2020年高考数学临考押题卷02(天津专版)(含解析)

1、2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项：1 .本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项只有一个符合 题目要求.1 .已知集合 A x

2、|2x 4, B x|x2 x,则 AUB ()A. （,0）B. （,0）U（1,2） C.（,0）U（1,4）D. R2,复数z满足z 1 i 2i ,则复数z的共轲复数是（）A. 1iB. 1iC.12iD. 12i3.下图统计了截止到 2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（）A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C.公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D.从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%14r r _r4.已知a i ar

3、 r 1r r r r,、，、，.b 2；,其中i , j是互相垂直的单位向量，则r3bA. 2"B. 2J6C. 28D.245.在 VABC 中,sin B sin C sin A cosB cosC,则 VABC 一定是(A .锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能6.已知抛物线C ：1 2 ,y -x的焦点为8C的准线与对称轴交于点直线y kx 2与C交于a, b两点，若FA为 HFB的角平分线，且| AB| 2|AH |,则 |AF |A. 2C. 3D. 47.关于函数 f(x) xsin x, x , ,有下列三个结论：f(x)为偶函数；f(x)有3个零

4、点；f(x)在0,-上单调递增.其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.8,已知函数 f x 2sin xcos2一 sin4在区间,上是增函数，且在区间360,上恰好取得一次最大值，则的取值范围是八3A 0,59.存在两个正实数x, y,使得等式a(y 2ex)lna(y2ex)lne为自然对数的底数，则 a的范围为()A. (,0)B.10,一 e1C.一eD.(,0)、填空题(本大题共10.已知tanJ2，则第n卷(共105 分)6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.)sin 211.在 VABC 中，A 60 ,AB 2 ,且VABC的面积为反则AC.(用数字作答)12

5、 .在代数式 x 的展开式中，一次项的系数是 x13 .若正数x, y满足x 3y 5xy，贝U 3x 4y的最小值是14 .已知四面体ABCD中，AB AD 2疾,BD 4壶,BCD为等边三角形，且平面 ABD 平面BCD,则四面体ABCD外接球的表面积为22一 x y15 .已知双曲线 C:1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 Fi、F2.a2 b2(1)若F2到渐近线的距离是 3,则b为(2)若P为双曲线C右支上一点，F1PF2 60且 F1PF2的角平分线与x轴的交点为Q,满足uuiruuuuFQ 2QF2 ,则双曲线 C的离心率为 .三、解答题：(本大题5个题，共75分)16 .为了

6、解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于 40分钟的网民称为 网购达人”，已知 网购达人”中女性有10人.(1)根据已知条件完成下面的2 2列联表，并判断是否有 90%的把握认为是否为 网购达人”与性别有关;非网购达人网购达人总计男女10总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取 3名，记被抽取的3名网民中的 网购达人”的人数为X,求X的分布列、数学期望 E(X)和方差D(X).参考公式:K2n(ad bc)2(a

7、 b)(c d)(a c)(b d)参考数据:P K2 - k00.100.050.0250.0100.0050.001kO2.7063.8415.0246.6357.87910.82817.如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1,平面AACiC 平面ABC, ABC 90 ,BAC 30, AA AC AC, E,F 分别是 AC,ABi 的中点.(1)证明：EF BC;(2)求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.18.给定n n 3,n N 个不同的数1、2、3、L、n,它的某一个排列 P的前k k N ,1 k n项和为Sk,该排列P中满足2Sk Sn的k的最大值为kP.记这n个不同数的

8、所有排列对应的kP之和为Tn.(1)若 n 3,求 T3；(2)若 n 4l 1, l N证明：对任意的排列 P,都不存在k k N ,1 k n使彳# 2Sk Sn ；求Tn (用n表示).22x y19 .已知直线l与椭圆C: 1交于不同的两点 A, B. 62，1，、一(1)若线段AB的中点为1,1 ,求直线l的方程;I FN | (2)若l的斜率为k,且l过椭圆C的左焦点F , AB的垂直平分线与x轴交于点N ,求证：-为定|AB|值.20 .已知实数a 0 ,设函数f(x尸alnx vX1,x 0.3(1)当a 时，求函数f(x)的单倜区间；4(2)对任意x ，)均有f(x) 求a的

