9.-数列单调性问题的研究

1、专题：数列单调性问题的研究、问题提出问题1 ：若an n2n 3 (其中为实常数)，n Nan为单调递增数列，则实数的取值范围为问题2：数列an满足an n25n 3 (为实常数),且数列an为单调递增数列，则实数的取值范围为问题3:通项公式为2an an n的数列an若满足aia2a3a4a5,且an an i对n 8恒成立,则实数a的取值范围是问题4：数列an满足ann 2011n 2012*N ),最小项为第项；最大项为第问题5：数列an满足an为实常数,最小项为a9,则实数的取值范围为问题6：数列an的通项公式为an若对任意正整数nan a3 a4均成立，则实数k的取值范围是二、思考探

2、究探究1：已知a, b为两个正数，且a b,设3,b1* ,an 1 bn 1bn.an 1bn 1(1)证明：数列an为单调递减数列；数列bn为单调递增数列，、1，、(2)证明：an 1 bn 1 (an bn) 2胴 <1)得知对任九AQ.由1s即 帆 /涵物意任意mW * %>瓦l；%空白一. ：空&U0.所以数列1%是加调递减数列 £.b.=t>. k/(心. .在：)>0 ,所支数列|配是中证递惜散网*慢明比嵯相邻曲顼的大小品研究周俄型查埔中整性的常用方法探究 2：数列an满足：a1 = 5, an+1 an = 2(an+1 + an)+

3、15,数列bn的前 n 项和为 Sn 满足：0 = 2(1bn).(1)证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)求数列bn的通项公式，并求出数列 anbn的最大项.解：(1)令 n = 1 得 a2 5 = 2(a2+5)+ 15,解得 a2 = 12,由已知得精选(an+1 an)2 = 2(an+1 + an)+ 15(an+2 an+1 )2 = 2( an+2 + an+i) + 15将一得(an+2 an)(an+2 2an+1 + an) = 2( an+2 an),由于数列an单调递增，所以 an+2 anW0,于是an+2 2an+1 + an =

4、 2, 即(an+2 an+1) (an+1 an) = 2 ,所以an+1 an是首项为7,公差为2的等差数列，于是an+1 an = 7+2(n 1) = 2n+ 5,所以an = (an an-1) + (an-1 an-2) + , , , + (a2 a1)+a1= (2n+3)+(2n+1)+ + 7+5 = n(n+4).2(2)在 Sn = 2(1 bn)中令 n = 1 得 b1 = 2(1 b1),解得 b1 =3因为 Sn = 2(1 - bn), Sn+1 = 2(1 - bn+1),相减得 bn+1 = 2bn+1+2bn,即 3bn+1 = 2bn,所以 bn是首项

5、和公比均为3的等比数列，所以bn = (|)n.从而anbn = n(n+4)(|)n.设数列anbn的最大项为akbk,则有k(k+4)(|)k>(k+1)(k+5)(|)k+1,且 k(k+ 4)(2)4(k-1)(k+3)(|)k-1, 333512所以k2>10,且k22k 9W0,因为k是自然数，解得k = 4.所以数列anbn的最大项为a4b4 = 5T281探究3:已知数列an的首项a1=a, Sn是数列an的前n项和，且满足：S2= 3n2an +,an加，n>2, n C N*.(1)若数列an是等差数列，求a的值；(2)确定a的取值集合 M,使aC M时，

6、数列an是递增数列.解：(1)在 Sn = 3n2an + Sn+1 中分别令 n = 2, n=3,及 21 = 2得(a + a2)2= 12a2+ a2, (a+ a2+ a3)2= 27a3+ (a+ a2)2,因为 an#0,所以 a2=12-2a, a3=3 + 2a.因为数列an是等差数列，所以 a + a3=2a2,即2(12 2a) = a+3+2a,解得a=3./八人宜人-Ei3n(n+1) _3n(n1)r 92经检驯 a = 3 时，an= 3n, Sn =?, Sn 1 =?满足 Sn= 3n an + Sn-1 -(2)由 Sn = 3n?an + S - 1 ,得

