采样定理及MATLAB0

1、11.4 线性时不变系统的描述线性时不变系统的描述nn阶前向差分方程阶前向差分方程nn阶后向差分方程阶后向差分方程)() 1() 1()()() 1() 1()(011011nxbnxbmnxbmnxbnyanyaknyaknymmkNkMmmkmnxbknya00)()()()1()1()()()1()1()(011011nxbnxbmnxbmnxbnyanyaknyaknymmn 系数ak(k=1、2、N) ， bm (m=1,M)均为常数。 差分方程的阶数指方程中y(n-k)的最高阶与最低阶之差。 线性指方程中仅有y(n-k)的一次幂项，不含它们的相乘项。21.4 线性时不变系统的描述线

2、性时不变系统的描述3差分方程的求解差分方程的求解n递推法递推法n经典解法经典解法n时域解法时域解法nZ域分析法域分析法详见数字信号处理详见数字信号处理的相关章节的相关章节例例 1 1 递推法递推法试求一阶差分方程试求一阶差分方程 y(n)= ay(n-1) +x(n)的单位脉冲响应。设初的单位脉冲响应。设初始条件为始条件为y(n)=0(nwm称为wm 为信号的最高(角)频率。m带限带限(band limit)信号信号21例例: 已知某带限信号抽样信号已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所的频谱如图所示，示， 试分别抽样角频率试分别抽样角频率w wsam=2.5w wm, 2w wm , 1

3、.6w wm抽样时，抽样后离散序列抽样时，抽样后离散序列xk的频谱。的频谱。mww5 . 2sam解：8 . 05 . 22mmmwwwT22mww2sam22mmmwwwTmww6 . 1sam25. 16 . 12mmmwwwT23mww5 . 2sammww2sammww6 . 1sam24例：已知连续带通信号例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示的频谱如下图所示, 试分别画出试分别画出w wsam1=0.5w wm 及及w wsam2=0.8w wm时，抽样后离散序列的频谱。时，抽样后离散序列的频谱。解：w wsam1=0.5w wm , T T1=2p p/w wsam1 =4

4、p/p/w wmw wsam2=0.8w wm ,T T2=2p p/w wsam2=2.5p/p/w wm25抗混叠滤波抗混叠滤波许多实际工程信号不满足带限条件 抗混抗混叠叠低通滤波器低通滤波器)(tx)(1tx)(th2.2信号的重建信号的重建理想D/A模型框图 理想D/A输入和输出 )e()j (jswwTXX27)()(wwjTseXjXA/T)(w wjeXw wmTw w mTw wp pp p p p2p p2 A/T)(w wjXsw wmw w mw w2samw w2samw w samw wsamw w 28其它02/)(samrTjHwww)/(Sa)

5、(Ttthrp p )()()()(thtxtxtxrsr)/(Sa)(TtkTtkxkp)/ )(SaTkTtkxkp29零阶保持零阶保持D/A零阶保持D/A模型框图30零阶保持D/A输出信号的频谱为 Xz(jw)= Hz(jw) Xs(jw)2/jze )2/(Sa)j (TTTHwww31离散域进行补偿的FIR和IIR滤波器21116189161)(zzzH1281189)(zzH32 小结小结本章主要内容是对时域离散信号与系统的概念和本章主要内容是对时域离散信号与系统的概念和一些性质进行了分析，并对时域离散线性时不变一些性质进行了分析，并对时域离散线性时不变系统的描述与分析方法建立了一

6、个完整的概念，系统的描述与分析方法建立了一个完整的概念，本章是全书内容的基础。本章是全书内容的基础。3333n单位脉冲序列单位脉冲序列(n)(n) x,n = impseq(np,ns,nf) n单位阶跃序列单位阶跃序列(n)(n) x,n = stepseq(np,ns,nf) n矩形序列矩形序列n复数指数序列复数指数序列 n正余弦序列正余弦序列 x(n)=cos(n)+jsin(n)常用的典型序列常用的典型序列( )( )()NRnnnN()jnxewj new34impseq - 产生单位脉冲序列产生单位脉冲序列3435stepseq - 产生单位阶跃序列产生单位阶跃序列3536siga

