第四版复变函数第二章

1、第二章第二章 解析函数解析函数 基本要求：基本要求： 1、掌握复变函数求导数；、掌握复变函数求导数； 2、掌握解析函数的判断及柯西、掌握解析函数的判断及柯西.黎曼方程。黎曼方程。 3、初等函数的定义及性质。、初等函数的定义及性质。、导数：、导数：1可可导导。在在存存在在，则则：称称如如果果内内定定义义在在区区域域定定义义：00000)()()(lim,)(zzfzzfzzfDzDzfwz z)z(f)zz(flimdzdw)z(fzzz 000001 解解 析析 函函 数数比比实实变变严严格格。的的方方式式是是任任意意的的注注意意：,z0 连连续续、处处处处不不可可导导：函函数数：例例连连续续

2、、处处处处导导数数存存在在：例例yixzfwzf2)(212 同同。同同，求求导导法法则则与与实实变变相相导导数数定定义义形形式式与与实实变变相相求求导导法法则则： )()()()(6)()()()()()()(5)()()()()()(4)()()()(3)(20)(121zgwzgwfzgfzgzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfnnzzcnn 、正正整整数数、解解析析函函数数2为为奇奇点点。不不解解析析在在00)(zzzf的的邻邻域域内内处处处处可可导导及及在在解解析析：在在点点000)()(zzzfzzfw 内内每每一一点点解解析析。在在内内解解析析：在在区

3、区域域DzfD)( )( ):( )( )( ),( )( ),( )f zg zf zf zg zf zg zg z定理：1） 如果，在区域D内解析，有在D内都解析。2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析，如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则复合函数w=fg(z)在D内解析点点外外，处处处处解解析析。的的分分母母不不为为（两两个个多多项项式式的的商商）除除有有理理分分式式整整个个复复平平面面上上解解析析。有有理理函函数数（多多项项式式）在在0)()()(10zQzPwzazaazPwnn 223 (1) ( )(2) ( )21(3) ( )(4) ( )f zzf z

4、xyif zzf zz例 、的解析性？数数的的解解析析点点。：由由定定义义或或定定理理判判断断函函目目标标1殊殊的的关关系系。而而且且它它们们之之间间还还要要有有特特部部必必须须可可导导，复复变变可可导导不不但但实实部部和和虚虚多多；复复变变可可导导比比实实变变严严格格的的xvyuyvxuyxzyxvyxuiyxziyxvyxuzf ,),(),(),(),(),()(黎黎曼曼方方程程：满满足足柯柯西西可可导导；在在点点：可可导导的的充充分分必必要要条条件件为为在在一一点点定定理理一一：2 函数解析的条件函数解析的条件yvxvyuxu -xvyuyvxuRCDDyxvyxuDiyxvyxuzf

5、 ,),(),(),(),()(方方程程）：内内（在在内内可可导导；在在为为：内内解解析析的的充充分分必必要要条条件件在在区区域域定定理理二二：yuiyvxvixu)z(f 给给出出了了求求导导公公式式。导导的的方方法法；提提供供了了判判断断函函数数是是否否可可yvxvyuxu -的的解解析析性性：例例)Re(,)(12zzzzzf yvxvyuxu -处处处处解解析析。可可使使：例例)(?,)()(22222zfdcbaydxycxibyaxyxzf 常常数数内内在在、例例 )(0)(3zfDzf互互相相正正交交。和和曲曲线线组组则则：为为解解析析函函数数，且且、如如果果：例例21),(),

6、(0)()(4cyxvcyxuzfivuzf 析析性性。黎黎曼曼方方程程判判断断函函数数的的解解：由由柯柯西西目目标标 2轴轴平平行行与与轴轴，平平行行与与两两曲曲线线正正交交。方方程程得得：利利用用任任一一条条曲曲线线斜斜率率为为：任任一一条条曲曲线线斜斜率率为为：，都都不不为为不不全全为为证证明明：xvvvkyuuukuvvuvvuukkRCvvkdxdycyxvuukdxdycyxuvuvuvuizfyyxxyxxyxyyxyxyxyxyyyyyy0000,01),(),(0,0,01)(21212211 析析关关系系图图连连续续、点点解解析析、区区域域解解内内解解析析在在D)z(f可可