7、 Sn Sn -1 = 3n2an,即(Sn+Sn-1)(SnSnT)=3n?an,即(Sn + SnT)an = 3n?an,因为 an 加，所以 Sn + Sn 1 = 3n, (n2),所以 Sn+1 +Sn= 3(n+ 1)2,一，得 an +1 + an = 6n + 3, (n > 2).所以 an+2+an+1= 6n +9,一，得 an+2 an = 6, (n > 2)即数列a2, a4, a6,，及数列a3, a5, a7,都是公差为6的等差数列，因为 a2= 12-2a, a3=3 + 2a.a, n=1,所以an= 3n+ 2a6, n为奇数且n>3,

8、 3n 2a+6, n为偶数，要使数列an是递增数列，须有anvan+i,且当n为偶数时，anvan+i,ai<a2,且当n为大于或等于3的奇数时,即 av 12 2a, 3n+2a-6<3(n+ 1)-2a + 6(n为大于或等于 3的奇数),3n-2a+6<3(n+ 1)+2a 6(n 为偶数),915解得太 av119 15所以M =(4, ?)，当aC M时，数列an是递增数列.1c探究4：首项为正数的数列an满足an 1(a； 3)(n N ),若对一切n N都有an 1 an，则a1的4取值范围是. 0,13,探究5： (1)已知数列an满足a1. _ n ._

9、_ * .、，、一、，、r、1, a2 a1，| an 1 an | 2 (n N ),若数列 a2n 1 单倜递减,数列a2n单调递增，则数列 an的通项公式为an .精选2n 1解：(-2-1 (说明：本答案也可以写成332n 13方法一：先采用列举法得a11,a2 1,a33,a4律，得 烝1 an ( 1)n 12n ,再利用累加法即可；_2n2n 12 , a2 n a2n 12,所以两式相加，得n为奇数)n为偶数5a11,a4 21,然后从数字的变化上找规方法二：因为a2n 1 a2n而a2n 1递减，所以a2n 1又 a2 a，所以 an 1 an(2)已知数列an满足a1a2n

10、 10 ,故 a2n 1 a2n(1)n 12n ,以下同上.1, a2a1，| an 1an |单调递增，则数列 an的通项公式为an .探究6：已知数列dn的通项公式为：dn2n 2n 1a2n 1 a2n 12222n；同理，由 a2n 递增，得 a2n a2n 1 22n 1 ；2n(n N ),若数列1, n 1(2)n 7-,n 23a2n 1单调递减，数列a2n6(3 t)(1 2t),4(n 2t)3n,1,设数列dn 2满足dnan bn,且dn中不存在这样的项dk，使得dk dki与dk dkJ同时成立(其中k 2, k N)，试求实数k的取值范围.解：当 n 2时，dn1

11、 dn 4(n 1 2t)3n1 4(n 2t)3n 8n (2t 3n，所以37 若2t 2,即t ,则dni dn,所以当n 2时，dn是递增数列，故由题意得24di d2,即 6(3 t)(1 2t) 36(2 2t),解得 5 婀 t 5 啊 7444379若2 2t 3,即一t ,则当n 3时，dn是递增数列,244237故由题意得d2 d3,即4(2t 2)34(2t 3)3，解得t 43一 m 3 m 5右 m 2t -m 1(m N,m 3),即一一t 一一(mN, m224242m 34则当2 n m时，dn是递减数列，当n m 1时，dn是递增数列，则由题意，得 dm dm

12、1,即 4(2t m)3m 4(2t m 1)3m1,解得 t综上所述取值范围是5扃 t 5 I97或t 2m 3 (m N,m 2)444(可先借助数形结合观察充要条件，通过画图研究后得不能出现尖底形状)四、真题链接五、反馈检测1.已知数列an的通项公式为an1,一，若对于一切n 1的自然数，不等式 n12 ,an 1 an 2a2n log a (a 1) 2恒成立，则实数a的取值范围为123解：an 1an 2bn 1bna2n12na2n , , bn 1an 2an 3a2n 2a2n 2 a2n 1Hn 111112n 2 2n 1 n 1 2(2n 1)(n 1)n 1,n N

