第11章反常积分答案

1、1、2、3、A4、A5、A6、A7、A、8、9、单选题（每题 2分）广义积分广义积分ln4 B广义积分1 ln320FCdx第十一章反常积分-dx 1dx2发散1 ln 4、34x 3=(1 . 2ln23 C、ln3卜列广义积分收敛的是（）ln x ,dxdxe x B、 e xln x卜列广义积分发散的是（）0ex dx B卜列积分中（dx020 cos x是收敛的发散、发散sinxdx2 dx2-2 sin x卜列广义积分发散的是（11 dx1 sin x b)dx10x21xdx)1-1 e已知sinx ,dxxsin10、广义积分dxx(ln x)dxex dxxex2dxxcosx

2、 , dxxdx1x(ln x)2xdxdxdxx(ln x)2、41 2dx1 x11、下列积分中绝对收敛的是（sin x ,dxA、1 x2sin x , dx1. x C1 sinx2dx1 xsinx4dx12、已知广义积分sin xdx,则下列答案中正确的是（因为f x在上是奇函数，所以sin xdxsin xdxcosxcoscossin xdx_blimbsin xdxbblimcosb cosbsin xdx发散13、设广义积分kbdx收敛,A、答案：BCDCBDAABD ADB二、判断题（每题2分)cosx1、1时，无穷积分dx条件收敛;2、当01时，无穷积分1sin x ,

3、 dxx绝对收敛;4一f x dx 3、若无穷积分 a收敛,而函数x在a,单调有界,则无穷积分 af x x dx收敛;4、f x dx收敛，则limx5、在a,无界,f x dx发散;6、limxf x）不存在，则x dx发散;7、f x dx单调， alim f收敛，则x8、f x dx收敛，则af2 x dx收敛;9、f2x dx g2 x dx,a收敛,xgx dx收敛;10、如果f x dx收敛，g x在a,上有界，则f x g x dxa收敛；（）x dx lim f x 0收敛，xdx收敛;11、若 af x12、如果 adx , lim绝对收敛，xf x g x dx收敛；（）

4、答案：？ x? XX X? X? XX?三、填空题（每题2分)1、若无穷积分f x dx收敛,lim则p pf x dx2、若无穷积分f x dx收敛,则b a时,3、设a,b，函数f x 0无穷积分 blim （x且极限x adx1,0x dx4、a,函数f x0,，lim x0,且极限x a1,0,则无穷积分x dx5、f x dx收敛,则无穷积分f x dx6、1时，无穷积分7、1时,瑕积分cosx , dx1 x1 dx0 v Px8、f x dx， 收敛,且存在极限lim f xxA，则A9、dxx(x2 1)dxe xln10、设limxaxa tte dt,则常数a11、如果广义

5、积分xp 1dx一收敛，则p12、如果广义积分dx发散，则P答案：1、0 2、收敛7、发散8、0四、计算题（每题 5分）dx2a)d(0，d(03、发散 4、收敛5、绝对收敛6 、绝对收敛11n 210 、 2 11 、21221、0 x 4x 8解:dx lim0 x2 4x 8=uu dx0(x 2)lim u(1 arctan2、sin1dxx解:dx则3、lim u1-(arctan解:4、解:5、解:6、解:sin1dx x xdxx2 x 2dx_ lim 2=u1ln xdx01lnxdx01 dx1 . 1 x21 dx1 1 x2因为所以lim00sin tdt21( lim

6、 3 ucost1ln xdxlim0lim0dx.1 x2lim (arcsinxdxx . 1 xdx2 x . 1 x0 2 x -1arcsin( 1)dx2ln 2)xln xlim01. x 1 lim -ln一 limx 021n 2 3lim (0dxInarcsin xarcsin(1dtt2dx(2 xarctan ) 4)=22 arctan t2 arctan . 1 xlim ( 2arctan <1 x) 011dx2呵27、0解:8、解:9、解:x2 1Kx2 x4 x2 x 4 xdxx ln x1时,1时,故当1dxdx(ap 1时,P 1时,021n(

