第一、二章函数、导数题

1、.填空题1 . 函数 y =的定义域是 ，1 一 x2 .设 f (x)= x，则 f (f (x)=.1 x3 .函数y=1+ln(x+2)的反函数是 .ln(1 n)4 . lim -=.In n32dy5 . y=x 2x +sinx5,贝. dx12n .6 .设 xn = 一十一十 +，则 lim xn =2! 3! (n 1)! f：1 -x ,| x|18 .设 y= sin J1 +x2 ,则 y =.9 .已知 y = -x,则 y(10) =。1 x10.曲线y=x+ln x在点(1, 1)处的切线方程为 .二.计算题1 .求极限lim2 .求 lim 切1 - 2xX 0

2、3.已知f (2) =5, f (2) =1 ,求极限lim5x-2f(x)ox 2 x -24.常数a, b取何值时,x21,ax b,2在x =1处连续且可导。115.求极限nmn -2-+十n2 n6.已知f(x)是周期为 5的连续函数，它在 x= 0的某邻域内满足关系式f(1+sinx)3 f (1 -sin x) = 8x +ot(x),其中a(x)是当xt 0时比x高阶的无穷小，且f (x)在x = 1处可导，求曲线 y = f (x)在点(6, f (6)处的切线方程。7 .证明：lim n.n =1n).：1 1 a8 .设 a 0 , x1 0 ,令 xn41 = (xn +

3、)(n =1 , 2,)，证明数列 xn 收敛，并求 lim xn .2xn5一.填空题1.函数y = 1户 的定义域是 .-1,1)2 .设 f (x)= x,则 f (f (x)=.1 x1 2xx-13 .函数y=1+ln(x+2)的反函数是 . y = e - 24. lim ln(1n)n - In n5. y =x3-2x2+sinx5,贝U dy = dx2.3x -4x cosx512n6.设 xn =+，则 limxn=. 12! 3! (n 1)!7.设 f(x)= L 21 -x2,|x|1-28.设 y= sin 41 +x2 ,则 y =xcos . 1 x29.已知

4、 y = x,则 y(10)1 x10!1J1(1 x)10.曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为.y = 2x - 1二.计算题1.求极限lim2 3n解：lim -nT 二二3nlim一25n 5nimT5=02.求 lim 汕-2x x0解：网x-2x二11 (-2x) x令t - -2xlim(1 t) t =e?J03.已知f=5f=1,求极限也5x -2f(x)lim25x -2f (x)5(x-2)-2(f(x)-f(2)-5-2f (2) =34.常数a,b取何值时，f (x) =x2 1,ax b,在x =1处连续且可导。f (x) = a b,解：f (1)

5、 =12 1 =2, f (1 -0) = imiq丁 f (x)在 x=1处连续，.a+b=2,又 f /(1) = fl(1) = a = f+(1) = 2,，a = 2, b =0.112n5.求极限nim 222-n - n 1. n 2n n无力人11,2,1n解：令xn =一 +下=1 + L ,于是有n 3n +1 Vn + 2 V n + n/因为112 3 - 3 n 11 2+n2 Xn ：二二-2-n .n2 nn n2 . 1n 1n 1.一2:二 xn22 . n2 n 2 . n2 1n 1n 11lim lim =-n :2.n2 n n2、n2 1 2所以，由

6、夹逼准则知limn :n+ 2 + n =1 .n2 2, n2 n 26.已知f(x)是周期为 5的连续函数，它在 x= 0的某邻域内满足关系式f(1+sinx)3 f (1 -sin x) = 8x +u(x),其中a(x)是当xt 0时比x高阶的无穷小，且f (x)在x = 1处可导，求曲线y = f (x)在点(6, f (6)处的切线方程。解：由连续性，有 lim f (1 sin x) -3f (1-sin x) =lim8x+Q(x)x.0即 f (1) 3f (1) =0,故 f (1) = 0因此 f (1) -limQf (1 u) - f (1)f (1 u)又呵f(1

7、sin x) -3f (1 - sin x)u8x ；：(x)即 limsin xf (1 sin x) 3 f (1 -sin x)sin x-sin xsin x8x +工区x也即 f (1) +3f (1) =8,故 f(1) = 2由函数的周期性，f(6)= f(1)=0,故所求切线方程为 y = 2(x6)7.证明：lim n n =1nT 二证：不难看出n/n 1 (n至2),令n/n =1+ an (an 0,n至2),则由二项展开式，得n =(1 +an)n =1 +nan +C；a2 + 十a： 1 +n(n1)a2,由此得 nn-1)a2 n -1 ,22-22-2即信0an0 ,xn收敛，并求limxn .1ax1 0 ,令xn由=(xn十一)(n =1 , 2,)，证明数列 2xn解：首先用单调收敛准则证明lim Xn存在.n ）二二利用数学归纳法证明Xn之Ji（n至2）,事实上，当 n = 1时，X1A0.当n = 2时,X2=1(X/-x1假设当n =卜时Xk之西0,则Xk 1 = Q (Xka = . a 0Xk从而由数学归纳法知(n -2)又由于冬Xn2(XnXn12(1a1a)-7(1 -) =1Xn2a所以Xn单调减少，于是由单调收敛准则知lim Xn存在，