13、, bn 1 bn 0 恒成立;数列bn对n 2, n N上单调递增.(bn )minb2a3 a47-12一；.由题后M知 一10g a (a 1) (bn)min121231oga(a 1)1 又 a 1 ； . 01a途a22. (1)已知数列an的通项公式为an=n+p,数列bn的通项公式为bn=25.设 Cn= ： an<bn，若bn, an>bn)在数列Cn中，C8>Cn(nGN*, nw8),则实数p的取值范围是 . (12, 17)(2)已知数列an的通项公式为an n p,数列bn的通项公式为bn2n 5.设 Cnan,an bn,anbn, bn若在数列C

14、n中，若1080p 2015 恒成立(n N , n8),则在数列Cn中的最大项是第项.3.已知数列an满足:2a工1 2anan3,其首项a1若数列an为单调递增数列，则实数 a的取值范围是4.已知数列an满足:a1a + 2(a > 0)an +aan12(1)若 aan的通项公式;设bnan 1 anbn的前n项和为Sn ,证明:Sn解：(1)若a 0 时，a1 2,an 1用,所以2a21 anan 0 1两边取对数，付 lg 2 + 2lg an 1lgan ,化为 lgan 1+lg2 2(lgan+lg2),一、,1 、，因为1ga1 + lg221g2 ,数列lgan +

15、 lg2是以21g2为首项'2为公比的等比数列.所以lgan + lg22/ 1lg2 ,所以 an 222 nl.由 an 1 Jan； a，得 2a21 an + a , 当 n > 2 时，2a2 an + a , ，2(an 1 + an )(an 1 an) an an 1 ,由已知 an 0 ,所以 an 1 an 与 an an 1 同号.因为a2而彳，且a 0,所以a2 a； (a+2)2(a + 1) a2+3a + 30恒成立，所以a2a1 0，所以 an 1 an 0 .因为bn an 1an ,所以bn (an1 an),所以 Sn(a2a)+ (a?a2

16、)+ L + (an1an)(an1a)aan1a.25.设数列an的前n项和为Sn,且Sn 1 Sn Sn 1 3n 2(n 2,n N ).(1)若an是等差数列，求 an的通项公式;若a11.当a2 i时，试求Soo；若数列an为递增数列，且S3k225，试求满足条件的所有正整数k的值.解：（1）由等差数列求和公式 Sn na1n(n 1)d(aiSni SnSm2(n i)2 (a1l)(n1)(aid、 d/ 八 二)n (n 1)22(a1 f(n D2(3n2 2)3(ai2)n，纲2 2)3(aid)n 3dn2223(aid2)n3n22,3d °3, ai22,解

17、得 d2,ai ian2ni;（说明：也可以设Sn2an bn ;或令n2,n3,先求出首项a1与公差d ）(2)由 Sn iSnSni 3n2 2(n 2),得 SnSn iSn23(n 1)2 2 ,anan 1an 2 6n 3(n 2),S100al(a2 a3 a4) (a5 a6 a7)(a 98 a 99 a 100)ii -(6 223 6 98 3) 33 I0000.（说明：用a2 I,利用分组方法求和，类似给分.)(3)设 a2SnSn i3n22(n2),得 Si S2 S3 I4 与 S23aia314,a3ii2x,3a2a429,a4x 4,io分又SnSniSn

