概率与统计34随机变量的函数ppt课件

1、随机变量的函数随机变量的函数3.4 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 问题的由来问题的由来 很多实际问题中需要研究以随机变量为自很多实际问题中需要研究以随机变量为自变量的函数变量的函数. 普通，假设普通，假设(X1 , X2 , Xn)是已知联合分是已知联合分布的布的n维随机变量，那么维随机变量，那么),(21nXXXhY 仍是随机变量，其中仍是随机变量，其中随机变量的函数随机变量的函数.),(21元元连连续续函函数数是是nxxxhn问题问题如何确定随机变量如何确定随机变量Y的分布？的分布？ 基本思路基本思路 希望通过希望通过(X1 ,X2 ,Xn)的已的已知分布去确定知分布去确定

2、Y 的分布的分布.例例3.4.1例例3.4.2一一. .离散型随机变量的函数及其分布律离散型随机变量的函数及其分布律,.2 , 1, ipxXPii 离散型随机变量离散型随机变量X 的分布律为的分布律为随机变量的函数随机变量的函数Y =g( X ) 是随机变量是随机变量, 那么那么 ()jjP YyP g Xy )(jiijyxgxS 其其中中,.2 , 1, jxXPjiSxi满足满足 g( xi ) =yj 的全体的全体 xi 构成构成的集合的集合随机变量的函数随机变量的函数Z =G( X ,Y ) 是随机变量是随机变量, 那么那么),(kkzYXGPzZP ),(),(kjikzyxGy

3、xT 其其中中,.2 , 1,),( kyYxXPkjiTyxji例例 3.4.3二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为的联合分布律为,.2 , 1, ipyYxXPijji随机变量的函数随机变量的函数 定理定理3.4.1 设随机变量设随机变量(X , Y )是离散型随机变是离散型随机变量量, X , Y相互独立相互独立,其分布律分别为其分布律分别为,.2 , 1 , 0)( kkpkXP,.2 , 1 , 0)( rrqrYP则则X+Y 的分布律为的分布律为例例3.4.4 ,.2 , 1 ,)()(0 mkmqkpmYXPmk离散卷离散卷积公式积公式随机变量的函数

4、随机变量的函数结论结论 若若X1, X2 ,Xn相互独立相互独立,且且Xi B(1, p)那么那么 X1+ X2+.+ Xn B(n, p) 反之若反之若 X B(n, p) , X B(n, p) , 则存在相互独立则存在相互独立的的Xi B(1, p)Xi B(1, p)，使，使 X =X1+ X2+.+ X =X1+ X2+.+ XnXn普通普通 1随机变量随机变量X1，X2， ,X n相互独立；相互独立；2具有相同类型的分布；具有相同类型的分布； 假设假设 nkkXY1随机变量的函数随机变量的函数 二项分布具有可加性二项分布具有可加性 泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性的分布除参数变

5、化的分布除参数变化, ,而分布类型不变而分布类型不变, ,称分布称分布具有可加性具有可加性. .教材教材P84页例页例3.4.3随机变量的函数随机变量的函数 )()()()(yxgxXYdxxfyXgPyF ., 0;)(),()(其其他他的的连连续续点点yfxFyfYYY二、连续型随机变量的函数及其概率密度二、连续型随机变量的函数及其概率密度 1. 1. 设设X X 是连续型随机变量是连续型随机变量, ,若若Y= g(X)Y= g(X)也是也是连续型随机变量，那么连续型随机变量，那么例例3.4.53.4.5例例3.4.63.4.6随机变量的函数随机变量的函数总结总结 从分布函数定义出发从分布

6、函数定义出发FY (y) = PYy = P g(X)y 求解的关键求解的关键 解决问题解决问题的出发点的出发点将将g(X)y 转换为关于转换为关于 X 的不等式的不等式 当当g(x) 为单调递增函数为单调递增函数时时yx= g 1(y) g(X)y = Xg 1(y) 从而从而 FY (y) = FX g 1(y) 随机变量的函数随机变量的函数当当 g(x) 为单调递减函数为单调递减函数 g(X)y = Xg 1(y) 有有 FY (y) = 1FX g 1(y) 2. 2.求二维连续型随机变量求二维连续型随机变量(X , Y) (X , Y) 的函的函数数Z = G (X , Y )Z =

7、 G (X , Y )的概率密度的概率密度 fz ( z ) fz ( z )，一般方法一般方法1先求出先求出 Z 的分布函数的分布函数 FZ ( Z )；随机变量的函数随机变量的函数2对对FZ ( Z )微分得到微分得到 fz ( z )；FZ (z) = P Zz = P G( X, Y )z ),(: ),(),(zyxGyxdxdyyxf例例3.4.73.4.7例例3.4.83.4.8三三. .几种特殊函数的分布几种特殊函数的分布1.M = max (X,Y)， N = min (X ,Y)随机变量的函数随机变量的函数),max()(zYXPzFM ),(,zzFzYzXP 假设假设

