第11讲一元二次方程的应用-教案

1、温故知新第11讲一元二次方程的应用20(3)x 2-2x=-1解下列关于X方程:22.(1) x 4x 5 0(2)2x 4x 5 0【解答】：（1）再二-5.三二】无实数解（3） x1x21课堂导入1、初一学过一元一次方程的应用实际上是据实际题意， 设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究 的问题一元二次方程的应用。2、从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案.列出一元二次方程解

2、应用问题3、列方程解应用问题的步骤：审题；找相等关系；设未知数；列方程；解方程；答。一元二次方程数字问题1、两位数表示：十位数字X 10 +个位数字2、三位数字：百位数字x 100 +十位数字 X 10 #位数字3、三个连续偶数：x 2,x, x 2三个连续整数：x 1, x, x 1dU典例分析例1 .有两个连续整数，它们的平方和为25,求这两个数。【解答】设这两个连续整数的第一个数位x,另一个数为(x+1 ),根据题意列方程得，x2+ (x+1 ) 2=25 ,解得 x1=-4 , x2=3 ,当 x=-4 时，x+1=-3 ;当 x=3 时，x+1=4 ;答：这两个连续整数是-4、-3或

3、3、4.川玄举一反三1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数.【解答】 解：设原两位数的个位数字为x,十位数字为(6-x),根据题意可知，10 (6-x) +x10x+ (6-x) =1008 ,即 x2-6x+8=0 ,解得 x1=2, x2=4,6-x=4 ,或 6-x=2 ,10 (6-x) +x=42 或 10 (6-x) +x=24,答：这个两位数是 42或24h典例分析例1.有一块长方形的铝皮，长 24cm宽18cm,在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面

4、积的一半，求盒子的高.【解答】解：设盒子高是xcm.列方程得(24-2x ) ? (18-2x) =0.5X24X18,解得x=3或x=18 (不合题意，舍去).答：盒子高是3cm.例2 .如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?能否使所围矩形场地的面积为810m2,为什么？口(8) 1T)【解答】 解：设所围矩形 ABCD的长AB为x米，则宽AD为上 米.依题意，得2即，. -80.1 + 1500-0.解此方程，得.墙的长度不超过45m,，工工二5。不合题意，应舍去.当 = 3。时，口。2卜8。-3。)”所以，当所围

5、矩形的长为 30m、宽为25m时，能使矩形的面积为 750m 2 .不能.因为由 2得80/1620 = 0.又: / -ac =（ 80）2 4 x 1 x 1620= 80v 0,上述方程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为810m21、如图，在一块长为 32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕 地的面积是540m2,求小路宽的宽度.【解答】 解：设道路的宽为 x米.依题意得：（32-x） （ 20-x） =540,解之得x1=2, x2=50 （不合题意舍去）.答：道路宽为2m.2.如图，在 ABC中，/ B=90, AB=6厘米，BC=8厘

6、米.点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速 度移动（到达点B即停止运动），点 Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点 C即停止运动）.（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于 ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点 P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点 Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？【解答】 解：（1）设t秒后， PBQ的面积等于是 ABC的三分之一，根据题意得:Lx2t (6-t) =_Lx二X6X8, 23 2解得：t=2或4.答：2秒或4秒后

7、， PBQ的面积等于是 ABC的三分之一.(2)设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得:(6 - x) 2+ (2x) 2=36,解得：x=0 (舍去)或x上.答：工L秒时，P、Q相距6厘米514米)，围成中间隔有一道篱笆的长方3.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为 1米的两个小门.(1)设花圃的宽 AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长 (24 - 3x) 米；(2)若此时花圃的面积刚好为 45m2,求此时花圃的宽.墙 14maIBH m Ill ml【解答】 解：(1) BC=2323x=24 3x

8、.故答案为(24 - 3x); x (24- 3x) =45,化简彳导:x2- 8x+15=0,解得：x1=5, x2=3.当x=5时，24-3x=914,不符合要求，舍去.答：花圃的宽为5米/iq知|识II要II点II三I一元二次方程的利润问题1、每件利润=售价-进价 总利润=每件利润X销售量利润率每件利润进价100%利润=进价x利润率售价=进价x (1禾I润率)典例分析例1.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场平均每天可多售出2件.求：(1)若商场平均每天要赢

9、利 1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案.【解答】：设每天利润为 w元，每件衬衫降价 x元，根据题意得 w= (40-x) (20+2x) =-2x2+60x+800=-2 (x-15 ) 2+1250(1)当 w=1200时,-2x2+60x+800=1200 ,解之得 x1=10, x2=20.根据题意要尽快减少库存，所以应降价 20元.答：每件衬衫应降价 20元.(2)解：商场每天盈利(40-x) (20+2x) =-2 (x-15 ) 2+1250.当x=15时，商场盈利最多，共 1250元.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.