18、 23(ni)22,anan 1an 26n 3(n 2),an ian i6n3(n3),相减得an 26(n 3),a5a2Q数列an为递增数列,aia2a3a411x ,3i2分由S3kaia2a3(a4 a5 a6) % a9) L( a3k 2 a 3k 1 a 3k) ,i22(64 3 6(3k2) 3)(k 1),9k2i4分x 9k27 11222 (,),解得 k 5.3 316分n*6.已知数列 an满足 a 1,|an1 an | p ,n N .(1)若an是递增数列，且a1，2a2,3%成等差数列，求 p的值;1(2)若p 2,且 a2n 1是递增数列， a2n是递

19、减数列，求数列 an的通项公式.解：(1)因为数列an为递增数列，所以为1an0,则 an 1anpn an 1 anpn,分别令n 1,2可得a22ap, a3a2pa2 1p,a3p1,因为a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2 a1 3a34 1 p 1 3 p23p2 p或0 , 3当p 0时，数列an为常数数列不符合数列an是递增数列，所以(2)由题可得an 1ana2n是递减数列，所以a2na2na2n 1a2n 11T2n-1 ,因为2a2n 1是递增数列且a2n 1a2n 1a2n 2a2n又因为a2na2n 1同理可得a2n3 a2n 2a2n则当n 2ma2n 10 且

20、 a2n0 a2n a2na2n 2 a2n 1a2 n 且 a2nm N* 时，a212,a3这2m 1个等式相加可得11a2m a12T 23122m 12 a2na2n 2a2n 1 ,a2a2n 2a2n0,两不等式相加可得a2n 10,即 a2na2n ,所以 a2n 1a2na2n122m 2a3a2m 1122m 1 ,112 22m 1g41 14122m 21 141 g41c _2m 1 .3g2当 n 2m 1 时，a212，a3a2127，a4a323 ,L , a2m 1 a2m122m ,这2m个等式相加可得a2m 1 a1112123122m 1122122 m1

21、111 12 pm7% 27 产% 11111 13 3g22m44a2m 11.2m3g2，当m 0时，a11符合，故a2m 141二 一 c2m 23 3g2综上an434313132,n为偶数7.已知数列an中,an N ,对于任意*n N , anan1,若对于任意正整数 K ,在数列中恰有K个K出现，求a50 = . 10 8.若有穷数列斗各项均不相等，将它的项从大到小重新排序后项的序号.构成的数列称为an的序数1列.如数列：a1, a2, a3满足aa3 a2,则其序数列为 1,3,2.若数列 一 的刖n项和为& , 0的a前n项积为Tn ,且Sn Tn 1 ,记bn kn

22、 2an.(1)若k 9,数列bn的项数为3,求bn的序数列；(2)若k N ,有穷数列bn与Cn项数均为n(n> 5),且它们有相同的序数列，已知 g的通项公式为Cn n (3)n,求k的值. 5解：(1)因为s Tn 1 ,分别令n 1,2,3 ,得 S Ti 1 , S2 T 2 1 , S 3 T 3 1 ,可求出：a1 2,a2 6, a3 12 ,又 bn 9n 2% ,所以 1bl 5, b2 6,0 3所以bn的序数列为2, 1, 3. 6分(2)因为 cn1 cn (3)n3W,55当n 1时，易得c Ci ,当n 2时，g 1 cn,又因 Ci , C3 3(一),C

23、44(1),c4G c3,555即 C2 c3 cle4 LCn ,故数列cn的序数列为2,3,1,4,L ,n 9分由S Tn 1得，Tn 1 Sn> 2 时，Tn 1 1 Sn 1+得,Tn- 1 Sn Sn, Tn 11 Sn 1一 11所以一1一 1,Sn 1 a11所以-是以1为公差的等差数列，且首项为2,S 1S 1所以1Snn 1 ,从而Sn易求得an，所以ann2 n,从而0n n2n2 (k 2)n所以要使数列bn的序数列为2,3,1,4,L ,n ,只需 2解得：10 k 12,又因为kN ,所以k 11.所以当有穷数列bn与cn有相同的序数列时，k的值为11. 16