7、导导在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f内内可可导导在在D)z(f连连续续在在0z)z(f高高层层中中层层低低层层3,2)66(1p第第二二章章习习题题：作作业业数数的的解解析析点点。：由由定定义义或或定定理理判判断断函函目目标标1析析性性。黎黎曼曼方方程程判判断断函函数数的的解解：由由柯柯西西目目标标 23 初初 等等 函函 数数合合运运算算得得到到一一般般函函数数。用用初初等等函函数数的的四四则则和和复复初初等等函函数数：实实变变函函数数中中有有五五个个基基本本xArcxxenxaxsin,sin,log,zsinArc, zsin,z ,Lnz,eaz初初等等函函数数：推推广广到到复

8、复数数域域，有有五五种种性质、解析性性质、解析性（周期）（周期）、指数函数：、指数函数：ze1;0)Im()()()(3)(xzzeezzfzfzfezf 时时有有在在复复平平面面内内处处处处解解析析；：个个条条件件为为满满足足定定义义)ysiniy(coseee)z(fxiyxz kyeArgeezxz2 辐辐角角：模模： ieeeeee)z(fzzzzzzz 202121周期性：周期为周期性：周期为满足加法定理：满足加法定理：处处解析处处解析 )(ez条条的性质：的性质： 4yeexzcos)Re( yeexzsin)Im( xzee （多多值值）、对对数数函函数数：zLn2 kizizz

9、iArgzzLnzLnwzew2arglnln 成成立立的的函函数数定定义义：使使212 ,kikzlnzLnzargzargizlnzln 多多值值对对数数函函数数：主主值值对对数数函函数数：x,y=meshgrid(-4:0.1:4);x,y=meshgrid(-4:0.1:4);u=log(sqrt(x.2+y.2);u=log(sqrt(x.2+y.2);surf(x,y,u)surf(x,y,u)iyxzU lnlnx,y=meshgrid(-4:0.1:4);x,y=meshgrid(-4:0.1:4);v=atan(y./xv=atan(y./x););surf(x,y,v)su

10、rf(x,y,v)(argxyarctgzV )(zLn条条的性质：的性质： 3 可可能能值值全全体体相相等等；解解析析，除除原原点点和和负负实实轴轴外外处处处处解解析析性性：整整数数倍倍；两两个个相相差差有有无无穷穷多多个个对对数数，任任意意多多值值性性： 212121212)()(21212LnzLnzzzLnLnzLnzzzLnLnzzLnLnzLnzzLnzi 前一个 不等式正确，后一个错误及及其其主主值值和和：求求例例)1(22 LnLn的的拓拓广广复复数数的的对对数数是是实实数数对对数数多多个个分分支支正正实实数数的的对对数数也也有有无无穷穷 zLnzeeLnzezzz1,3 的的

11、值值。：求求目目标标的全部解。的全部解。：求：求例例011 zebbza 、乘乘幂幂与与幂幂函函数数：3穷穷多多值值）（单单值值、有有限限个个值值、无无多值函数多值函数ikbabbLnabeeea 2lnnbaab特殊：特殊：为单值为单值为整数为整数)1(nbananmb特特殊殊：个个值值为为为为分分数数 )2(为无穷多个值为无穷多个值为一般复数为一般复数bab)3(ba乘乘幂幂：的的多多值值性性。的的多多值值性性取取决决于于所所以以：ikbbikbzbbLnzbezeeezzf 22ln)( bz幂幂函函数数： ；解解析析，除除原原点点和和负负实实轴轴外外处处处处个个分分支支多多值值函函数数

