人教版高中数学222第2课时对数函数及其性质的应用ppt课件

1、第2课时 对数函数及其性质的应用类型类型 一一 对数函数单调性的应用对数函数单调性的应用 【典型例题】【典型例题】1.(20191.(2019大庆高一检测大庆高一检测) )已知已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,那么那么( )( )A.bac B.cbaA.bac B.cbaC.cab D.bcaC.cab D.bca2.2.已知已知logm7logn70logm7logn70,f(x)=loga(x-1)(a0,且且a1),g(x)=loga(3-x)(a0,a1),g(x)=loga(3-x)(a0,且

2、且a1).a1).(1)(1)求函数求函数h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)的定义域的定义域. .(2)(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)g(x)f(x)g(x)中中x x的取值的取值范围范围【解题探究】【解题探究】1.1.比较题比较题1 1中这三个对数的大小时可以选取什么中这三个对数的大小时可以选取什么数作为中间量？同底数的两个对数如何比较大小？数作为中间量？同底数的两个对数如何比较大小？2.2.真数相同的两个对数比较大小可以用什么方法？真数相同的两个对数比较大小可以用什么方法？3.3.解对数不等式的依据是什么？对数的底数含有

3、字母时解对数不等式的依据是什么？对数的底数含有字母时, ,解对解对数不等式要注意什么？数不等式要注意什么？探究提示：探究提示：1.1.可以选取可以选取“1 1作为中间量作为中间量. .同底数的两个对数比较大小同底数的两个对数比较大小, ,可可以利用对数函数的单调性由真数的大小推出相应对数的大小以利用对数函数的单调性由真数的大小推出相应对数的大小. .2.2.真数相同的两个对数比较大小真数相同的两个对数比较大小, ,可以根据不同底数对数函数可以根据不同底数对数函数的图象分析，也可以利用换底公式转化为同底对数进行比较的图象分析，也可以利用换底公式转化为同底对数进行比较. .3.3.解对数不等式可以

4、利用对数函数的单调性由对数的大小推解对数不等式可以利用对数函数的单调性由对数的大小推出真数的大小出真数的大小. .对数的底数含有字母时，解对数不等式要注意对数的底数含有字母时，解对数不等式要注意分底数大于分底数大于1 1和大于零且小于和大于零且小于1 1两类讨论两类讨论. .【解析】【解析】1.1.选选D.D.因为函数因为函数y=log2xy=log2x在在(0,+)(0,+)上是增函数，且上是增函数，且3.623.62，所以，所以log23.6log22=1,log23.6log22=1,因为函数因为函数y=log4xy=log4x在在(0,+)(0,+)上是增函数，且上是增函数，且3.23

5、.643.23.64，所以，所以log43.2log43.6log44=1,log43.2log43.6log44=1,所以所以log43.2log43.6log23.6log43.2log43.6log23.6，即，即bca.bca.2.2.方法一：根据题意，作出函数方法一：根据题意，作出函数y=logmxy=logmx，y=lognxy=lognx的图象如图所示：的图象如图所示：由图象可知由图象可知0nm1.0nm1.方法二：因为方法二：因为logm7logn70,logm7logn70,所以所以 即即所以所以log7m0,log7n0,log7m0,log7n0,log7mlog7n0,

6、所以所以即即log7nlog7m0=log71,log7nlog7m0=log71,所以所以0nm1.0nm1.答案：答案：0nm10nm17777log 7log 70log mlog n ，77110,log mlog n777777log m log nlog m log n0,log mlog n3.(1)3.(1)要使函数要使函数h(x)=f(x)-g(x)=loga(x-1)-loga(3-x)h(x)=f(x)-g(x)=loga(x-1)-loga(3-x)有意有意义，需有义，需有 解得解得1x3,1x1a1时，有时，有 解得解得2x3.2x3.当当0a10a1时，有时，有 解

7、得解得1x2.11a1时，不等式时，不等式f(x)g(x)f(x)g(x)中中x x的取值范围为的取值范围为2,3)2,3)；当当0a10a1时，不等式时，不等式f(x)g(x)f(x)g(x)中中x x的取值范围为的取值范围为(1,2(1,2. .x10,3x0,x13x, x10,3x0,x13x, 【拓展提升】【拓展提升】1.1.比较对数值大小时常用的三种方法比较对数值大小时常用的三种方法2.2.两类对数不等式的解法两类对数不等式的解法(1)(1)形如形如logaf(x)logag(x)logaf(x)logag(x)的不等式的不等式. .当当0a10ag(x)0f(x)g(x)0；当当

