08建筑与几何学(三)(新第八讲)_981005573

1、 建筑数学建筑数学第八讲第八讲拓扑几何是与平面几何、立体几何等其他类型几何学研究截然不同的几何门类。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。而拓扑几何研究的过程却并不用知道棱长及定量关系、不用计算面积、体积，也没有复杂的计算公式，事实上，拓扑几何对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数拓扑几何对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关量关系都无关。它思考问题的基本出发点是:仅需考虑点和线的个数，仅需考虑点和线的个数，以及相互顺序关系以及相互顺序关系。在拓扑学中没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可改变，因此，拓扑几何

2、也叫橡皮几何，拓扑几何也叫橡皮几何，本课主要内容包括橡皮几何与拓扑变换、莫比乌斯带、以及与拓扑理念相关的建筑设计案例等。橡皮几何与拓扑变换橡皮几何、拓扑同构、拓扑变换 以色列的一位城市规划学者在清华建筑学院做讲座，说到老北京的街道都是南北正交，而中东的城市街道弯曲。两者的街道形态在拓扑上“同构”的，每一个交叉口都是两条街道相交。 一个几何图形任意“拉扯”（就像画在橡皮上），只要不发生割裂和粘接，可做任意变形，称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑同构” 。 拓扑几何研究几何图形在一对一连续变换中不变的性质。不考虑几何图形的尺寸、面积、体积等度量性质和具体

3、形状。 北大方正的王选就是研究汉字的拓扑结构，找到了表达和识别汉字的一种优化方法，发明了激光照排系统。 上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构 在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外”的区分不变，边线上点的顺序不变。 上述四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线 在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。 欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同，前者与球同构，后者与轮胎同构。球和立方体同构，与轮胎不同构。 放射形街道方格形街道上述两张图片是否可以通过拓扑变换互相转化？在拓扑学中，两个流

4、形，如果可以通过弯曲、延展、变形等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是拓扑同胚拓扑同胚的（简称同胚）。如：圆和正方形是同胚的，而球面和环面就不是同胚的。? 上堂课曾提到，对于柏拉图多面体有:2FEVV：顶点数；F：面数；E：棱边数 欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个闭的多面体，那么 这里 h 是环柄个数（也叫亏格数）2(1-h) 称为欧拉数)1 (2hFEV右图上下对应图形为拓扑同胚造型，自左到右各组造型的环柄数分别为 1, 2, 3 头颅拓扑比较，看动物的进化。 封闭围线构成一个封闭图形，如何判别“里”与“外”呢？在图形的“外”部确定一点，这容易判定，只要它离图形足够远。从这一点出

5、发到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“里”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“外”。当然首选的出发点在“里”，从此点到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“外”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“里”。 判定方法也可简述为： 从外到里，从里到外的路径与边界交奇数次；从外到外，从里到里的路径与边界交偶数次。路径可以是曲折的，也可以穿过边界进进出出。 对于建筑而言，房屋就是封闭图形（体），人流流线就是“路径”，墙是“边界”，墙上的门就是“交点”。上图a.b.c.d四点在曲线内部还是外部？解上述不等式得：i） n=3时，

6、m=3、4、5ii） n=4时，m=3iii) n=5时，m=3若以 表示这个正多面体，则（3，3）正四面体 、（3、4）正八面体 、（3、5）正二十面体（4、3）正六面体 、（5、3）正十二面体平行投影锥形投影拓扑变换如果用拓扑几何方法证明，首先可以把立体几何问题转化为平面几何问题 正4-面体正8-面体正6-面体正12-面体正20-面体拓扑证明：顶点数 V、棱数 E 和面数 F 的性质都可以由每个面上的边（棱）的数目 p 和每个顶点出发的棱的数目 q 给出。由于每条棱有两个顶点又在两个面上，因此： 另一个关系是欧拉公式: 综合上面等式，得到：于是由于 ， 因此：注意到 p 和 q 必须大于等

7、于 3，我们可以容易地找到所有五组 (p, q)：高校教材中国建筑史第五版 P229 “拓扑同构图” 高校教材中国建筑史第五版 P228 “四、同构关系与自然秩序” 门厅佣人房厨房餐厅客厅书房卧室卧室卧室WCWCWC功能分析图 莱特设计的三个住宅的平面是拓扑同构的。参见建筑设计与人文科学 学生设计课程过程所做的功能模式分析中的拓扑变换.莫比乌斯带与克莱因瓶莫比乌斯带、克莱因瓶 莫比乌斯（ Augustus F. Mbius ， 17901868）德国数学家、天文学家 将一个长方形纸条的一端固定，另一端扭转半周后，把两端粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比乌斯带。 用一种颜色，在纸圈上面涂抹，画笔没

