有限元分析——杆系系统计算

1、 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/331杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法 主讲人：杨红林主讲人：杨红林 2014.07.25 2014.07.25 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/332目录目录一、杆系结构的概念与分析原理一、杆系结构的概念与分析原理 1 1、杆系结构定义、杆系结构定义 2 2、杆系结构离散与单元分析、杆系结构离散与单元分析 3 3、平面杆单元的坐标变换、平面杆单元的坐标变换 4 4、整体刚度矩阵的组装、整体刚度矩阵的组装 5 5、整体刚度方程的求解、整体刚度方程的求解二、杆系结构算例二、杆系结构算例 1 1、阶梯直杆算例、阶梯直杆算例 2 2、桁架结构算例、桁架结

2、构算例 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/333一、杆系结构的概念与分析原理一、杆系结构的概念与分析原理1 、杆系结构的定义、杆系结构的定义由 有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构。有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构。2 、杆系结构的离散与分析、杆系结构的离散与分析 一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应设置节点，节点之间的杆件即构成单元。处等都应设置节点，节点之间的杆件即构成单元。如图为桁架结构如图为桁架结构 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/334F节点节点1 1节点节点2 2点

3、2单元F节点节点3 3节点节点2 2单元如图为阶梯直杆的离散如图为阶梯直杆的离散 对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图： 根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：根据势能变分原理，它的刚度矩阵为： 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/335单元的刚度方程为：单元的刚度方程为：其中其中为节点力列阵；为节点力列阵；为节点位移列阵。为节点位移列阵。3 、平面杆单元的坐标变换、平面杆单元的坐标变换 工程实际中，整体坐标系和局部坐标系要相互转化。如下进行推导分析：工程实际中，整体坐标系和局部坐标系要相互转化。如下进行推导分析： 江西五十铃发动机有限公司

4、 技术中心/336平面杆单元的坐标变换平面杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为：局部坐标系中的节点位移为：整体坐标系中的节点位移为：整体坐标系中的节点位移为：两个坐标系下的等价变换关系为：两个坐标系下的等价变换关系为： 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/337写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： 为坐标变换矩阵，即为坐标变换矩阵，即下面推导整体坐标系下的刚度方程，根据势能变分原理可得单元势能下面推导整体坐标系下的刚度方程，根据势能变分原理可得单元势能为：为： 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/338为整体坐标系下的单元刚度矩阵，为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为整体坐标系下的节点力列阵，即

5、：为整体坐标系下的节点力列阵，即：由最小势能原理，对待定的节点位移列阵取极小值，可得到整体坐标系下的刚由最小势能原理，对待定的节点位移列阵取极小值，可得到整体坐标系下的刚度方程度方程4、整体刚度矩阵的组装、整体刚度矩阵的组装 将所得到的各单元的刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵，将所得到的各单元的刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵，即即K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 + 。组装步骤如下：。组装步骤如下： （1）计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵；）计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵； （2）计算各单元从局部坐标系到整体坐标系的转换矩阵；）计算各单元从局部

6、坐标系到整体坐标系的转换矩阵； （3）计算整体坐标系下各单元刚度矩阵；）计算整体坐标系下各单元刚度矩阵； （4）“对号入座对号入座”组装成整体刚度矩阵。组装成整体刚度矩阵。5、整体刚度方程的求解、整体刚度方程的求解 由于整体刚度矩阵是奇异的，它的行列式为零，不能立即求逆；整体分由于整体刚度矩阵是奇异的，它的行列式为零，不能立即求逆；整体分 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/339 若结构的某些节点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可若结构的某些节点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这将总体刚度矩阵中相应的行

7、列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小。例如整体刚度方程为：大大缩小。例如整体刚度方程为： 去行去列法去行去列法析时，结构处于自由状态，在节点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体析时，结构处于自由状态，在节点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移，不能通过平衡方程唯一地解出节点位移，故需处理边界条件。方法有位移，不能通过平衡方程唯一地解出节点位移，故需处理边界条件。方法有删行删列法、分块法、对角元素置一法、乘大数法。删行删列法、分块法、对角元素置一法

8、、乘大数法。边界条件为：边界条件为： ，根据边界条件去行去列，如上图，根据边界条件去行去列，如上图， 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/3310二、杆系结构算例二、杆系结构算例1、阶梯直杆算例、阶梯直杆算例算例一：算例一： 求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：则去行去列后有：则去行去列后有：这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。 江西五十铃发动机有限公司 技术中心/3311图图1：三连杆结构的受力状况：三连杆结构的受力状况1）节点编号和单元划分）节点编号和单元

9、划分图图2：各单元的节点位移和外力：各单元的节点位移和外力2）计算各单元的单元刚度方程）计算各单元的单元刚度方程 单元的刚度方程为：单元的刚度方程为： 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心单元的刚度方程为：单元的刚度方程为：单元的刚度方程为：单元的刚度方程为：3）组装各单元刚度方程）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。12 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心就是节点就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即上的合成节点力。即由已知得：由已知得：为支座的支反力。为支座的支反力。将材料参数和几何尺寸参数代入得：将材料参数和几何