12、，有有为为有有理理数数；解解析析，为为整整数数，为为单单值值，处处处处nnnnnznznnmbbnzzb 1111, 1 bbbbzzzb解解析析，除除原原点点和和负负实实轴轴外外处处处处有有无无穷穷多多个个分分支支，为为一一般般数数， 1,4 bbbbbzzza的的值值。：求求目目标标iiii;1;)1(;)1(32322 ：求求例例的的解解析析性性：分分析析例例144,:4 izzz zLnzeeLnzezzz1,3 的的值值。：求求目目标标 1,4 bbbbbzzza的的值值。：求求目目标标18,15)68(2p第第二二章章习习题题：作作业业)(4周周期期：、三三角角函函数数和和双双曲曲

13、函函数数（奇函数）（奇函数）（偶函数）（偶函数）ieezsineezcosiziziziz22 三角函数：三角函数：（奇奇函函数数）（偶偶函函数数）22zzzzeeshzeechz 双曲函数：双曲函数：xchyzsin)Re(sin xshyzcos)Im(sin xchyzcos)Re(cos xshyzsin)Im(cos 不不成成立立但但；一一些些三三角角公公式式仍仍然然成成立立欧欧拉拉公公式式仍仍然然成成立立；在在复复平平面面内内处处处处解解析析；的的周周期期函函数数；周周期期为为1cos&1sin, 1cossin)sin(, )cos(sincossincos,cossin

14、2222121 zzzzzzzzzizezzzziz 有有本本质质的的差差异异有有相相同同的的基基本本性性质质，但但与与解解释释当当：zxzeeeeziyzyyyiyiiyisinsincoslim22cos)()( )5( 条条三三角角函函数数性性质质： ysinichxycosshxshzysinishxycoschxchzshzchz,chzshzi 和和三三角角函函数数关关系系：在在复复平平面面内内处处处处解解析析；的的周周期期函函数数；周周期期为为 2)3( 条条双双曲曲函函数数性性质质：的的方方程程。：解解含含有有目目标标chzshzzz,cos,sin500sin5 shzz：解

15、方程：解方程：例例点在实轴上点在实轴上02002sin kzkzzeeeeieeziziziziziziz 点点在在虚虚轴轴上上00022ikzeeeeeeeshzikzzzzzzz )(5多多值值数数：、反反三三角角函函数数和和双双曲曲函函zcosArcwwcosz 则：则：反三角函数定义：反三角函数定义：izizLnitgzArc)zz(iLnzcosArc)ziz(iLnzsinArc 1121122)1(11)(012)(21cos622222 zziLnwzzezzezeeeeewziwiwiwwiiwiwiw的二次方程：的二次方程：得到关于得到关于：反函数的求法：反函数的求法：例例

16、zzLnArthz)zz(LnArchz)zz(LnArshz 11211122Arshzwshwz 则：则：反双曲函数定义：反双曲函数定义：和和负负实实轴轴外外处处处处解解析析。反反函函数数的的性性质质：除除原原点点21,12)6867(3p第第二二章章习习题题：作作业业的的方方程程。：解解含含有有目目标标chzshzzz,cos,sin5小结小结第二章第二章一一、导导数数与与解解析析：、导数定义：、导数定义：1z)z(f)zz(flim)z(fz 0000是是各各个个方方向向。注注意意：0 z、解析定义：、解析定义：2邻邻域域内内可可导导。及及解解析析：在在在在000zzz关关系系：、连连

17、续续、可可导导、解解析析的的3内内解解析析在在 D)z(f可可导导在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f内内可可导导在在 D)z(f连连续续在在0z)z(f高高层层中中层层低低层层种种）：法法（、可可导导、解解析析的的判判断断方方24直接判断法：直接判断法：方方程程判判断断法法：RC 仍仍然然可可导导及及函函数数可可导导则则：利利用用定定义义： ,z)z(f)zz(flimz000 xvyu,yvxuRCDD)y,x(v),y,x(u 方方程程）：内内（在在内内可可导导；在在的解析性？的解析性？例例zsin)z(Lnz)z(f: 12二二、五五种种初初等等函函数数：函函数数解解析析性性多多值值性性周周期期ze 0 zzee处处处处解解析析i 2Lnz除除原原点点和和负负实实轴轴外外 zLnz1 多多值值az除除原原点点和和负负实实轴轴外外 1 aaazz多多值值chzshzzcoszsin处处处处解解析析处处处