8、有越过纸边，却把整个纸圈涂抹成一种颜色，不留下任何空白。或，一个蚂蚁不越出纸边，就可以爬过纸面所有表面。 莫比乌斯带 Mbius Strip莫比乌斯带 Mbius Strip试验：在裁好的一条纸带正中间画两条线（三等分带子宽度，正反两面都画上线），粘成莫比乌斯带，然后沿线剪开，结果又会怎样？沿着线剪的时候，要不要剪完一条线，再剪另一条线？ 特性总结：（1）莫比乌斯带只存在一个面。（2）如果沿着莫比乌斯带的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯带空间大一倍的、具有正反两个面的环。（3）如果再沿着环的中间剪开，将会形成两个具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的。 马清运设计的莫比乌斯造型雕

9、塑扎哈设计的莫比乌斯造型雕塑莫比乌斯的其他应用 美国著名轮胎公司百路驰把传送带制成莫比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了近一倍。 针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成莫比乌斯圈。还有莫比乌斯电阻不会产生电磁感应现象、莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。厂商Power Architecture的商标就是一条莫比乌斯圈，还有Aramov公司的商标，甚至垃圾回收标志也是由莫比乌斯圈变化而来。 莫比乌斯带的建筑造型概念北京设计院：北

10、京凤凰传媒中心扭结三叶结 旋转三个半圈的莫比乌斯带再剪开后会形成一个三叶结。三叶结形态的应用埃舍尔创作的三叶结国家科技馆的三叶结雕塑扭结三叶结斯图加特梅塞德斯奔驰-博物馆，UN Studio， 2000 斯图加特梅塞德斯奔驰-博物馆，UN Studio， 2000 三叶结形态的应用斯图加特梅塞德斯奔驰-博物馆，UN Studio， 2000 克莱因瓶Klein Bottle 三维空间中的克莱因瓶，没有“内部”和“外部”之分。由德国数学家菲利克斯克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构是，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这

11、个物体没有“边”，它的表面不会终结。一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去。克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面， 把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，得到两个莫比乌斯带。 克莱因瓶Klein Bottle把克莱因瓶投影到平面上，是和中国阴阳图同构的。复杂的克莱因瓶克莱因瓶Klein BottleThe Lawson-Klein bottle克莱因瓶Klein BottleThe 8-Klein bottle克莱因瓶Klein Bottle克莱因瓶Klein Bottle七桥、四色问题与突变理论七桥问题与一笔画判定、四色问题与地图染色突变理论与拓扑模型 哥尼斯堡七

12、桥问题哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡城，城中有一座岛，普雷格尔河的两条支流环绕其旁，并将整个城市分成北区、东区、南区和岛区4个区域，全城共有7座桥将4个城区连接起来，如左图所示。问题是，一个人是否能在一次步行中穿越全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次。 哥尼斯堡七桥问题 1736年，当人们将这一问题向欧拉请教时，欧拉用A、B、C、D表示4个城区，用7条线表示7座桥，将哥尼斯堡七桥问题抽象为一个图的模型，如右图所示，求经过图中每条边一次且仅一次的回路（欧拉回路），欧拉论证了在哥尼斯堡七桥问题中，这样的回路不存在。 拓扑同构下减少地下管线的交叉。上图：水、气、电供2个建筑，下图供3个建筑。哥尼斯

13、堡七桥问题的应用 哥尼斯堡七桥问题 后来欧拉将这一问题进行了一般化处理：对于任意多的节点和任意多的连线，给出了是否存在欧拉回路的判定规则：（1）如果连接奇数条线的节点多于两个，则不存在欧拉回路；（2）如果连接奇数条线的节点只有两个，可以从其中之一出发，到另一节点结束，找到欧拉回路；（3）如果没有一个节点连接奇数条线，则无论从哪里出发，都能找到欧拉回路。 一个线状图能一笔画的充分必要条件是：没有奇点或者只有两个奇一个线状图能一笔画的充分必要条件是：没有奇点或者只有两个奇点。点。 一笔画判定 一笔画判定 一笔画判定 1852年，英国的一个大学生格思里（ Francis Guthrie ）在一家科研

14、单位搞地图着色时，发现了一种有趣的现象：“任何一张地图只用四种颜色就能任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 四色定理。 此后一百多年，四色问题仍未解决。1969年，赫切（Heinrich Heesch）发表了一个用计算机解决此问题的方法。直到1976年，美国伊利诺斯大学的阿佩尔(Appel)和哈肯(Haken)在电子计算机上，用了用了1200个小时，个小时，作了作了100亿判断亿判断，完成了四色定理的证明，轰动了世界。 四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证。最终，人

