D104对面积曲面积分ppt课件

1、第四节第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分对面积的曲面积分 第十章 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: : 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, ,采用采用kkkkS),(可得可得nk 10limM),(kkk “ “大化小大化小, ,常代变常代变, ,近似和近似和, ,求极求极限限” ” 的方法的方法, ,量量M.其中其中, 表示表示n小块曲面的直径的小块曲面的

2、直径的最大值最大值( (曲面的直径为其上任意两点间距离的曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者最大者). ). 求质求质 SzyxMd),(定义定义:设设为光滑曲面为光滑曲面,“乘积和式极限乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,的曲面积分的曲面积分Szyxfd),(其中其中f(x,y,z)叫做被积叫做被积据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为SSdf(x,y,z)是定义在是定义在 上的一上的一 个有界函数个有界函数,记作记作或第一类曲面积分或第一类曲面积分.若对若对做任意分割和局部区域任意取点做任意分割和局部区域任意取点, 则称此

3、极限为函数则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面在曲面上对面积上对面积函数函数, 叫做积分曲面叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21则有则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面上连续上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 假设假设是分片光滑是分片光滑的的,例如分成例如

4、分成两片光滑曲面两片光滑曲面定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在在上连续上连续,存在存在, 且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分则曲面积分证明证明: 由定义知由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limoxyzyxD),(kkkyxk)(kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(

5、),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而而( ( 光滑光滑) )说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式可有类似的公式.1)如果曲面方程为如果曲面方程为2)若曲面为参数方程若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下只要求出在参数意义下dS 的表达式的表达式, 也可将对面积的曲面积分转化为对参数也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分的二重积分. (见本节后面的例见本节后面的例4,

6、例例5) yxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中其中是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的顶部截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha考虑考虑:假设假设是球是球面面2222azyx被平行平面被平行平面z =h截截出的上下两部分出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa那么那么hoxhzy例例2. 2. 计算计算,dSzyx其中其中是由平面是由平面坐标面所围成

7、的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. . ozyx111解解: : 设设上的部分上的部分, ,那那么么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式原式= = 分别表示分别表示 在平面在平面 o例例3. 设设2222:azyx),(zyxf计算计算.d),(SzyxfI解解: 锥面锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面

8、夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分, 它在它在xoy面面上的投影域为上的投影域为xzy1yxD那么那么 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd1xozyyxD考虑考虑: 若例若例3中被积函数改为中被积函数改为 ),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何计算结果如何? 例例4. 求半径为求半径为R的均匀半球壳的均匀半球壳的重心的重心.解解: 设设的方程为的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标利用对称性可知重心的坐标,0 yx而而 z 2223

9、RRR用球坐标用球坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题: 例例3是否可用球面坐标计算是否可用球面坐标计算?例例5.5.计算计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: :取球面坐标系取球面坐标系, ,那那么么,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d例例6. 计算计算,d)(22SyxI其中其中是球是球面面22yx 利用对称性可知利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(414

10、2解解: 显然球心为显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为半径为3x利用重心公式利用重心公式SxdSd).(22zyxz例例7. 7. 计算计算,d222zyxSI其中其中是介于平是介于平面面分析分析: : 若将曲面分为前后若将曲面分为前后( (或左右或左右) )zRSd2d那么那么HzRzRI022d2RHarctan2之间的圆柱面之间的圆柱面.222RyxHzz ,0zzdoHxyz解解: : 取曲面面积元素取曲面面积元素两片两片, , 则计算较繁则计算较繁. . 例例8. 求椭圆柱面求椭圆柱面19522yx位于位于xoy面上方及平面面上方及平面 z = y下方那部分柱面下方那部分

11、柱面的侧面积的侧面积S. 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosdcos453025ln4159oyxzLsdzszSddttttdcos9sin5sin3220syLd例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度距地面高度 h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径地球半径R=6400km)解解: R建立坐标系如图建立坐标系如图, 覆盖曲面覆盖曲面的的半顶角为半顶角为, 利用球

12、坐标系利用球坐标系, 那那么么ddsind2RS 卫星覆盖面积为卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22yzxohR 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知由以上结果可知,卫星覆盖了地球卫星覆盖了地球 31以上的面积以上的面积, 故使用三颗相隔故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求此题也可用二重积分求A(见下册见下册P109例例2). yz

13、xohR R内容小结内容小结1.1.定义定义: :Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2.2.计算计算: :设设,),( , ),(:yxDyxyxzz那那么么Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd( (曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) ) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式心公式 简化计算的技巧简化计算的技巧. . 思考与练习思考与练习P158 题题1；3；4(1); 7 解答提示解答提示:P158 题题1.SzyxzyIxd),()(22P158 题题3. ,),( ,0:yxD

14、yxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设设那那么么0P184 题题2P158 P158 题题4(1).4(1). 在在xoyxoy面上的投影域为面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是这是的面积的面积! !oyxz22xyD)(2:22yxzP159 P159 题题7. 7. 如下图如下图, ,有有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320136152tttd)1(302221rt令o1yxDx2zP184 题题2. 设设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分一卦限中的部分, 则有则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC(2000考研考研)1. 已知曲面壳已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面z1以上部分以上部分的的的面密度的面密度质量质量M. 解解: 在在xoy面上的投影为面上的投影为 ,2:22 yxDyx故故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(41322132