10、尺寸参数代入得：4）处理边界条件并求解）处理边界条件并求解 结构的位移边界条件为：结构的位移边界条件为：并将已知的节点位移和节点力代入得：并将已知的节点位移和节点力代入得：13 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心求解上述方程，有：求解上述方程，有：5）求支反力）求支反力 由上面的方程，可得支反力为：由上面的方程，可得支反力为：6）求各个单元的应变和应力）求各个单元的应变和应力 根据应力和应变的定义可得：根据应力和应变的定义可得：14 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心这样求得各个单元的应力与应变。这样求得各个单元的应力与应变。15算例二：算例二： 所示的四杆桁架结构，各杆的弹性模量和横

11、截面积都为所示的四杆桁架结构，各杆的弹性模量和横截面积都为，试求解该结构的节点位移，单元应力和支反力。，试求解该结构的节点位移，单元应力和支反力。2、桁架结构算例、桁架结构算例 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心16四杆桁架结构四杆桁架结构（1）结构的离散化及编号）结构的离散化及编号 对结构进行离散，单元编号和节点编号，有关单元和节点的信息见表。对结构进行离散，单元编号和节点编号，有关单元和节点的信息见表。四杆桁架结构节点及坐标四杆桁架结构节点及坐标 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心17四杆桁架结构的单元编号及对应节点四杆桁架结构的单元编号及对应节点各单元的长度及轴线方向余弦各单元的

12、长度及轴线方向余弦（2）各个单元的矩阵描述）各个单元的矩阵描述 在整体坐标系下对节点位移和单元刚度矩阵进行表达，各单元经坐标变在整体坐标系下对节点位移和单元刚度矩阵进行表达，各单元经坐标变换后的刚度矩阵如下：换后的刚度矩阵如下： 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心18 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心19（3）建立整体刚度矩阵）建立整体刚度矩阵 将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；同时将将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；同时将所有节点载荷进行组装。所有节点载荷进行组装。刚度矩阵：刚度矩阵：节点位移：节点位移：节点力：节点力： 江西五十铃发动机

13、有限公司/33技术中心20整体刚度方程为：整体刚度方程为：（4）边界条件的处理及刚度方程求解）边界条件的处理及刚度方程求解 边界位移条件为：边界位移条件为：化简后有：化简后有： 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心21对该方程进行求解，有对该方程进行求解，有 则所有的节点位移为：则所有的节点位移为：（5）各单元应力的计算）各单元应力的计算同理，可求出其他单元的应力同理，可求出其他单元的应力 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心22（6）支反力的计算）支反力的计算 根据整体刚度方程，可求得结果为根据整体刚度方程，可求得结果为 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心23算例三：算例三： 五杆桁

14、架结构，各杆的弹性模量与截面积为五杆桁架结构，各杆的弹性模量与截面积为E= pa，A= ，P=2000N，求结构的节点位移、支反力和单元应力。，求结构的节点位移、支反力和单元应力。 五杆桁架结构五杆桁架结构（1）结构离散与编号）结构离散与编号结构离散后进行节点编号与单元编号，结构离散后进行节点编号与单元编号，有关节点与单元的信息见下表。有关节点与单元的信息见下表。节点节点XY10021000320004100100桁架结构节点及坐标桁架结构节点及坐标 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心24单元单元对应节点对应节点1 12 22 23 34 43 34 42 21 14 4桁架结构的单元及对

15、应编号桁架结构的单元及对应编号单元单元L Ln nx xn ny y1001001 10 01001001 10 0100100/2/2- /2- /21001000 0-1-1100100/2/2/2/2各单元长度及方向余弦各单元长度及方向余弦（2）单元分析）单元分析求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵T1 = 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心25=T2=20 K2 =T3 =T4 =T5K1= 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心26K3= K4=20 K5= （3）整体分析）整体分析 将各单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵。将各单

16、元刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵。 刚度矩阵：刚度矩阵：K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 节点位移：节点位移：q= 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心27节点力：节点力：p=整体刚度方程为整体刚度方程为4 . 307 . 0-7 . 02-07 . 0-7 . 0-04 . 17 . 07 . 0-007 . 0-7 . 0-7 . 0-7 . 07 . 07 . 0-00007 . 07 . 0-7 . 0-7 . 202-002-00020000002-0402-7 . 0-7 . 0-00007 . 07 . 07 . 0-7 . 0-0002-7 . 07 . 2=（4）刚度方程求解）刚度方程求解 边界条件为：边界条件为： ，代入方程化简后有，代入方程化简后有 江西五十铃发动机有限公司/33技术中心28vuuvu4432254 . 307 . 02-004 . 17 . 0-007 . 07 . 0-7 . 202-2-0020002-041020000000对方程求解，则所有的节点位移为对方程求解，则所有的节点位移为0191. 000