7、sin x)dx1xrdx-2 xd(x 1) x(x1)2 x1x2 1 八arctan C.、2 2xlim u02 ux4 x1dxlim u01、2x2 1arctan 2x0)dxxln xlimdxpx ln xI021n(sin x)dx2 lim02ln 2由此求得ud ln xlimudx. p x ln xln xlimuu d ln xa 1nxp-(ln a)1 P1In adxpx lnx发散;lim 2 lnsin xdx x004 (ln 2 ln sin t2In cost)dt2 041nsintdt4 ln sin xdx0ln 22101n 0 xnexd

8、x(n N)解：当n0时,u ln ln xalimu2t2 041n costdt2 4 ln cosxdx 0e xdx 10lim0(ln x)1 pP4 ln sin 2tdt2-ln 2 2I 21时,n limuxxndxlim (ulim nu1dxlimu1dx nI n则In 五、证明题1、证明n(n(每题ln0 V1)5分)-x2dx x证:则有2、证明证:3、ddx证:4、证:n!则Inln x ,2dxxdxcosx ,dx0 1 x 收敛，且cosx , dx0 1 xsin x又(1 x)2(1ln1_L11 Fdt*t0 1 t2ln x1 x2dxcosx ,d

9、x1 x证明:sin x,1 xsin x dx (1x)2sin x(1x)2dx1(1 x)2dx收敛,所以sin x2"dx1 x) 收敛cosx , dxcosx ,dx1 xsinx(1x)2 dx收敛(112dx x)2ddx上连续,x dx 收敛,则对任何t dta，由条件ddx ddx、儿 lim(1)设 xdtt dtx dxJ1,dxJ2工都存在；再由f连续可得ddx ddxdtt dtdx、广 收敛，证明:(2)若 ff x A。右(1)若极限lim f x ilimx存在，则xlim上为单调函数，则x,则由极限保号性，G当x G时满足于是有uf x dxax

10、dxuf x dxGGf x dxa而这与ulim f xu adxf x dxa收敛相矛盾,A 0。f x在a上单调而无界（设为递增而无上界）0, Gf x dx时，使f x A。类似于（1）的证明，推知a矛盾。 r上单调而有界，则存在极限ximx A。依据已证得的命题1),所以flim f x5、证明：若f x dx收敛，且证：由f上一致连续,0,上一致连续,0,（设则必有lim f xx当x ,x又因现对任何时，总有x dx 收敛,x2fx1x dx便有6、证明:又若把a,lim 证：由X从而又有再由 aa, 且故对上述2a,当 xi,x2G时，有G,x2x1，x2xif x dtfxi

11、t dt且使x2xi乂2,乂2xiO此时有x2xixidt,xf t dt这就证得x2x dxf t dtx1lim f xxx dx绝对收敛,lim g x x存在，则f x g x dx必定绝对收敛该为条件收敛，试举出反例说明g x A 一 、八，一可知当x充分大时有f x dx 匕 收敛,例如对于条件收敛的ag x dx不一定收敛。M f x ,x G根据比较法则便证得sin xf x dx 1sin xf x g x dx 1得到 a= xmaxA 1, A 1 x Gdx和2sin xx dx收敛。sin x1 x 1 xdx xsin x ,dx由于14x 收敛。sin2 x ,

12、dxxcos2xdxx显然是发散的，所以dx也是发散的无穷积分。t2xex2T7、证明当时,是等价无穷小量。lim x 证：2 xxe2又收敛定义又知limxlimxt2万dt2 x22°,所以2xe 2 dx收敛,这说明当时,它们是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量limxt2为dt故结论成立。8、证明：若证：由于f故由9、证明：若证：不妨设得出但是所以当2 xxe2limxx2e 2x2 12xxfdx，收敛，则1f x dx也必收敛.xfx 1,xf x dx收敛,Abel判别法证得c时,1,上单调有界,dx收敛.f x dx收敛,x单调减少。先证当x dx发散，与x dx收敛,xxf t dt2x A时,xxf t dt2xf x为单调函数，则x a时，f ：0,0。否则点c a,使f c 0 ,f x dxcx dx收敛矛盾,f c dxf x为非负的单调函数.0，使得当A时，恒有xx f t dt2limx2ff x单调增加时，只要考虑f x ,同样可证得10、设f x 0且单调减少，证明