9、取值范围 e2a '注：e 2.71828为自然对数的底数.、单选题1 .已知集合 A x|2x 4, B x|x2 x,则 AUB ()A. (,0)B. (,0)U(1,2) C. (,0)U(1,4) D. R【答案】D【解析】A x|x 2, B x|x 0或x 1, AUB R .2,复数z满足z 1 i 2i ,则复数z的共轲复数是()A. 1 iB. 1 iC. 1 2iD. 1 2i【答案】Bi 、 2i 2i(1 i) / ,【解析】由z(1 i) 2i ,得z 一1 i ,1 i (1 i)(1 i)3.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及

10、保有量情况,关于这5次统计,卜列说法正确的是（）中国申武谛在皂扭浙汴产品占出有干吧.躁私人克A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018 年B.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C.公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D.从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%【解析】对于 A, 2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.3 0.80.8100%687.5%,高于 201847 7 23 2 年的增长率100% 105.6% A错误23.2对于B,公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4,故中位数为21.4万

11、台，B错误;对于C ,公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.02万台，C错误;对于D ,从2017年开始,私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0% , 61.4% ,57.5%,均超过 50%, D正确.rr_r rr . , r r ,4,已知aiJ3j , b2i ,其中i, j是互相垂直的单位向重，则r ra 3bA. 2"B. 2J6C. 28D. 24r r _r r【解析】Qa i掷j , br r r - ,2i ,且j , j是互相垂直的单位向量r r r _r r a 3b i 、,3j 3 2i.=r r r rV3j 5i , i j0r ra 3br3b一

12、2r2r _3j 25i10 3j i 28 2.75.在 VABC 中，sin A sin B sinC ,则 VABC 一定是（） cosB cosCA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能【解析】Qsin Asin B sin C cosB cosCb c由正弦定理及余弦定理可得 a a2 c2 b2a2 b2 c2 ,2ac2ab22, 2a c b2ac2, 22a b ca 2ab22, 22, 22a c b a b c2c2b122,22,22ba c b c a b c-2_ 22bc 2b c ,a2b,22b c bc ,a2 b cc b b2 c2

13、bc4.9 14.1 21.4 30.0 44.75a2 b2 c2， VABC是直角三角形-12八, c /6.已知抛物线C:yx的焦点为F, C的准线与对称轴交于点H,直线y kx 2与C交于a, b两8点，若FA为 HFB的角平分线，且|AB| 2|AH|,则|AF| ()A. 2B. 8C. 3D. 43【答案】B【解析】如图，连接AF , BF ,过A, B分别作准线的垂线，垂足分别为M , N ,易知|BA| 2 则四J |AJ 1|AH |,、|BH | BN |3| BF |F(0,2), H(0, 2) , | FH | 4.由角平分线定理可得!| FH | BN | | B

14、F | 2| FH |c88, . | AM | | AF | -.37.关于函数f(x) xsin x,x ,有下列三个结论:f(x)为偶函数；f(x)有3个零点；f(x)在0,-上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.xsin x xsin x f x ,f x为偶函数，正确;令 f x 0 ,则 x 0或 sin x 0,当sin x 0时，x 0或xf x的零点为x 0或xQ f x sin x xcosx,或x ,或x ，共3个，正确;当 x 0,一时，sin x 0, cosx 0, f x 0, 2f x在0,-上单调递增，正确228.已知函数 f x 2sin

15、xcos. 2 sin在区间25 .,5-上是增函数，且在区间360,上恰好取得一次最大值，则的取值范围是A-0,|1 3B. 一，一2 5C.【解析】因为f2sinxcosD.2 sinsinx 1 sin. 2 sinx,sin. 2 sin.2sin xsinx,因为f在区间上是增函数,所以因为在区间所以0所以2k0,k上恰好取得一次最大值,一 ，一一 1所以的取值范围是19.存在两个正实数的范围为(x, v,使得等式x a(y2ex)lny a(y2ex)lne为自然对数的底数，则 aA. (,0)0,1 eD. (,0)【解析】 由 x a(y 2ex)ln y a(y 2ex)ln