8、X X 与与 Y Y 相互独立相互独立, ,有有)()()(zFzFzFYXM 又若又若 X X 与与 Y Y 有相同分布有相同分布2)()(zFzFM 从而从而)()(2)(zfzFzfM 随机变量的函数随机变量的函数),min()(zYzXPzYXPzFN 或或,zYzXPzYPzXP 思索思索 已推得已推得假设假设 X X 与与Y Y 相互独立且具有相同分布相互独立且具有相同分布 )(zfN见教材见教材P88页例页例3.4.9 ，随机系统的串并联，随机系统的串并联.)()(1 2zfzF 随机变量的函数随机变量的函数2.Z = X + Y 的分布的分布 设随机变量设随机变量(X,Y)(X

9、,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)f(x,y)(zYXPzFZ dxdyyxfzyx ),(dydxyxfyz ),(x+y = zxyo做积分变量变换做积分变量变换, ,令令 x = uy随机变量的函数随机变量的函数dyduyyufz ),( zdudyyyuf),(dydxyxfzFyzZ ),()(x = uy由连续型随机变量定义由连续型随机变量定义duufzFzzZ )()(得到公式得到公式dyyyzfzfz ),()(随机变量的函数随机变量的函数类似可得类似可得 )(zfzdxxzxf ),(若随机变量若随机变量X, Y 相互独立，那么相互独立，那么 )(zfzdyy

10、fyzfYX)()( )(zfzdxxzfxfYX)()( 卷积卷积公式公式 例例 3.4.93.4.9正态分布的可加性正态分布的可加性见例见例3.4.11随机变量的函数随机变量的函数解题步骤：解题步骤： 1在在 XOZ平面上作出平面上作出 f (x , zx) 的非的非零区域零区域 G；2从区域从区域 G 中确定中确定 f z ( z )非零区间非零区间; 3在在f z ( z )非零区间内，逐段确定非零区间内，逐段确定f z ( z )的表达式；的表达式；4写出写出 f z ( z )的完整表达式的完整表达式. 例例 3.4.10随机变量的函数随机变量的函数3.Z = X /Y 的分布的分

11、布 设随机变量设随机变量(X, Y)(X, Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)f(x,y) zYXPzZF /xyozyx dyyyzfyzfz ),()(证证 . 0,; 0,/yyzxyyzxzyx dxdyzyxyxf /,随机变量的函数随机变量的函数做积分变量变换做积分变量变换, ,令令 x = yu , x = yu ,有有 例例 3.4.11dydxyxfdydxyxfzFzyzyZ 00),(),()(dyyyzfyxfz ),()( . 0,; 0,/yyzxyyzxzyxxyozyx 随机变量的函数随机变量的函数 问题问题1 炮击某一目标炮击某一目标O , 已知

12、弹着点已知弹着点(X ,Y )服从二维正态分布服从二维正态分布. 点点( X ,Y ) 与目标与目标O 的距离的距离 22YXZ 服从什么分布服从什么分布? 问题问题2 由统计物理学由统计物理学,气体分子运动速率服气体分子运动速率服从马克斯维尔分布从马克斯维尔分布. . 0, 0;0, 0,)(22324xxexfxx分子运动动能分子运动动能 服从什么分布服从什么分布? ?221mv 随机变量的函数随机变量的函数例例3.4.1 设随机变量设随机变量 X 具有分布律具有分布律求求: Y = 2X 以及以及 Z = sin X 的分布律。的分布律。 解解. 首先由首先由 X 的可能取值确定的可能取

13、值确定 Y 及及 Z 的取的取值值:Y = 2XXZ = sin X1 0 1 0随机变量的函数随机变量的函数得到随机变量函数得到随机变量函数 Y 及及 Z 的分布律为的分布律为:Y PY = yj Z 1 0 1PZ = zk 随机变量的函数随机变量的函数 例例3.4.2 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 具有分布具有分布函数函数FX(x)，试求，试求Y=X2 的分布函数的分布函数.)(2yXPyYPyFY yXyP )()0(yFyFXX 随机变量的函数随机变量的函数 例例3.4.3 设设(X ,Y)的联合分布律为的联合分布律为X Y0103/103/101 13/101/10 试求试

