上课离散型随机变量的均值(第一课时)

1、复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.按按3：2：1的比例混合的比例混合 18 kg元混合糖果中每一粒糖果的质量都相等混合糖果中每一粒糖果的质量都相等24 kg元36 kg元定价为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理18+24+36=263定价为（元/kg)

2、合理吗？合理吗？n问题问题1：高二（高二（1）班有）班有45人，本学期期中考试数学人，本学期期中考试数学平均分为平均分为85分，高二（分，高二（2）班有）班有55人，平均分为人，平均分为90分，分，求两班的数学平均分。求两班的数学平均分。5 .85100855010090558045n提问提问2：能否用各班的分数乘以人数的占比求均值？能否用各班的分数乘以人数的占比求均值？n提问提问1：能否利用两个平均数相加除以二求平均数？能否利用两个平均数相加除以二求平均数？如果不能，应该怎么做？如果不能，应该怎么做？45558550809085.5100100100各班所占的人数比例系数各班所占的人数比例系

3、数分析：分析：每每1kg混合糖果中，分别含三种糖果的质量混合糖果中，分别含三种糖果的质量为：为：111,236kgkgkg11118243623)236 （元/kg所以混合糖果的合理定价应为所以混合糖果的合理定价应为权权数数按3：2：1的比例混合 18 kg元24 kg元36 kg元加权平均值加权平均值问题问题2 2：情景引入求解：情景引入求解加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。各种糖果占的比例系数各种糖果占的比例系数权数：就是就是每个数量占总量的比例系数分析分析：在混合糖果中，如果每一粒质量形状都一样，：在混合糖果中，如果每一粒质量形

4、状都一样，说明任取一颗糖果的概率是相等的。说明任取一颗糖果的概率是相等的。1 1 1,2 3 6因此如果用因此如果用X表示这颗糖果的价格表示这颗糖果的价格,你能求出它的你能求出它的分布列吗？分布列吗？如果混合糖果中每一粒糖果的形状一样，质量都相等，那么你能解释权数的实际含义吗？【思考思考】 根据古典概型概率公式，第根据古典概型概率公式，第1、2、3种糖果种糖果的概率分别为：的概率分别为： 由此权数的实际含义就是每种糖果相对应的概率n用用X表示这颗糖果的价格，表示这颗糖果的价格，X的分布列为：的分布列为： X 18 24 36 P 121316混合糖果的合理定价为混合糖果的合理定价为23=18(

5、18)24(24)36(36)P XP XP X 平均值就转化为随机变量的取值与平均值就转化为随机变量的取值与相应概率乘积之和相应概率乘积之和 111182436236糖果的平均糖果的平均价格价格三、离散型随机变量取值的平均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxXE2211)(则称则称为随机变量为随机变量X的均值或数学期望。的均值或数学期望。它反映了离它反映了离散型随机变量取值的散型随机变量取值的平均水平且是一个常数平均水平且是一个常数。P1xix2x1p2pipnxnpX注：期望越大越好注：期望越大越好设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1） Y的分布

6、列是什么？（2） E(Y)=？思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxXE 2211)(P1xix2x1p2pipnxnpXP1xix2x1p2pipnxnpXYbax 1baxi bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211 )()(212211nnnpppbpxpxpxa bXaE )(数学期望的线性性质()()E aXbaE Xb1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E(）= . 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E()= . 5.8E(X)=1,

7、则则a= b= .1/31/3X012P1/3ab例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则pppXE)1 (01)(小结(一）：7 . 0)0(0) 1(1)(, 3 . 0)0(, 7 . 0) 1(|XPXPXEXpXp所以：因为解练习1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33 . 0解：(1) XB（3，0.7）2133 .

8、 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)31222333()0 0.310.7 0.320.70.33 0.7E XCC 1 . 2)( XE7 . 03 证明：n)n), ,0,1,2,0,1,2,(k(kq qp pC Ck)k)P(P(k kn nk kk kn n 0 0n nn nn nk kn nk kk kn n1 1n n1 11 1n nn n0 00 0n nq qp pnCnCq qp pkCkCq qp pC C1 1q qp pC C0 0EE ) )q qp pC Cq qp pC Cq qp pC Cq qp pnp(Cnp(C0 01

9、1n n1 1n n1 1n n1)1)(k(k1)1)(n(n1 1k k1 1k k1 1n n2 2n n1 11 11 1n n1 1n n0 00 01 1n n 所以所以若B(n，p)，则Enp 小结（二）：若B(n，p)，则E()np 1().nnp pqnp练习练习3、6件产品中含有件产品中含有2件次品，从中任取件次品，从中任取3件产品。设件产品。设X表示表示 选中次品的数目。求选中次品的数目。求X的均值。的均值。解：依题意可知，解：依题意可知，X的可能取值为的可能取值为0、1、2，且，且的分布列如下：。故，XkCCCkXPk210,)(36k342 X 0 1 2 P 1/5

10、 3/5 1/56321512531510)(XE从而则超几何分布的服从参数为量三）：若离散型随机变小结.,(nMNXNnMXE)(总结思想：（总结思想：（1）先列出随机变量的先列出随机变量的分布列，（分布列，（2）根据分布列求期望）根据分布列求期望（3）如果是特殊的分布直接根据期）如果是特殊的分布直接根据期望公式计算望公式计算思考：思考：随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？可以发现，随机变量的均值是常数，而样本的平均值可以发现，随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随是随着样本的不同而变化的，因此样

11、本的平均值是随机变量。对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，机变量。对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体的均值。因此，我们常样本的平均值越来越接近总体的均值。因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。用样本的平均值来估计总体的均值。例例2 2：一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成，每个选个选择题构成，每个选择题有择题有4 4个选项，其中仅有一个选项是正确的。个选项，其中仅有一个选项是正确的。学生甲选对任意一题的概率为学生甲选对任意一题的概率为0.90.9，学生乙则，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，在测验中对每题都从各选项中随机地选

12、出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的答对题分别求学生甲和学生乙在这次测验中的答对题个数的均值。个数的均值。解：解：设设X1表示甲选对的题数、表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数表示乙选对的题数它们都满足二项分布：它们都满足二项分布： X1B(20，0.9) X2B(20，0.25)所以：所以：12()200.918()200.255E XnpE Xnp例例3.根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概某地区近期有小洪水的概率为率为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01.该地区某该地区某工地上有一台大型设备工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失遇到大洪水时损失60000元元,遇到小洪水损失遇到小洪水损失10000元元.为保护设为保护设备备,有以下有以下3种方案种方案: 方案方案1:运走设备运走设备,搬运费为搬运费为3800元元; 方案方案2:建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为2000元元, 但围墙只能防小洪水但围墙只能防小洪水; 方案方案3:不采取任何措施不采取任何措施,希望不发生洪水希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好?数学期望小结数学期望小结1、离散型随机变量均值的定义与含义、离散型随机变量均值的定义与含义2、两点分布的均值：、两点分布的均值：EX=