16、x 得 x a(y2ex)ln y 0 ,x2【答案】115即 1 a(y 2e)ln y 0 ,即设t 丫，则t 0, x则条件等价为1 a(t 2e)ln t 0,r 一1即(t 2e)ln t 有解, a设 g(t) (t 2e)ln t ,2eg(t) lnt 1 丁为增函数,Q g (e)lne 1 2e 1 1 2 0 e，e时，g (t) 0,e时，g (t) 0,即当te时，函数g(t)取得极小值，为g e(e 2e)ln e即 g(t)g (e)e ,0时，g(t) (t 2e)ln t+ ，当x时，g(t)(t2e)ln t +若(t 2e)ln t1一有解, a1一，e,

17、 ai .1则a 0或a e二、填空题10.已知tan,2 ,则 sin 2答案】2±23【解析】sin 22sin cos2sin cos22cos sin2 tan1 tan22、2311.在 VABC中，A 60 ,AB 2 ,且VABC的面积为鱼，则AC【解析】由题得,VABC的面积为s-|AB ACsin 60o ，解得 |AC 1.3171 , ,一一，一12 .在代数式 x -L 的展开式中，一次项的系数是 .（用数字作答） x【答案】21r1 r 7-2C71 xx3r ,令 7 3r 1,得 r = 2 ,7【解析】x J_ 展开式的通项为Tr 1 C7rx7 rx

18、22C7121 ,故答案为21.13 .若正数x, y满足x 3y 5xy，贝U 3x 4y的最小值是13【解析】Q x 3y 5xy,x 0, y 0, 一 一 1 , 5y 5x3x 4y3x 4y 5y 5x13 3x 12y 13 2 .3x 12y5 5y 5x5, 5y 5x5,3x 12y当且仅当，即x 2y 1时取等号.5y 5x14.已知四面体 ABCD中，ABAD 2而，BD 4向,BCD为等边三角形，且平面 ABD 平面BCD,则四面体ABCD外接球的表面积为 【答案】64几取BD的中点E ,连接AE , CE ,取CE的三等分点为O ,使得CO 2OE ,则O为等边 B

19、CD的中心.由于平面ABD 平面BCD ,且交线为BD , CE BD ,CE 平面ABD.而 AB2 AD2 BD248,所以 ABD为等腰直角三角形，且 E为ABD的外心，所以 OA OB OD ,又 OB OC OD ,所以。为四面体ABCD外接球的球心，其半径24、,3 4.3 2故四面体ABCD外接球的表面积为S 442 64 .22x y15 .已知双曲线 C:节。 1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 Fi、F2. a2 b2(1)若F2到渐近线的距离是 3,则b为.(2)若P为双曲线C右支上一点，F1PF2 60且 F1PF2的角平分线与x轴的交点为Q,满足uuiruuurFQ

20、 2QF2 ,则双曲线 C的离心率为 .【答案】3, 3b, bc o【解析】取渐近线方程为 y x ,即bx ay 0 , F2 c,0到直线的距离为d j2 3,a.a b故b 3；uuiruuurF1Q 2QF2,则 PF1 2PF2, PF1 PF2 2a,故 PF1 4a, PF2 2a,根据余弦定理：4c2 4a2 16a2 2 4a 2acos60，整理得到：c2 3a2，故e J3.三、解答题16 .为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏

21、览购物网站时间不低于 40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.(1)根据已知条件完成下面的 2 2列联表，并判断是否有90%勺把握认为是否为“网购达人”与性别有关;非网购达人网购达人总计男女10总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取 3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为 X,求X的分布列、数学期望 E(X)和方差D(X).参考公式：K2n(ac)2，其中 n a b c d. (a b)(c d)(a c)(b d)参考数据:P K2 -k00.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.02

22、46.6357.87910.828【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.020 0,005) 10 100 25 (人)补充完整的2 2列联表如下：非网购达人网购达人总计男301545女451055合计7525100-2“2 100 (30 10 45 15)100K 3.030 2.70675 25 45 5533所以有90%勺把握认为是否为“网购达人”与性别有关(2)由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为(0.020 0.005) 10 0.25,将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为-.4，升1由题意知X B 3,

