判定两向量是否垂直 5 、判断三角形的形状、判断三角形的形状 OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|b|cos ? 。? 叫做向量b在a方向上的投影。| b|cos B