8、a1a1时，可转化为时，可转化为0f(x)g(x).0f(x)g(x).(2)(2)形如形如logaf(x)blogaf(x)b的不等式可变形为的不等式可变形为logaf(x)b=logaab.logaf(x)b=logaab.当当0a10aabf(x)ab；当当a1a1时，可转化为时，可转化为0f(x)ab.0f(x)ab.【变式训练】若实数【变式训练】若实数a a满足满足loga 1loga 1，求，求a a的取值范围的取值范围. .【解析】不等式【解析】不等式loga 1loga 1可化为可化为loga logaa,loga 1a1或或0a0a1a1或或0a0a0f(x)=logax(a

9、0，且，且a1)a1)在区间在区间a,2aa,2a上的最大值上的最大值是最小值的是最小值的3 3倍，求倍，求a a的值的值. .【解题探究】【解题探究】1.1.求形如求形如y=logaf(x)y=logaf(x)的函数的值域，可以转化的函数的值域，可以转化为求哪两个函数的值域问题？为求哪两个函数的值域问题？2.2.要求出函数要求出函数f(x)f(x)在区间在区间a,2aa,2a上的最大值和最小值，需上的最大值和最小值，需要知道函数要知道函数f(x)f(x)在区间在区间a,2aa,2a上的什么性质？上的什么性质？探究提示：探究提示：1.1.可以转化为求关于可以转化为求关于x x的函数的函数u=f

10、(x)u=f(x)的值域和关于的值域和关于u u的函数的函数y=logauy=logau的值域的值域. .2.2.要知道函数要知道函数f(x)f(x)在区间在区间a,2aa,2a上的单调性上的单调性. .【解析】【解析】1.1.因为因为3x+103x+10对任意对任意xRxR都成立，所以函数都成立，所以函数y=log3(3x+1)y=log3(3x+1)的定义域是的定义域是R,R,令令u=3x+1u=3x+1，则，则y=log3u,y=log3u,由由xRxR得得u=3x+1(1,+).u=3x+1(1,+).又因为关于又因为关于u u的函数的函数y=log3uy=log3u在在(1,+)(1

11、,+)上为增函数上为增函数, ,所以由所以由u(1,+)u(1,+)得得y=log3u(0,+).y=log3u(0,+).所以函数所以函数y=log3(3x+1)y=log3(3x+1)的值域为的值域为(0,+).(0,+).答案：答案：(0,+)(0,+)2.(1)2.(1)当当a1a1时，时，f(x)=logaxf(x)=logax在区间在区间a,2aa,2a上是增函数上是增函数, ,f(x)max=f(2a)=loga(2a),f(x)max=f(2a)=loga(2a),f(x)min=f(a)=logaa=1,loga(2a)=3f(x)min=f(a)=logaa=1,loga(

12、2a)=31,2a=a3,1,2a=a3,又又a1,a2=2,a=a1,a2=2,a=2.(2)(2)当当0a10a1时，时，f(x)=logaxf(x)=logax在区间在区间a,2aa,2a上是减函数，上是减函数，f(x)max=f(a)=logaa=1,f(x)max=f(a)=logaa=1,f(x)min=f(2a)=loga(2a),f(x)min=f(2a)=loga(2a),3loga(2a)=1,2a= 8a3=a3loga(2a)=1,2a= 8a3=a，又，又0a1,0a0f(x)=loga(x+1)(a0且且a1)a1)的定义域和的定义域和值域都是值域都是0,10,1，

13、则，则a a等于等于( )( )A. B. C. D.2A. B. C. D.2【解题指南】先由【解题指南】先由xx0,10,1求出求出x+1x+1的范围，再利用对数函的范围，再利用对数函数的单调性，分两种情况求出数的单调性，分两种情况求出loga(x+1)loga(x+1)的范围，最后根据值的范围，最后根据值域为域为0,10,1求出求出a a的值的值. .13222【解析】选【解析】选D.D.因为函数因为函数f(x)=loga(x+1)(a0f(x)=loga(x+1)(a0且且a1)a1)的定义域的定义域和值域都是和值域都是0,10,1, ,所以所以0 x10 x1，1x+12.1x+12

