韦达定理及其应用竞赛题

1、韦达定理及其应用竞赛题 ( 总6页)-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1应用 CAL- 本页仅作为文档封面 . 使用请直接删除 韦 达 定 理 及 其内容综述】r +X =丄设_元二次方程农 2 +分 2 = 0?工 0）有二实数根可和兀 2 ,则可这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 / b, C 的关系， 称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次 方程的重 要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方 面的应用。【要点讲解】1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的

2、值。b a 例1若a, b为实数，且以+虫+ 1 = 0,於+芻 + 1 = 0,求的值。思路注意a, b为方程F+3X+1 =0的二实根；（隐含4刃）。解（1）当沪b时，2 + 9 = 2 a b ?（2）当时，由已知及根的定义可知,a, b分别是方程* + 3工+1 = 0的两根，由韦达定理得'十八=一 3,此二1.十一. 一 ia b ab11 + 1说明此题易漏解沪b的情况。根的对称多项式富+坊, r'+xL讦k等都可以用方程的系数表达出来。 一般地，设忑，丁 2为方程朋2+苏+£= 0的二根,则有递推关系。邛；*2 + 如' ；+1 + 叭=0其中n

3、为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出mb值进而求出所求多项式 值，但计算量较大。例 2若胪皿十 1, “7-1 = 0且加*，试求代数式 M 川的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解， 也可以借助于代数变形来 完 成。解：因为用“，由根的定义知 m, n为方程"-一 1 = 0的二不等实根，再 由韦达定理，得m + n = T mn =-1.raT + n7 =防+涉）-用审_沪才=( MI + n)2 _ 2m?2 - 2( WM )2 (TO + n)? - 3mM (wi + M) - (ran)3 (m + 对 =j2 - X- l

4、)f- 2(-1)* p 一 3(- 1).1- (-1) 3 ?1 = 7x4 + 1=292. 构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这 两 个字母为根的一元二次方程。 例 3设一元二次方程 X -刃均=°的二实根为。和庐。(1) 试求以和用为根的一元二次方程；(2) 若以和炉为根的一元二次方程仍为 *- 刃+彳=0。求所有这样的一元 二次方程。解(1)由韦达定理知1沪Y瞒二g9O/ +伊=(空+ 0尸_ 3a八(a +价二员一 3网所以，所求方程为山 2-)"=°。 p=p_?q)(2) ill已知条件可得q 解之可

5、得由得曲,±1分别讨论(p,q) =(0,0), (1,0), (-1,0), (0,1)，(2, 1), (-2,1)或(0, 一 1)。 于是，得以下七个方程“7 = 0,M+x = o, y 2+ 1 = 0,H - 2x + l = 0, x2+2x + 1 = 0, X2-1=O,其中x2+l= 0无实数根，舍去。其余 六个方程均 为所求。3. 证明等式或不等式 根据韦达定理(或逆定理)及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例4已知a, b, c为实数，且满足条件：八=勿-9,求 证a=bo 证明由已知得 a + b =处=八+ 9。根据韦达定理的逆定理知，以d, b为根

6、的关于x的实系数一元二次方程为r2 -6x + c2 + 9 = 0由 a, b 为实数知此方程有实根。.A = （- 6）2 一 4牡 制=_4 八 >0Ac2=O,故c二0,从而一0。这表明有两个相等实根，即有 d二bo说明由”不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c二0后，由恒等式0 +力-匕-研=4如可得？-切2=护_4洌=0, 即 &二 b。此方法较笫一种 烦琐， 且需一定的跳跃性思维。4. 研究方程根的情况 将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分 布、 整数性等。关于方程苏十 20 3#。）的实根符号判定有下述定理：方程有二正根 dAA

7、O, ab<0, ac>0：方程有二负根台也 , ab>0, ac>0：方程有异号二根锌 3, ac<0；方程两根均为 “0”=b 二 c 二 0,姑 0； 例 5 设一元二次方程己 + 2 做= 0 的根分别满足下列条件，试 求实数 d 的范围。二根均大于 1；一根大于 1,另一根小于 1。思路 设方程二根分别为可,乃,则二根均大于1等价于可J和巾-1同时解设此方程的二根为忑，心，则+ X2 = -2X2 = 6 -C7方程二根均大于1的条件为卜=4 卅 _4(6_a)工 0,<(x l- l)+(r 2 -I) = -2cz- 2> 0,-I)(X

8、2 - 1) = 6 - tr- (- 2tz) + 1 > 0.解之得-7 < a < -3方程二根中一个大于1,另一个小于1的条件为A = 4a2 一 4(6 - a) >0,(x 1)(x2 1) = 6 a ( 2a) +1 v 0.解之得。a < 7 o说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解 题 过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。5. 求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程(组)中也有看许多巧妙的 应用。 例6解方程DS+4加1) = 6。解：原方程可变

9、形为(6x + 7)2(6r + 8)(6r+6)= 72。令(故亠7=小, (6x十8)(&十 6)=3贝g?十(一力=1, af 劝=一 72。山韦达定理逆定理知，以a, -b为根的一元二次方程是且严谨戸 *_72 = 0求解结果解得A = 匕=9。即圧_8或&二 9飞"7尸=9,休 + 7)2=7 (舍去)9r =_2 =_?解之得A="3, <2=_3o此种方法应检验：(?5x+8)(6r+6)=h是或否成.、立强化训练 1若k为正整数，且方程忙一 1) 3 .已知忑和勺是方程* x 1=0的二实根，贝A + 52= 4.已知方程r2+mr-m

10、 + I = 0 (m为整数)有两个不等的正整数根，求m的值。B级5.已知：復和/为方程八及方程宀PF"的实根，苴中n为正奇数，且八匚竺£求证：万，恳是方程疋+1-("1) ” 的实根。? 6已知关于x的方程F从=?*的二实根厘和禺满足必+烬2，试求* 的值。参考答案1. 2 ? 一昭力一比22 = 0有两个不等的正整数根，则k的值为 2?若 F +=+ 11/+16 = 0 (xAy)12但 23 6提示：原方程即% “)一 i2*-ik-6=o,所以Xi_rn知k=l, 2,烷W心3, 5, 11：由仗一咖知22, 3, 4, 7。所以k=2, 3等正整数根，

11、 不合题意。故k=2。土应X + j ； = -11=162. -提示：由x, y为方程存+11加+ 16 = 0的二根，是原式=AA =扌(丫 _)=二二? . _4号=3. 21提示：由r?=rl + 1,坊=D+1,可+兀2=1知，2 彳 + 5x2 = 2xi(xi + 1 尸 + 5r2 (X2 4-1)=2xl(xp + 2 工 1 + 1)+ 5 爲 + 5X2=2X1(Xj + 1 + 2 x L + 1) + S(X2 + 1) + SX2=6x? +4 心 +10r2 十 5=6(x1 +1) + 4xj + 1 Ox 2 十 5=10(乃十 X2)+1 = 214.设二个不等的正整数根为 u,由韦达定理，消去m,得酬疗-/?= 1O即(a- UW-1)= 2。则位-1 = 1 且严 1 = 2。?仏=2, ZA=3 u =-( 口 +A) = -5 y5.由韦达左理有二式相减得価-0叮分+ b +屛=0将小少7代入有/ +pK - 00）" =0 从 CX +w H同理.巴£0和&是方程u匕4矿"的根6?当a = p时，可知ot = p = I所以l4+k = 3xl2=>