24、分9.已知数列an的首项为1,其前n项和为6,且& 1 2& a ,其中a R .(1)证明：数列an不是等差数列；1(2)右数列an为等比数列，设bn ，且不等式|b2匕|心b21 |bn 1bn|<b对任意的n N1 an恒成立，求实数b的取值范围.解：(1)由 Sn 1 2Sn a ,则 Sn 2Sn 1 a ,两式相减得 an 1 2an(n> 2)，又 S2 a1 a2 2§ a ,即 a2 a 1 ,则 n>2 时，an (a 1) 2n 2,假设2门是等差数列，则公差为 a2 a1 a ,则a3 2a 1 ,又由an (a 1) 2n

25、2可彳# a3 (a 1) 2 2a 2矛盾，故数列an不是等差数列；一 1,n 1, , c由(1)得ann 2若数列an为等比数列，则(a 1) 21 2 1,(a 1) 2n 2,n"1 b .1 2n 1即a 1,所以a” 2n1,则bn 丁冬，又答 冷不(0,1)，即bn1<H， 1"n因此bn为单调递减数列，则111b2b1|1b3b2| |bn1bn|b2b2b3bn1b1bn121，,一.11由bn为单调递减数列，易知数列 -为单倜递增数列，2 1 2n1 1右|b2b1|b3b2 |bn1bn|<b恒成立，只要- n的取大项小于 b即可，2 1

26、 211.、11111而当n无限大时，1无限接近，且1<1，故b>l. 2 1 2n22 1 2n 2210.己知数列an是公差不为零的等差数列，数列bn是等比数列.(1)若Cnan 1 an bn (nCN*),求证： Cn为等比数列；n124 设Cn anbn (nCN*),其中an是公差为2的整数项数列，bn 一 ，右13C5 2c4 4c3 8c2 16C1,且当n 17时，Cn是递减数列，求数列 an的通项公式;(2)由题意得:Cn 12Cn 对 n 1,2,3,4 恒成立且 CnCn 1对n 17恒成立，5分anbnn1213(2nt)n 112(2n t 2)13n1

27、22 (2n t)1314t 24 28n 对n 1,2,3,4恒成立 t4471213n(2nt)1213(2n t2)t 24 2n对n 17恒成立t 104410 t 一而t Z t 9, 8, 7 7an 2n 7 或 an2n 8 或 an 2n 9.10分11.数列4、bn (n 1,2,3,)由下列条件确定: a10, b10 ；当k 2,k N , ak与bk满足如下条件:ak 1 bk 120时，ak ak 1, bkak 1bk 1ak 1 bk 120时'ak -' bk bk1.(D如果a15,b19 ,试求 a2, b2, a3,4；(2)证明：数列b

28、n an为等比数列;(3)设n(n 2)是满足b1b24bn的最大整数，证明:,ai bin log 2a1a2aib22,0,a2b2b3b22.(2)证明：当k2,k时,当ak ibk i20时,ak ibk2ak ibkiak i-2；当 ak ibk i20时,bkakbk iaki2bk ibk iak i2，当 k 2,k N时，都有bkbk iak i2，数列bn an是以bi ai为首项,i1为公比的等比数列210分(3)证明：由(2)可得bnan(bai, blb2b3bn(n2)bkbk i(2 k n)ak i bk i20,对于2n ，都有akak i, bkak i

29、bk i2, , ala2ai(bi ai)(2)nan bn i , 丁 2aiai(bi a16n%aii n (b1ai)(2).0,则bnanbn2bn ibnai(bii nai)(2) ai(bi1、n i i ai)(二)2i n(biai)(i)0,bnbn i,与n是满足bib2b3bn(n 2)的最大整数相矛盾,anbn 0的最小整数.2ai (bii nai)(2)0biai2 naiai b log 2aii6分i2.已知数列an满足ai xa2 3x , Sn i_2Sn Sn i 3n* 一、.一2(n>2,n N), S是数列小的前n项和.(i)若数列an为