14、.(1)(1)当当a1a1时，时，0=loga1loga(x+1)loga2=1,0=loga1loga(x+1)loga2=1,所以所以a=2.a=2.(2)(2)当当0a10a1时时,loga2loga(x+1)loga1=0,loga2loga(x+1)loga1=0,与值域是与值域是0,10,1矛盾矛盾. .综上所述，综上所述，a=2.a=2.类型类型 三三 对数函数性质的综合应用对数函数性质的综合应用 【典型例题】【典型例题】1.(20191.(2019北京高一检测北京高一检测) )设偶函数设偶函数f(x)=loga|x-b|f(x)=loga|x-b|在在(-,0)(-,0)上是增

15、函数，则上是增函数，则f(a+1)f(a+1)与与f(b+2)f(b+2)的大小关系是的大小关系是( )( )A.f(a+1)=f(b+2)A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)f(b+2)B.f(a+1)f(b+2)C.f(a+1)f(b+2)D.D.不确定不确定2.(20192.(2019双鸭山高一检测双鸭山高一检测) )已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，且且x0 x0时，时，(1)(1)求求f(1)f(1)，f(-1).f(-1).(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的表达式的表达式. .(3)(3)若若f(a-1)-f(3-a)0f(a-

16、1)-f(3-a)0，求，求a a的取值范围的取值范围. . 12f xlogx7【解题探究】【解题探究】1.1.奇函数和偶函数的定义域有什么特征？由此奇函数和偶函数的定义域有什么特征？由此可以求出可以求出b b的值吗？的值吗？a+1a+1与与b+2b+2的大小关系和的大小关系和f(a+1)f(a+1)与与f(b+2)f(b+2)的的大小关系有什么联系？大小关系有什么联系？2.2.题题2 2中求函数中求函数f(x)f(x)的表达式，关键是求自变量在各取值范围的表达式，关键是求自变量在各取值范围内取值时的表达式内取值时的表达式. .如何利用如何利用f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系求

17、表达式？的关系求表达式？探究提示：探究提示：1.1.奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，由此可以求出奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，由此可以求出b b的的值值. .根据函数根据函数f(x)f(x)的单调性可以由的单调性可以由a+1a+1与与b+2b+2的大小关系推出的大小关系推出f(a+1)f(a+1)与与f(b+2)f(b+2)的大小关系的大小关系. .2.2.函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是R R，求其表达式关键是求，求其表达式关键是求x0 x0和和x=0 x=0时时f(x)f(x)的表达式的表达式. .函数函数f(x)f(x)是奇函数，可利用是奇函数，可利用f(x)=-f

18、(-x)f(x)=-f(-x)求表求表达式达式. .【解析】【解析】1.1.选选C.C.因为偶函数因为偶函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-,b)(b,+)(-,b)(b,+)，所以所以b=0.b=0.于是于是f(x)=loga|x|f(x)=loga|x|，又因为函数，又因为函数f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是递增函数，上是递增函数，所以函数所以函数f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是递减函数，即函数上是递减函数，即函数y=logaxy=logax在在(0,+)(0,+)上是递减函数，故上是递减函数，故0a1.0a1.因为因为1a+121a+12，b+2=2,b+

19、2=2,所以所以1a+1b+2,1a+1f(b+2).f(a+1)f(b+2).2.(1)f(1)= =-32.(1)f(1)= =-3，f(-1)=-f(1)=3.f(-1)=-f(1)=3.(2)(2)因为因为f(x)f(x)在在R R上为奇函数，上为奇函数，所以所以f(0)=0,f(0)=0,令令x0 x0-x0，所以，所以f(x)=-f(-x)=f(x)=-f(-x)=所以所以12log 812log ( x7), 1212logx7 ,x0,f x0,x0,logx7 ,x0. (3)(3)设设x1,x2(0,+)x1,x2(0,+)且且x1x2,x1x1+70 x2+7x1+70，

20、所以，所以0 10 0 x0时，时，f(x)f(0)=0,f(x)f(0)=0,f(x)= f(x)= 在在0,+)0,+)上为减函数，上为减函数，112111212222x7f xf xlogx7log (x7)log,x712x7x7112122x7f xf xlog0.x712log (x7)12log (x7)又又f(x)f(x)在在R R上为奇函数，图象关于原点对称上为奇函数，图象关于原点对称, ,f(x)f(x)在在R R上为减函数上为减函数. .由于由于f(a-1)f(3-a)f(a-1)3-a,a-13-a,a2.a2.【互动探究】题【互动探究】题2 2中，若函数中，若函数f(

