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文档简介
1、 高等数学(上)高等数学(上)第四节第四节 定积分的换元法定积分的换元法定理定理 假设假设 在区间在区间 上连续,上连续, 满足满足)(xf ba,)(tx 2) 在在 (或(或 )上具有连续导数,)上具有连续导数,)(t , ,则有则有dtttfdxxfba )()()()(tx 1) , ;且当;且当 从从 变到变到 时时, ,对应的对应的 从从 单调增加地变到单调增加地变到 ; ;a )( b )( txab 高等数学(上)高等数学(上)证证 设设 )(xF 是是 )(xf 的的一一个个原原函函数数, )()()(aFbFdxxfba 令令 ,则,则)()(tFt )()(ttf 所以所
2、以)(t 是是)()(ttf 的一个原函数的一个原函数 . . )()()(ttFt)()()()( dtttf因而因而 高等数学(上)高等数学(上))()( FF )()(aFbF dxxfba )(t 高等数学(上)高等数学(上)例例1 . . 10231dxxx令令txsin令令tucos0122)1(duuu01353151 uu152 2023cossintdttttdtcoscos)cos1 (2202同第二类换元法同第二类换元法同第一类换元法同第一类换元法 高等数学(上)高等数学(上)例例2 . 40122dxxx令令12 xt 312221dtt31333121 tt322 3
3、12321dtt 高等数学(上)高等数学(上).sinsin053 dxxx例例3 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 高等数学(上)高等数学(上)24cos120dxx例例 5 当当 )(xf 在在 ,aa 上上连连续续,且且有有 1) )(xf 为为偶偶函函数数,则则 aaadxxfdxxf0)(2)(; 2) )(xf 为为奇奇函函数数,则则 aadxxf0)(。 高等数学(上)高等数学(上)证证 aaaadxxfdxxfdxxf00)
4、()()( 0)(adttf adttf0)( 0)(adxxf因为因为tx 高等数学(上)高等数学(上)所以所以 aaaadxxfdttfdxxf00)()()( aadxxfdxxf00)()( adxxfxf0)()(故故1)若若 为偶,则为偶,则)(xf aaadxxfdxxf0)(2)(2)若若 为奇,则为奇,则)(xf aadxxf0)( 高等数学(上)高等数学(上)1132cos2xdxexx22)()(dxxfxfaadxxx11ln0 高等数学(上)高等数学(上)奇函数奇函数例例6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211c
5、osdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 高等数学(上)高等数学(上)证证 Taadxxf)( TaTTadxxfdxxfdxxf)()()(00因为因为 TaTdxxf)(Tux aduTuf0)( aduuf0)( 0)(aduuf所以所以(1)式成立式成立. .例例7 证明:若证明:若 是以是以 为周期的函数,则为周期的函数,则)( xfT TTaadxxfdxxf0)()((1) 高等数学(上)高等数学(上)20cossindxxx20)4sin(2dxxtx4令424sin2dtt
6、0sin22tdt24ndxx0cos2n 高等数学(上)高等数学(上)证证变回自己区间的变换变回自己区间的变换:tbax 高等数学(上)高等数学(上)20cossinsindxxxxI 2200)(cos)(sindxxfdxxf; 证证 令令 ,则,则 tx 2 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf 1 , 04 高等数学(上)高等数学(上)414cossinsin203dxxxx4tan120 xdx例例 9 若若)(xf连续,证明连续,证明 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. . 由此计算由此计算 02cos1sin
7、dxxxx. . 高等数学(上)高等数学(上) 0)sin()( dttft 0)(sin)(dttft 0)(sindxxxf证证tx 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sin2dxxx 02cos1sindxxxx故故 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x 42 高等数学(上)高等数学(上)例例10 设设 011011)(xexxxfx求求 20) 1(dxxf解解 令令 x 1 = t11)(dttf所以所以 20)1(dxxf 高等数学(上)高等数学(上)100111xdxedxx1001)1ln(1lnxeexx)1ln(11 e 高
8、等数学(上)高等数学(上)思考:思考:指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误,并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 高等数学(上)高等数学(上))(max1 ,0 xfMx 4)(10Mdxxf ,babadxxfabf)()(4)(2 高等数学(上)高等数学(上))()(max:, fxfMbax 设设解解 bbabaabadxxfdxxfdxxf22)()()()()()(,2,1axfafxfbaax axMaxfxf )()(1 )()()(,22bxfbfxfbbax bxMbxfxf )()(2 高等数学(上)高等数学(上)于于是是 bbabaabadxxfdxxfdxxf22)()()(dxbxMdxaxMbbabaa 22dxxbMdxaxMbbabaa)()(22 22222)(4)()(2abMxbaxMbbabaa .命题得证命题得证 高等数学(上)高等数学(上)).()(2)()(10202xfdxxfdxxfxxxf )
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