7、dd - 信号相加运算信号相加运算3637sigfold - 信号折叠运算信号折叠运算3738sigshift - 信号时移运算信号时移运算3839evenodd - 将实信号分解为偶将实信号分解为偶和奇两部分和奇两部分3940conv_m - 改进的线性卷积子程改进的线性卷积子程序序4041周期序列及其产生的算例周期序列及其产生的算例例例设设x=2,3,4,5，求将求将它延拓它延拓6个周期所得个周期所得的序列。的序列。解：解：x=2,3,4,5;N=length(x); K=6;ny=0:K*N1；y=x(mod(ny,N)1) 图2.3.1 序 列 的 周 期 延 拓 42序列的对称性分解

8、算例序列的对称性分解算例例例 设设x(n)=u(n+2)-u(n-7), 将它分解为偶和奇分量将它分解为偶和奇分量.解：解：n = -2:10; x = stepseq(-2,-2,10)-stepseq(7,-2,10);x1,n1 = seqfold(x,n);xe,nxe = seqadd(0.5*x,n,0.5*x1,n1);xo,nxo = seqadd(0.5*x,n,-0.5*x1,n1);43 序列的对称性分解算例序列的对称性分解算例.2 图 2.3.2 实序列分解为奇偶序列 44序列的对称性分解算例序列的对称性分解算例设设n1=2:8,x1=sin(n1);n

9、2=-1:3;x2= x2=ones(1,5)n1=2:8,x1=sin(n1);n2=-1:3;x2= x2=ones(1,5)(a) 求求x1与与x2之和。之和。(b) 求求x1与与x2之积。之积。(c) n3=0:4;x3=6,5,4,3,2; 求它对求它对n=0点点折叠后的序列折叠后的序列y3。 (d) 利用利用(c)的结果，构成一个对称序列的结果，构成一个对称序列y4，(e) 利用利用(c)的结果，构成一个反对称序列的结果，构成一个反对称序列y5解解: (a) 的核心语句如下，的核心语句如下，(b)相仿相仿n1=2:8,x1=sin(n1);n2=-1:3;x2= ones(1,5)

10、;y1,ny1=seqadd(x1,n1,x2,n2); 45序列的对称性分解算例序列的对称性分解算例 (d)和和(e)的核心语句：的核心语句：n3=0:4;x3=6,5,4,3,2; % 将将n扩展到负区域扩展到负区域ny4=-4:4; %对称序列对称序列,把把n=0处去一点处去一点y4=y3(1:4),x3;%反对称序列反对称序列,把把n=0处置处置0。 y5=-y3(1:4),0,x3(2:5)46对每一个m值，求y(m)可用下列语句h1 ,nh1 = s eq f o ld ( h , n h ) ; h1(nh1)=h(-nh)h2,nh2= seqshift(h1,nh1,m);

11、h2(nh2)=h1(-nh1-m)y1,ny1= seqmult(x,nx,h2,nh2); y1=h2.*xy=sum(y1)用MATLAB函数conv可计算所有m值的卷积y=conv(x,h)不过它没有给出不过它没有给出y的位置向量的位置向量n.序列卷积用序列卷积用MATLABMATLAB运算算例运算算例47自编带有位置向量的卷积子程序自编带有位置向量的卷积子程序convwthn.mfunction y,ny = convwthn (x,nx,h,nh)nys = nx(1)+nh(1); nyf = nx(end) + nh(end); % MATLAB允许允许用用end表示最后一个下

12、标表示最后一个下标 y = conv(x,h); ny = nys:nyf;将例将例2.3.4中的中的 x,nx,h,nh代入，执行代入，执行y,ny = convwthn (x,nx,h,nh)得到得到y= 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2ny=-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6序列卷积用序列卷积用MATLABMATLAB运算算例运算算例48序列的相关序列的相关 序列互相关的定义：序列互相关的定义：它提供了两个序列之间相关程度的度量。它的定义与卷它提供了两个序列之间相关程度的度量。它的定义与卷积相仿，只是不必将一个序列折叠。相关输出长度也积