23、一,4从而X的分布列为X0123P27642764964164由二项分布的数学期望与方差公式得1E(X) np 3 4D(X) np(1 p)2 1 3934 4 1617.如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1,平面AACC 平面ABC, ABC 90 ,BAC 30 , AA AC AC, E,F 分别是 AC,AB1 的中点.(1)证明：EF BC；(2)求直线EF与平面ABC所成角的余弦值【解析】(1)如图所示，连结 AE,BiE,等边 4AAC 中，AE EC ,则 AE AC,平面ABC_L平面A ACCi ,且平面ABC n平面A ACCi AC ,由面面垂直的性质定理可得：AE

24、 平面ABC，故AiE BC ,由三棱柱的性质可知 A1B1/ AB ,而AB BC ,故A1B1 BC ,且A1B I A1E A1 ,由线面垂直的判定定理可得：BC ±平面AB1E ,结合EF ?平面AiBiE ,故EF BC .(2)在底面ABC内作EH, AC,以点E为坐标原点，EH,EC, EA1方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系 E xyz.设 EH 1,则 AE EC 日 AA1 CA 273, BC 73, AB 3,据此可得:A 0,3,0 , B.3,0,A 0,0,3 ,C 03,0uuu uur3 3 _由AB AB1可得点Bi的坐标为Bi -,-

25、V3,32 23 3-利用中点坐标公式可得:F 3,-73,3 ,由于 E 0,0,0 ,4 4故直线EF的方向向量为:uur EF*443设平面ABC的法向量为irmx, y,z ,则:v uuiv3m ABx, y,z 2v uuivm BC x, y, z据此可得平面 ABC的一个法向量为irm1r 3,1uuirEFuur ir 此时8s EF,muuu irEF muuu EFirmujirur设直线EF与平面A1BC所成角为，则sincos' EF ,m4一，cos518.给定n n 3,n N个不同的数1、23、L、n ,它的某一个排列p的前k k N ,1 k n项和为

26、Sk,该排列P中满足2Sk Sn的k的最大值为kp.记这n个不同数的所有排列对应的kp之和为Tn.(2)若 n 4l 1, | N证明：对任意的排列 P,都不存在k k N ,1 k n使彳# 2Sk Sn ；求Tn （用n表示）.【解析】（1） 1、2、3 的所有排列为 1、2、3; 1、3、2; 2、1、3; 2、3、1; 3、1、2; 3、2、1)因为S3 6,所以对应的kp分别为2、1、2、1、1、1,所以T3 8;2) ) (i)设n个不同数的某一个排列P为a1、a2、L、an ,1为奇数,因为 n 4l 1 , l N ,所以 Snn n 1 4l 1 2l而2Sk为偶数，所以不存

27、在k kN ,1 k n 使得 2SkSn(ii)因为 2SkSn ,即 a1 a2ak < ak 1ak 2又由(i)知不存在k k N ,1k n使得2SkSn,所以a1a2akak 1 ak所以满足2SkSn的最大下标k即满足a1a2akak 1akan,且 aia2akak 1ak 2考虑排列p的对应倒序排列P : an、an 1、 L 、a1，即anak 2 ak 1 aka2a1 , anak 2 ak1aka2由题意知kPn k1,则 kpkpn 1；又 1、2、3、L、n这n个不同数共有n!个不同的排列,可以构成n!人 ，人-个对应组合2且每组P, P中kpkPn1 ,所

28、以Tn里n 12x219.已知直线l与椭圆C： 一62y 、1交于不同的两点 A2,.1,，、一(1)若线段AB的中点为1,1 ,求直线l的方程;叫为定 |AB|(2)若l的斜率为k ,且l过椭圆C的左焦点F , AB的垂直平分线与x轴交于点值.【解析】(1)设Axi,yiB X2,y22X则62X22V122V221,两式作差得:Q AB中点为1,2kiy2y1X2XiXiyiX2y2直线l的方程为:(2)由椭圆方程知:联立v2 X 石为，%y1X1y2X220时,0时,0得:ABFNAB综上所述:Vy1X2 X1ki23,4x6y可设直线l的方程:得:1 3k212k2X 12k2B X2, V2X1X26k22，1