高等数学课件：5-4 定积分的换元法a

1、 高等数学（上）高等数学（上）第四节第四节 定积分的换元法定积分的换元法定理定理 假设假设 在区间在区间 上连续，上连续， 满足满足)(xf ba,)(tx 2） 在在 （或（或 ）上具有连续导数，）上具有连续导数，)(t , ,则有则有dtttfdxxfba )()()()(tx 1） ， ；且当；且当 从从 变到变到 时时, ,对应的对应的 从从 单调增加地变到单调增加地变到 ; ;a )( b )( txab 高等数学（上）高等数学（上）证证 设设 )(xF 是是 )(xf 的的一一个个原原函函数数， )()()(aFbFdxxfba 令令 ，则，则)()(tFt )()(ttf 所以所

2、以)(t 是是)()(ttf 的一个原函数的一个原函数 . . )()()(ttFt)()()()( dtttf因而因而 高等数学（上）高等数学（上）)()( FF )()(aFbF dxxfba )(t 高等数学（上）高等数学（上）例例1 . . 10231dxxx令令txsin令令tucos0122)1(duuu01353151 uu152 2023cossintdttttdtcoscos)cos1 (2202同第二类换元法同第二类换元法同第一类换元法同第一类换元法 高等数学（上）高等数学（上）例例2 . 40122dxxx令令12 xt 312221dtt31333121 tt322 3

3、12321dtt 高等数学（上）高等数学（上）.sinsin053 dxxx例例3 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 高等数学（上）高等数学（上）24cos120dxx例例 5 当当 )(xf 在在 ,aa 上上连连续续，且且有有 1) )(xf 为为偶偶函函数数，则则 aaadxxfdxxf0)(2)(； 2) )(xf 为为奇奇函函数数，则则 aadxxf0)(。 高等数学（上）高等数学（上）证证 aaaadxxfdxxfdxxf00)

4、()()( 0)(adttf adttf0)( 0)(adxxf因为因为tx 高等数学（上）高等数学（上）所以所以 aaaadxxfdttfdxxf00)()()( aadxxfdxxf00)()( adxxfxf0)()(故故1）若若 为偶，则为偶，则)(xf aaadxxfdxxf0)(2)(2）若若 为奇，则为奇，则)(xf aadxxf0)( 高等数学（上）高等数学（上）1132cos2xdxexx22)()(dxxfxfaadxxx11ln0 高等数学（上）高等数学（上）奇函数奇函数例例6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211c

5、osdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 高等数学（上）高等数学（上）证证 Taadxxf)( TaTTadxxfdxxfdxxf)()()(00因为因为 TaTdxxf)(Tux aduTuf0)( aduuf0)( 0)(aduuf所以所以（1）式成立式成立. .例例7 证明：若证明：若 是以是以 为周期的函数，则为周期的函数，则)( xfT TTaadxxfdxxf0)()(（1） 高等数学（上）高等数学（上）20cossindxxx20)4sin(2dxxtx4令424sin2dtt

6、0sin22tdt24ndxx0cos2n 高等数学（上）高等数学（上）证证变回自己区间的变换变回自己区间的变换:tbax 高等数学（上）高等数学（上）20cossinsindxxxxI 2200)(cos)(sindxxfdxxf; 证证 令令 ，则，则 tx 2 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf 1 , 04 高等数学（上）高等数学（上）414cossinsin203dxxxx4tan120 xdx例例 9 若若)(xf连续，证明连续，证明 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. . 由此计算由此计算 02cos1sin

7、dxxxx. . 高等数学（上）高等数学（上） 0)sin()( dttft 0)(sin)(dttft 0)(sindxxxf证证tx 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sin2dxxx 02cos1sindxxxx故故 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x 42 高等数学（上）高等数学（上）例例10 设设 011011)(xexxxfx求求 20) 1(dxxf解解 令令 x 1 = t11)(dttf所以所以 20)1(dxxf 高等数学（上）高等数学（上）100111xdxedxx1001)1ln(1lnxeexx)1ln(11 e 高

8、等数学（上）高等数学（上）思考：思考：指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 高等数学（上）高等数学（上）)(max1 ,0 xfMx 4)(10Mdxxf ,babadxxfabf)()(4)(2 高等数学（上）高等数学（上）)()(max:, fxfMbax 设设解解 bbabaabadxxfdxxfdxxf22)()()()()()(,2,1axfafxfbaax axMaxfxf )()(1 )()()(,22bxfbfxfbbax bxMbxfxf )()(2 高等数学（上）高等数学（上）于于是是 bbabaabadxxfdxxfdxxf22)()()(dxbxMdxaxMbbabaa 22dxxbMdxaxMbbabaa)()(22 22222)(4)()(2abMxbaxMbbabaa .命题得证命题得证 高等数学（上）高等数学（上）).()(2)()(10202xfdxxfdxxfxxxf )