15、们必须对电脑编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。主要是因为此证明缺乏数学应有的规范，以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗而这纯粹是一本电话簿！”四色定理 虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的。四色定理 两色填充条件单线轮廓三色填充的一般情况四色填充简化模型 突变论 catastrophe theory 在自然界和人类社会活动中，除了渐变的和连续

16、光滑的变化现象外，还存在着大量的突然变化的现象，如水的沸腾、地层的断裂，火山的喷发、桥梁的崩塌、细胞的分裂、生物的变异、人的休克、情绪的波动、战争、市场变化、经济危机等等。 突变论用形象而精确的数学模型（拓扑模型）来描述和预测事物的连续性中断的突变过程。突变论是20世纪60年代末法国数学家托姆法国数学家托姆提出来的。1967年托姆发表形态发生动力学一文，阐述突变论的基本思想，1968年发表生物学中的拓扑模型，用拓扑模型拓扑模型的形式表述了生物细胞分裂中的各种情况，为突变论奠定了基础。 突变论 catastrophe theory 更为形象地解释这一理论：假想有一只玻璃瓶放在桌面上， 它处在一个

17、稳定的状态，没有任何变化，此为稳定平衡（Stable Equilibrium），用手指轻推瓶颈，不要太用力。这时变化产生，玻璃瓶晃动起来，它在通过一种连续性的方式来吸收变化， 此为不稳定平衡（Unstable Equilibrium）。如果停止推力，玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。然而，如果继续用力推下去，在推力达到一定程度的时候，玻璃瓶便会倒下， 由此又进入了一种新的稳定平衡状态。玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变， 一个非连续性的变化就这样产生了：在玻璃瓶下跌的过程中，没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌面上为止。 再比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是

18、结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来，这种结构不稳定性就是突变。 托姆详细研究了各种突变现象以后，用数学拓扑模型进行了描述和分类。他证明并得出结论，在控制空间不超过四维的情况下，尽管突变现象形形色色，但总可以归纳为：折叠、尖点、燕尾、蝴蝶、椭圆型脐点、双曲型脐点、抛物型脐点等七种基本类型七种基本类型，其中每一种都有其基本特征。这样，他在奇点理论的基础上，以结构稳定这一拓扑学命题为基本概念。1972年，托姆出版了结构稳定性和形态发生学一书，建立了突变理论。突变理论。突变论 catastrophe theory 尖点型突变蝴蝶型突变

19、 狗咬人是一种进攻行为，这种进攻行为受两个互相矛盾的倾向所约束：发怒或恐惧。这两种因素在某种程度上可以测量出来，而这两种行为之间的转变是一种不连续的变化。一只狗的发怒情况和张嘴、露齿的程度有关，而恐惧程度则可以由它的耳朵向后拉平程度反映出来。把这两种行为和数学模型结合起来，就可计算出狗是进攻还是逃跑。 用“突变论”一词在百度上搜索，可以看到突变论的广泛应用：突变论在经济预警中的应用浅析突变论对心理学的影响试探周易与突变论突变论关于汉字起源方式的探索突变论在预防硫化矿自燃中的应用研究 基于突变论的林火蔓延分析突变视域下的企业发展与管理人类大脑进化基因突变论：高智商缘于短下巴多目标突变论在城市用地

20、发展方向决策中的应用以抚顺市为例突变论 catastrophe theory 拓扑几何在建筑设计的应用莫比乌斯住宅、丹麦馆、哈萨克国立图书馆、奔驰博物馆 UN Studio将莫比乌斯环的概念发展成了一座建筑，位于阿姆斯特丹近郊的莫比乌斯住宅。建筑师以人在一天的活动、位移为主线，运用数字技术，将拓扑学中的莫比乌斯环作为建筑生成的概念。 左图描绘了夫妇两人如何一起生活、分开工作又如何相遇在共享空间。两个人运行自己的轨迹，有时汇合，有时甚至可能会互换角色。这个住宅混合了多种情况，将不同的行为置于一个环形结构之中，工作、家庭生活、独处都能在环形中找到自己的位置。材料（主要是玻璃和混凝土）相互依赖又转换位置，混凝土结构在内部成为家具而立面上的玻璃在内部成为了隔墙。 莫比乌斯住宅 UN Studio 在这幢住宅里，作为垂直交通的楼梯成为莫比乌斯环形成的核心，楼梯扭转了上下层的轴线，形成了全新的空间形式。莫比乌斯住宅 UN Studio 莫比乌斯住宅 UN StudioNM别墅 UN Studio 2007ICA 假日之家 UN Studio 2006凤凰传媒中心 北京院凤凰传媒中心 北京院71凤凰传媒中心 北京院 哈萨克斯坦新国家图书馆方案竞赛中，丹麦B