13、相仿，只是不必将一个序列折叠。相关输出长度也是两个输入长度之和减一，是两个输入长度之和减一，lrxy=lx+ly-1自相关的定义：自相关的定义：nxyknynxkr)()()(nxxknxnxkr)()()(49序列的相关例序列的相关例例例 令令x(n) = 3, 5, -7, 2, -1, -3, 2为一原型序列（可看作雷达发射信号）为一原型序列（可看作雷达发射信号）,令令y(n)为为x(n)加入噪声干扰并移位后的序列（可看作加入噪声干扰并移位后的序列（可看作雷达回波信号）雷达回波信号） :y(n)=x(n-2)+w(n) 计算两者的相关性，可以判断被噪声淹没的回波计算两者的相关性，可以判断

14、被噪声淹没的回波的延迟，从而确定目标的距离。的延迟，从而确定目标的距离。程序程序 执行的结果见图执行的结果见图 。得知相关函数最大值在。得知相关函数最大值在m=2处，即延迟量为处，即延迟量为2。50序列的相关例序列的相关例 图2.3.5 用 相 关 计 算 求 延 迟 51用用MATLAB递推算法递推算法差分方程的递推在差分方程的递推在MATLAB中用中用filter子子程序来实现。调用的最简单形式为程序来实现。调用的最简单形式为:y = filter(b,a,x) 其中其中 b = b0, b1, ., bM; a = a0, a1, ., aN 为差分方程的系数数组为差分方程的系数数组,x

15、 是输入序列。是输入序列。在上例中，语句为：在上例中，语句为：b=1;a=1,-1,0.9; x=1,zeros(1,7);y1=filter(b,a,x) 就可就可解出解出y。52 用时移算子用时移算子z -1表示离散系统表示离散系统定义定义z为时移算子，则左移运算为时移算子，则左移运算y(n)=x(n+1)可以写成可以写成yn=zxn，简写为简写为y(n) =x(n+1) =z x(n) 如果如果x=2,4,6,8，nx=-1,0,1,2, , 则则y与与x相同，相同，但但ny=-2,-1,0,1。 n=0时的时的y要取要取 n=1时的时的x，这意味着要预知未来，物理上是无法实现的。这意味

16、着要预知未来，物理上是无法实现的。定义定义z z的逆运算子的逆运算子z z -1 -1，它的作用是延迟，即右移运算它的作用是延迟，即右移运算y1(n)= zy1(n)= z -1 -1x(n) =x(n-1) x(n) =x(n-1) 在上例中就意味着在上例中就意味着y1=x,ny1=0,1,2,3,y1=x,ny1=0,1,2,3,即即y(0)=x(-y(0)=x(-1)1)。 n=0时的时的y要取要取 n=-1时的时的x，这是可以做到的。这是可以做到的。 53表表1 一些常用的序列运算及其一些常用的序列运算及其MATLAB表述表述运算运算数学形式数学形式MATLAB表述或子程序表述或子程序

17、两序列相加y(n)=x1(n)+x2(n)y,ny=seqadd(x1,nx1,x2,nx2)两序列相乘(加窗)y(n)=x1(n)x2(n)y,ny=seqadd(x1,nx1,x2,nx2)右移位my(n) = x(n-m)y,ny=seqshift(x,nx,m) 或y=x; ny=nx-m对n=0点折叠y(n) = x(-n)y,ny=seqfold(x,nx) y = fliplr(x); ny =fliplr(-nx)序列周期延拓y(n)=ny=nsy:nfy; y=x(mod(ny,M)+1);两序列的卷积y=conv(x1,x2),或y,ny=convwthn(x1,nx1,x2,nx2)通过线性系统差分方程求解y = filter(b,a,x)( ) )Mx n)()()(11nhnxny54n信号分析中时域信号采样是一个非常重要的概念，信号的信号分析中时域信号采样是一个非常重要的概念，信号的时域采时域采样样，要引起频谱发生变化，只有在采样频率大于或等于信号的最，要引起频谱发生变化，只有在采样频率大于或等于信号的最高频率的高频率的2倍时，信号的信