30、等差数列.(i )求数列的通项 an ；(li)若数列bn满足bn 23n ,数列Cn满足g t 23i灯，试比较数列6前n项和Bn与Cn前n项和Cn的大小;(2)若对任意n* 、 > 、 ., N , an an 1恒成立，求实数 x的取值范围.解：(1) ( i )因为Sn 1 Sn Sn1 3n2 2(n>2,n N ),所以0即 a3 2a23a1 14 ,又 a x% 3x,所以 a3 14 9x,又因为数列an成等差数列，所以2a2 ai a3,即6x149x ,解得x1,所以anain 1 d 1 n 1 2 2n 1 n(ii)因为 an 2n 1 n N* ,所以

31、 b 2al 22n 10,其前n项和Bn0,又因为Cnt%n2tbn1bn16t24t 1bn,所以其前n项和Cn16t2 4t 1 Bn,所以 CnBn2 8t22t1 Bn,工或t 41 1一时,2_,1CnBn ；当 t 或 t41 1时,2CnBn；1 ,时，Cn2Bn.由SnSn2Sn 13n2(n>2,n* . _N )知 Sn 2Sn1Sn*2(n N ),两式作差,得an 2an 1 an 6n3(n> 2,n),所以,3kan 2 an 1n 1时,an a113(n)，作差得an 3an6(n> 2,nx；1 时，ana3k 1a23x6k2n3x 43

32、k 时，an a3ka3149x6k2n9x 83k 1 时，an a3k1a46x 6k2n 6x7；因为对任意n*,an an 1恒成立，所以a2 且 a3k 1a3ka3k 1a3kx 3x所以6k6k6k3x9x6x6k6k6k9x6x3xx的取值范围为131513.设非常数数列an满足 an+2 =民击+1 + 6 n 1nC3N* ,其中常数a, 3均为非零实数，且 升酎0.(1)证明：数列(2)已知 a= 1,an为等差数列的充要条件是计2 3= 0 ；-153= a=1, a2=2,求证：数列| an+1- an 1| ( n N* , n或)与数列1n + 2 (nC N*)

33、中没有相同数值的项.a a解：(1)已知数列an, an 2n2a. a充分性：若 2 ,则有q2 一二一包2' 14，得an 2 an 1 an 1 an，所以an为等差数列.4分必要性：若an为非常数等差数列，可令 an kn b (k刈).代入an 1ank(n 1) b (kn b)an 2 ，得 k(n 2) b .化简得2k k,即 20.因此，数列an为等差数列的充要条件是2 3= 0.110分(2)由已知信an2an1an1an.5一 .3又因为a2 al 02an 1an1 n 1 国)( 一)51 n 1(-)(nCN*).5可知数列an 1an (n e N*)为

34、等比数歹U , 所以31 n131从而有 ni2 时,an 1 an (一) , an an 1 (一)252561 n 2于是由上述两式，得12分1an 1an 1 | - (口 2 )556 , 1 . n 2 及 1226由指数函数的单调性可知，对于任意1 an+1-an 1|=5-(-)1(5=56所以，数列| an 1 an 1 |(nN*, n 2)中项均小于等于-.11而对于任息的 n>l时，n+四+25>|,所以数列n+1(nC N*)中项均大于6.5251. 因此，数列| an 1 an 1 |( n N*, n 2)与数列 n+2( n C N*)中没有相同数值

35、的项14.已知an,bn,Cn都是各项不为零的数列，且满足 阚“a2b2LanbnCnSn, n N ,其中Sn是数列an的前n项和，Cn是公差为d(d 0)的等差数列.(1)若数列 an是常数列，d 2, c2 3,求数列bn的通项公式；(2)若ann (是不为零的常数)，求证：数列 bn是等差数列；(3)若阚 c1 d k ( k为常数，k N ), bn cn k (n> 2,n N ),求证：对任意的 n > 2,n N ,数列%单调递减.a解：(1)因为 d 2 , c2 3 ,所以 cn 2n 1, 1 分因为数列an是各项不为零的常数列，所以ai a? L an, Sn