14、求 1) sin X, 2) X +Y, 3) XY, 4) Max (X,Y)的分布律的分布律.解解:由由(X ,Y)的分布律得的分布律得随机变量的函数随机变量的函数 P3/103/103/101/10(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1) X01sin X0 sin1X+Y0112 XY0001Max (X,Y)0111随机变量的函数随机变量的函数sinX0sin1P0.60.4X+Y012P0.30.60.1XY01P0.90.1Max (X,Y)01P0.30.7随机变量的函数随机变量的函数 例例3.4.4 设设X ,Y相互独立相互独立,且且XB(n1, p) , YB(n

15、2, p) 那么那么 ),.,1 , 0(,)1 (111nkppCkXPknkkn 证证),.,1 , 0(,)1(222nrppCrYPrnrrn mkkmnkmkmnknkknppCppC02211)1 ()1 (X+YB(n1+ n2 , p) mkkmqkpmYXP0)()(随机变量的函数随机变量的函数),.1 , 0(,)1 (212121nnmCppmnnmnnm 二项分布具有可加性二项分布具有可加性 mkkmnknmnnmCCpp02121)1 (求和为求和为mnnC21 mkkmnkmkmnknkknppCppC02211)1()1(随机变量的函数随机变量的函数例例3.4.5

16、 设设XN(0, 1) , 求求Y=X2 的概率密度的概率密度解解, 0)(, 02 yXPyFyY当当,)(, 02yXyPyXPyFyY 当当y yy=x2随机变量的函数随机变量的函数)()(yFyfYY yydxex2221 yXyP )()(22)(22)(21 yeyeyy22121yey . 0,;0,)(22121yoyeyyfyY称称Y 服从自由服从自由度为度为1的的2分布分布随机变量的函数随机变量的函数 例例3.4.6 已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度为连续的概率密度为连续函数函数 fX (x) , 求求: Y = a X+ b (a0) 的概率密的概率密度度 fY

17、( y)。 解解 当当a0 时时,)(ybaXPyFY 当当a0 时时,)(ybaXPyFY 对对 y 求导得到求导得到)(abyFabyXPX )(1abyFabyXPX 随机变量的函数随机变量的函数)(1)()(abyXfayFyfYY 特别当特别当 XN(, 2), 则则X的线性函数的线性函数Y = a X+ b (a0) 服从正态分布服从正态分布 N(a +b, a 2 2).)(1)(abyXYfayf 222)(21 abyea证证随机变量的函数随机变量的函数Rxeaabay ,212222)(222)(21 abyea即即Y N(a +b, a 2 2).特别特别 XYba则则取

18、取,1标准化标准化变换变换随机变量的函数随机变量的函数 有有Y 服从标准正态分布服从标准正态分布 N(0, 1)，其概率密，其概率密度为度为结论结论: 正态分布的线性函数仍然正态分布的线性函数仍然 服从正态分布服从正态分布; Rxexx ,21)(22 随机变量的函数随机变量的函数 例例3.4.7 设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为令令Y=X2, F(x, y)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的联合的联合分布函数分布函数.() 求求Y 的概率密度的概率密度fY(y);() 1,10;21( ),02;40,Xxfxx 其其他他。)4 ,21( F随机变量的函数随机变量的函数

19、分析分析 该题本质上是求一个随机变量的函数该题本质上是求一个随机变量的函数分布和概率计算问题。分布和概率计算问题。解解 （I） 设设X的分布函数为的分布函数为 yXyP 1当当 y0, FY(y)=0;2当当 0y1, )(2yXPyYPyFY 00113( )244yYyFydxdxy 141随机变量的函数随机变量的函数3当当 1y4, 4当当 4y, FY(y)=1;3,01;81( )( ),14;80,.YYyyfyFyyy 其其他他最后最后0101111( )2442yYFydxdxy 随机变量的函数随机变量的函数（II） )4 ,21( F211,4,422P XYP XX 11,

20、 22 222P XXPX 2114121dx随机变量的函数随机变量的函数 例例3.4.8 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y )的联合概率密度的联合概率密度为为: ., 0;0,2),()2(其其它它yxeyxfyx求随机变量求随机变量Z=X+2Y的分布函数和概率密度的分布函数和概率密度.解解 FZ(z)=PZz = PX+2Yz zyxdxdyyxf2),(f(x,y)的的非零区域非零区域xyx+2y=z随机变量的函数随机变量的函数xyx+2y=zf(x,y)的的非非0区域区域 ;0, 0z. 0,200)2(2 zdxdyezyxxz . 0,1; 0. 0zzeezzz . 0,;0, 0)()(zzezzFzfzZZ zyxdxdyyxf2),(随机变量的函数随机变量的函数 例例3.4.9 设随机变量设随机变量X, Y 相互独立相互独立,均服从区均服从区间间(0，1) 上的均匀分