21、x)f(x)是偶函数，试求当是偶函数，试求当x0 x0时，时，函数函数f(x)f(x)的表达式的表达式. .【解析】令【解析】令x0 x0-x0，因为函数，因为函数f(x)f(x)是偶函数是偶函数, ,所以所以f(x)=f(-x)=f(x)=f(-x)=故当故当x0 x0g(x)0；g(f(x)g(f(x)(log2x)2(log2x)2log2xlog2x中需要中需要x0.x0.(2)(2)判断判断y ylogaf(x)logaf(x)型或型或y yf(logax)f(logax)型函数的奇偶性，首先型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，其次再利用奇偶性定义判断要注意函数中变量的范围，

22、其次再利用奇偶性定义判断【变式训练】设【变式训练】设f(x)=lg(10 x+1)+axf(x)=lg(10 x+1)+ax是偶函数，那么是偶函数，那么a a的值为的值为_._.【解析】对于任意【解析】对于任意xRxR都有都有10 x+10,10 x+10,所以所以f(x)=lg(10 x+1)+axf(x)=lg(10 x+1)+ax的定义域是的定义域是R,R,由题意知由题意知lg(10-x+1)+a(-x)=lg(10 x+1)+ax,lg(10-x+1)+a(-x)=lg(10 x+1)+ax, -ax=lg(10 x+1)+ax, -ax=lg(10 x+1)+ax,lg(10 x+1

23、)-lg10 x-ax=lg(10 x+1)+ax,lg(10 x+1)-lg10 x-ax=lg(10 x+1)+ax,整理得整理得(2a+1)x=0(2a+1)x=0对任意对任意xRxR都成立都成立, ,所以所以2a+1=02a+1=0，答案：答案：xx101lg101a.2 12 复合函数的单调性复合函数的单调性【典型例题】【典型例题】1.1.已知已知y=loga(2-ax)y=loga(2-ax)在在0,10,1上是关于上是关于x x的减函数，则的减函数，则a a的取的取值范围是值范围是( )( )A.(0,1) B.(1,2)A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.C.(0

24、,2) D.2,+)2,+)2.2.函数函数 其中其中x(-,-3)(1,+)x(-,-3)(1,+)的单调递的单调递增区间是增区间是_._.3.3.证明函数证明函数f(x)=log2(x2+1)f(x)=log2(x2+1)在在(0(0，+)+)上是增函数上是增函数. .212ylogx2x3，【解析】【解析】1.1.选选B.B.令令u=2-ax,u=2-ax,a0,a0,且且a1,a1,u=2-axu=2-ax在在0,10,1上是关于上是关于x x的减函数的减函数. .又又y=loga(2-ax)y=loga(2-ax)在在0,10,1上是关于上是关于x x的减函数，的减函数，函数函数y=

25、logauy=logau是关于是关于u u的增函数，且对的增函数，且对xx0,10,1时，时，u=2-axu=2-ax恒为正数恒为正数, ,a1a1且且xx0,10,1时时,umin=2-a0,1a0,1a2.2.2.令令u=x2+2x-3u=x2+2x-3，那么，那么u=x2+2x-3=(x+1)2-4,u=x2+2x-3=(x+1)2-4,函数函数u=x2+2x-3u=x2+2x-3图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=-1,x=-1,函数函数u=x2+2x-3u=x2+2x-3在在(-,-3)(-,-3)上是减函数，在上是减函数，在(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数. .又又函数

26、函数 在在(0(0，+)+)上是减函数上是减函数. .根据复合函数单调性根据复合函数单调性“同增异减的法则可知，同增异减的法则可知，函数函数 的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-3).(-,-3).答案：答案：(-,-3)(-,-3)12ylog u,12ylog u212ylogx2x33.3.设设x1x1，x2(0 x2(0，+)+)，且，且x1x1x2x2，则则f(x1)f(x1)f(x2)=f(x2)=00 x1x1x2x2，0 +100f(x)0，当当a1a1时，时，y=logaf(x)y=logaf(x)的单调性在的单调性在f(x)0f(x)0的前提下与的前提下与y=f(x)y

27、=f(x)的的单调性一致单调性一致. .当当0a10a0f(x)0的前提下与的前提下与y=f(x)y=f(x)的单调性相反的单调性相反. .【规范解答】对数型函数的值域问题【规范解答】对数型函数的值域问题【典例】【典例】 【条件分析】【条件分析】【规范解答】【规范解答】即即 1 1分分 log2x3. 2 log2x3. 2分分 =(log2x-log22)(log2x-log24) 4=(log2x-log22)(log2x-log24) 4分分=(log2x-1)(log2x-2). 6=(log2x-1)(log2x-2). 6分分1233log x,2 22log x3312log2,

