结构力学-第六章-位移法1

1、3 1结构力学结构力学周周 强强 土木工程学院风工程试验研究中心土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：第6章 位移法 概述概述 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 直接由平衡条件建立位移法基本方程直接由平衡条件建立位移法基本方程 对称性的利用对称性的利用 基基 本本 要要 求求 掌握位移法的基本原理和方法，以及基本未知量和基本结构的确定。 熟悉等截面直杆转角位移方程的意义及位移和内力的符号规定。 熟练掌握荷载作用下的刚架内力计算。 会正确列出位移法基本方程，掌握

2、基本体系典型方程的解法。 能够利用对称性简化计算，会用半结构法。6-1 概述概述位移法：位移法：以结点的位移以结点的位移(角位移和线位移角位移和线位移）为基本未）为基本未知量知量, 运用结点或截面的平衡条件运用结点或截面的平衡条件建立位移法方建立位移法方程程求出未知位移求出未知位移利用位移与内力之间确定利用位移与内力之间确定的关系计算相应的内力。的关系计算相应的内力。力法力法与与位移法位移法是计算超静定结构的两种基本方法。是计算超静定结构的两种基本方法。 力法：力法：以未知力为基本未知量以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立力运用位移协调条件建立力法方程法方程,求出未知力求出未知力,计算出

3、全部的内力和相应的位移。计算出全部的内力和相应的位移。 在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。一、位移法的提出一、位移法的提出6-1 概述概述 位移法位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。 结点结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移

4、。只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力力 法：法：六个未知约束力。六个未知约束力。 位移法：位移法：一个未知位移（一个未知位移（B）。）。ACDlll/2lEI=常数常数BF6-1 概述概述CBl/ l/Fl22三次超静定图示刚架三次超静定图示刚架 力力 法：法：三个未知约束力。三个未知约束力。ACBl/ l/F22 B B位移法：位移法：一个未知位移（一个未知位移（B）。）。6-1 概述概述位移法的基本假定：位移法的基本假定： （1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。形和剪切变形的影响。 （2）变形过程中，杆件的弯曲变形与

5、它的尺寸相比变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持不变。持不变。注意：注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。了减少基本未知量，简化计算。 力法与位移法必须满足的条件：力法与位移法必须满足的条件：1. 力的平衡力的平衡; ; 2. 位移的协调位移的协调; ;3. 力与位移的物理关系。力与位移的物理关系。6-1 概述概述 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：端弯矩为：

6、8284FllEIMFllEIMBCBBBCBABBBAlEIMlEIM24（8-1）ABF B B B BACBl/ l/F22 B Bl 二、位移法思路二、位移法思路B为为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。 由变形协调条件知，各杆在结点由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移端有共同的角位移B。6-1 概述概述ACBl/ l/F22 B Bl ACBl/ l/ABBFF22 B B B B B BBCMBAM考虑结点考虑结点B的平衡条件的平衡条件, ,将将（8-1）代入式（代入式（8-2）得）得0844FllEIlEIBB于是于是 EI

7、FlB6420BCBAMM（8-2）由由MB=0，有有 将将B 回代入公式回代入公式 (8-1) 则各杆的杆端弯矩即可则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。弯矩图。再再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。利用平衡条件作出剪力图和轴力图。 6-1 概述概述位移法思路：位移法思路： 1、设定、设定某些结点的位移某些结点的位移为基本未知量，取为基本未知量，取单个杆件作为计算的基本单元；单个杆件作为计算的基本单元； 2、将、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示单个杆件的杆端力用杆端位移表示, , 而各杆端位移与其所在结点的而各杆端位移与其所在结点的位移

8、相协调位移相协调； 3、由、由平衡条件平衡条件求出基本位移未知量，由此求出基本位移未知量，由此可求出整个结构（所有杆件）内力。可求出整个结构（所有杆件）内力。6-1 概述概述提出问题：提出问题： 1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷载、温度等因素作用下的内力。载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求用力法可以求得得) 2、哪些结点的位移哪些结点的位移作为基本未知量。作为基本未知量。 3、如何确定基本未知量。、如何确定基本未知量。6-1 概述概述FPxy 本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变和支座移动共同作用下单跨梁的

9、内力度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结果。结果。8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 ( (2) )杆件转角杆件转角以顺时针为正以顺时针为正, ,反之为负。杆件两端反之为负。杆件两端在垂直在垂直于杆轴方向上的相对线位移于杆轴方向上的相对线位移AB（侧移侧移）以使）以使杆件顺时针转动为正杆件顺时针转动为正, ,反之为负。反之为负。 ABAB AB位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：MMqF (1) 杆端弯矩杆端弯矩以顺时针为正以顺时针为正, ,反之为负。对反之为负。对结点或结点或支座支座而言而言, ,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆

10、件则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一侧。剪力的规定同前受拉纤维一侧。剪力的规定同前. . A B8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 FPxy取简支梁基本结构取简支梁基本结构11112212112222ABXXXX1. 先求杆端位移引起的弯矩先求杆端位移引起的弯矩 作出作出 、 、 （略）（略）1M2MR11223lEI12216lEI 12ABl 解出解出 12426ABABEIEIEIXlll22246ABABEIEIEIXlll8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 FBAABABBAFABABBAABMliiiMXMliiiMX6246

11、2421其中：其中：lEIi 称杆件的称杆件的。转角位移方程转角位移方程(刚度方程刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation 荷载等外因荷载等外因引起的弯矩成为引起的弯矩成为固端弯矩固端弯矩，同样可，同样可用力法求解，表示用力法求解，表示 ， 。FFABBAMM2. 荷载等外因引起的弯矩荷载等外因引起的弯矩 由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 ABBA两端固定梁两端固定梁一端固定、一端铰支梁一端固定、一端铰支梁一端固定、一端定向支承梁一端固定、一端定

12、向支承梁 仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材料性质有关的常数，一般称为材料性质有关的常数，一般称为形常数形常数。 用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基本结构为以下三种单跨超静定梁法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:仅由荷载产生的杆端内力称为仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力固端内力。AB8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 lFABMMEIABABBAABF SFS BA ABA1 1、两端固定的等截面直杆、两端固定的等截面直杆 记荷载单独作用引记荷载单独作用引

13、起的杆端弯矩分别为起的杆端弯矩分别为 和和 ，杆端剪力分别，杆端剪力分别为为 和和 。FSABFFSBAFFBAMFABM两端固定等截面直杆的转角位移方程。两端固定等截面直杆的转角位移方程。 FF642624BAABABBABAABBAABABABBABAABABMliiiMMliiiM（8-2） 杆端弯矩的一般公式：杆端弯矩的一般公式：8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 lFABMMEIABABBAABF SFS AB ABA杆端剪力的一般为杆端剪力的一般为 FSSFSS)2(6)2(6BAABBAABBAABABBAABABFlliFFlliF 由两端固定等截面由两端

14、固定等截面直杆的转角位移方程可直杆的转角位移方程可得到其他支撑的转角位得到其他支撑的转角位移方程。移方程。 （8-3）8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 2、一端固定、一端铰支的等截面直杆、一端固定、一端铰支的等截面直杆lABFFBAEIA BASFBASAMAB033BAABABABAABABMMliiMF 令式（令式（8-2）的）的MBA=0,B 是是A 和和AB的函数，转角位的函数，转角位移方程为移方程为 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 可见：可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆在基本未知量和荷载共

15、同作用下的弯矩的叠加公式，在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式，它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。AMFABABEIABABBMBASlFABSFBAA 3、一端固定、一端定向的等截面直杆一端固定、一端定向的等截面直杆 令式（令式（8-3）的）的FSBA=0,AB是是A 和和B的的函数，转角位移方程函数，转角位移方程为为 FFBABABAABBAABBABAABABMiiMMiiM8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 结点角位移基本未知量数目结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。刚结点的数目。 注意：在忽略的直

16、杆的轴向变形时，受弯直杆两注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。端之间的距离保持不变。一、位移法基本未知量的确定一、位移法基本未知量的确定 铰结点处铰结点处(包括铰支座处的铰结点包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移独立的结点角位移和独立的结点线位移8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构 2. 确定独立结点线位移的方法确定独立结点线位移的方法 观察观察法、换铰法。法、换铰法。 结构有结构有1个独立的线位移（个

17、独立的线位移（Z3），），2个独立的结点个独立的结点角位移（角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。），共三个位移法的基本未知量。观察法观察法8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构只需增加一根链杆，只需增加一根链杆， 1 1个独立的线位移个独立的线位移 对于不易观察的结构用对于不易观察的结构用换铰法换铰法。 先将原结构的每一个刚结点先将原结构的每一个刚结点( (包括固定支座包括固定支座) )都都变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目为保持该体系为几何不变所需增加链杆的

18、最少数目就是原结构独立的结点线位移的数目。就是原结构独立的结点线位移的数目。8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量的数目为位移法的基本未知量的数目为6个。个。 需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。变形后两端之间的距离不能看作是不变的。 需增加两根链杆，需增加两根链杆， 2个独立的线位移。个独立的线位移。ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222结构有四个刚结点结构有四个刚结点四个结点角位移。四个结点角位移。8-3 位

19、移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？ 答：结点答：结点1和和2的水平线位移都是独立的，独立的水平线位移都是独立的，独立结点线位移数目应为结点线位移数目应为2。EA oo1122默认状态默认状态: : EI 不等于无穷大不等于无穷大, , EA 等于无穷大。等于无穷大。8-3 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本未知量基本未知量: 结点结点1的转角的转角Z1和水平线位移和水平线位移Z2。二、位移法的基本结构二、位移法的基本结构 基本结构：基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所得对原结构添加一定数量的附加约束所得到