10、举一反三平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策1 .某商场将进价为 2000元的冰箱以2400元售出， 的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？【解答】解：设每台冰箱应降价 x元，那么X(8+ 50 x 4) X (2400 -x-2000)=4800所以(x - 200)(x - 100)=0x = 100 或 200所以每台冰箱应降价 100或200元.2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3元/千克的价格出售，每天可

11、售出200千克.为了 促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价 O.1元/千克，每天可多售出 40千克.另 外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利 2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【解答】 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：(3 - 2 -+ x 40) - 24 = 200也1解得：工 =0.2 ,巧=0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。1、平均变化率问题增长率(1)原产量+增产量=实际产量.(2)单位时间增产量=原产量X增长率.(3)实际产量=原产量X ( 1+增长率).2、相互问题(传播、循环). 典例

12、分析例1.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到 7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？【解答】解：设平均每月的增长率为x,据题意得：5000 (1+x) 2=7200(1+x) 2=1.44 1+x=1.2.x1=0.2 , x2=-2.2 (不合题意，舍去).取 x=0.2=20%.例2. (1)参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手15次,有多少人参加聚会？小 T) (16,X2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪 BC边的长为12米.2.龙华天虹商场以 120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件.为了促销，该商场决定降

13、价销售，尽快减少库存.经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件.另外，每周的房租等固定成本共3000元.该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？【解答】 解：设每件上衣应降价 x元，则每件利润为（80-x）元，列方程得：（80-x） （ 100+x） - 3000=8000, 5解得：x1=30, x2=25因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存，所以x=30.答：应将每件上衣的售价降低30元.自我挑战1 .某超市一月份的营业额为 100万元，三月份的营业额为144万元，如果每月比上月增长的百分数相同,则平均每月的增长率为（）A. 10%B .15%

14、C . 20% D . 25%【解答】解：设增长率为x,根据题意得100 (1+x) 2=144,解得x= - 2.2 （不合题意舍去），x=0.2 .所以每月的增长率应为20%故选C.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天,x满足的关系式为（2.要组织一次排球邀请赛， 参赛的每个队之间都要比赛一场,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则A. yx (x+1) =28 B.|x (x- 1) =28【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（所以可列方程为：yx （x-1） =4X7.故选：B.C. x (x+1) =28 D . x (x- 1) =28x-1)场，但2队之间只有1场

15、比赛，3.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acR的长方形，a的值不可能为（A. 20D. 120【解答】 解：设围成面积为 acm2的长方形的长为xcm,则宽为（40+2-x） cm,依题意，得 x (40 + 2 x) =a,整理，得 x2 - 20x+a=0,/ =400-4a0, 解得aw 100, 故选：D.20134.某市2013年生产总值（GDP比2012年增长了 12%由于受到国际金融危机的影响，预计今年比年增长7%若这两年GDP平均增长率为x%则x%蹒足的关系是（A. 12%+7%=x%(1+12% ( 1+7%)=2 (1+x%)C. 12%+7%=2x%2(1+12%

16、 ( 1+7%)= (1+x%)【解答】 解：设2012年的国内生产总值为 1,.2013年国内生产总值(GDP比2012年增长了 12%2013年的国内生产总值为 1+12% 2014年比2013年增长7%.2014年的国内生产总值为(1 + 12%) (1+7%),这两年GD冲平均增长率为x%.2014年的国内生产总值也可表示为：(1+x% 2,，可列方程为：(1 + 12%)(1+7%) = (1+x%) 2.故选D.5.某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品 250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为()A. 15% B . 20% C .5% D . 25%【解答

17、】解：如果设平均每月降低率为x,根据题意可得250 ( 1 -x) 2=160,1. x1=0.2 , x2=1.8 (不合题意，舍去).故选 B.6.如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示.求小路的宽是多少？设小路的宽是xm,根据题意可列方程为(30 -x) ( 20-x) ,2x 30X20 .f |自 一20 m 丁丁马丁丁丁.目【解答】 解：设道路的宽应为 x米，由题意有(30-x) (20-x) =-x 30X 20.故答案为：(30-x) ( 20-x) =1:X 30X 20.8m.如果梯子的顶端下滑 1m,梯子7

18、 . 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 的底端滑动 xml,可得方程 (6+x) 2+ (8 1) 2=102 .【解答】解：设梯子的底端滑动 xm.； =6，(6+x) 2+ (8- 1) 2=102.故答案为：(6+x) 2+ (8-1) 2=102.x增长，第3月份印刷8 .某印刷厂1月份印刷了 60册书籍，2月和3月份印刷书籍的册数按相同增长率了书籍达到200万册.为求出 x,可列出方程 60+60 (1+x) +60 (1+x) 2=200【解答】 解：如果设2, 3月份平均每月的增长率是 x,2=200.那么可以用x表示2, 3月份的印刷书籍分别是 60 (1+x)、60 (1+x)然后根据题意可列出方程为60+60 (1+x) +60 (1+x)故答案为：60+60 (1+x) +60 (1+x) 2=200.9.如图，A B C、D为矩形的四个顶点， AB=16cmAD=6cmg 动点 P、Q分别从点C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达 B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.(1) P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ勺面积为33cmf;P、Q两点从出发开始到几秒时？点 P和点Q的距离是10cm.解：(1)设P、Q两点从出发开始到 x秒时四边形贝U P