28、 2log x33.12 32 22xxf xloglog24令令t=log2x,t=log2x,那么那么 t3,t3,f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t- )2- f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t- )2- . 8. 8分分 t3, t3,f(x)max=g(3)=2, 10f(x)max=g(3)=2, 10分分f(x)min=g( )f(x)min=g( )= 11= 11分分函数函数 的值域为的值域为 2 2. 12. 12分分32321432321.4 22xxf xloglog241,4【失分警示】【失分警示】【防范措施】【防范措施】1.1.重视对数运算性

29、质的应用重视对数运算性质的应用恰当应用对数的运算性质，可以实现简化函数解析式的目的恰当应用对数的运算性质，可以实现简化函数解析式的目的. .例如例如, ,本题中本题中 均可化为用均可化为用log2xlog2x表示的形式表示的形式. .2.2.分析复杂函数与基本初等函数的关系分析复杂函数与基本初等函数的关系化未知为已知，化复杂为简单是解答数学问题的基本思路化未知为已知，化复杂为简单是解答数学问题的基本思路. .例例如如, ,本题中通过转化变形最终只要解答本题中通过转化变形最终只要解答t=log2xt=log2x，g(t)=(t-1)(t-2)g(t)=(t-1)(t-2)两个函数的值域问题即可两

30、个函数的值域问题即可. .1222xxlog xloglog24，【类题试解】【类题试解】(2019(2019黔西南高一检测黔西南高一检测) )设函数设函数y=f(x)y=f(x)且且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x).lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x).(1)(1)求求f(x)f(x)的解析式及定义域的解析式及定义域. .(2)(2)求求f(x)f(x)的值域的值域. .【解析】【解析】(1)(1)由于由于 解得解得0 x30 x3，所以函数的定义域是，所以函数的定义域是(0,3).(0,3).因为因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),lg(lgy)=lg(3

31、x)+lg(3-x),所以所以lgy=3x(3-x),lgy=3x(3-x),所以所以y=103x(3-x).y=103x(3-x).(2)(2)令令u=3x(3-x)u=3x(3-x)，则，则y=10u.y=10u.因为因为u=3x(3-x)=-3u=3x(3-x)=-3(x- )2- (x- )2- , ,且且x(0,3),x(0,3),所以所以u(0, u(0, ，又因为函数又因为函数y=10uy=10u在在(0, (0, 上是关于上是关于u u的增函数的增函数, ,所以函数所以函数f(x)f(x)的值域为的值域为(1, (1, . .3x0,3x0,3294274274274101.1

32、.若若log2a1log2a1，那么，那么( )( )A.0a1,b1,b0A.0a1,b1,b0C.0a0 D.a1,b0C.0a0 D.a1,b0【解析】选【解析】选A.A.函数函数y=log2xy=log2x在在(0(0，+)+)上为增函数，上为增函数，由由log2a0=log21,log2a0=log21,得得0a1.0a1=( )0,( )b1=( )0,得得b0.b0.121212122.2.函数函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)为为( )( )A.A.奇函数奇函数B.B.偶函数偶函数C.C.既是奇函数又是偶函数既是

33、奇函数又是偶函数D.D.既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数【解析】选【解析】选A.A.由由 得得-1x1.-1x1.所以函数所以函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-1,1).(-1,1).f(f(x)x)loga(1loga(1x)x)loga(1+x)loga(1+x)=-=-loga(1loga(1x)x)loga(1loga(1x)x)=-f(x),=-f(x),所以函数所以函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .1x0,1x0,3.3.函数函数 的定义域为的定义域为( )( )A.(0A.(0，+) B.+) B.1,+)1,+)C.C.3,+) D.(0,3)3,+) D.(0,3)【解析】选【解析】选B.B.由由log3x0log3x0得得log3xlog31,log3xlog31,故故x1.x1.所以函数所以函数 的定义域为的定义域为1,+).1,+).3ylog x3ylog x4.4.函数函数y=2+log2x(x1)y=2+log2x(x1)的值域是的值域是_._.【解析】【解析】y=log2xy=log2x在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数, ,由由x1x1得得y=log2xlog21=0,y=2+log2x2,y=log2xlog21=0,y=2+log2x2,函数函数y=2+log2x