高等数学课件：6 空间曲线及其方程

1、6 空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？

2、6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线

3、线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 例例 3 3 如如果果空空间间一一点点M在在圆圆柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 绕绕z轴轴旋旋转转，同同时时又又以以线线速速度度v沿沿平平行行于于z轴轴的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常数数），那那么么点点M构构成成的的图图形形叫叫做做螺螺旋旋线线试试建建立立其其参参数数方方程程A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin

4、 vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲

5、线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投

6、影曲线投影曲线xoy2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13例例5 5 求抛

7、物面求抛物面xzy 22与平面与平面 02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1

8、6例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy. 122 yx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结空间

9、曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20思考题解答思考题解答,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy

10、.0122 zyx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲面曲面zyx10922 与与yoz平面的交线是平面的交线是_；2 2、 通过曲线通过曲线162222 zyx, ,0222 yzx，且，且 母线平行于母线平行于y轴的柱面方程是轴的柱面方程是_；3 3、 曲线曲线01, 0332322 zyzxyzzx在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程组方程组 3215xyxy在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_；5 5、 方程组方程组 319422yyx在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_ _ _，在空间解析几

11、何中表示，在空间解析几何中表示_；练练 习习 题题2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系226 6 、旋转抛物面、旋转抛物面22yxz ( (40 z) ) 在在xoy面的投影为面的投影为_， 在在yoz面的投影为面的投影为_， 在在zox面上的投影为面上的投影为_._.二、二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：画出下列曲线在第一卦限的图形：1 1、 0422yxyxz2 2、 222222azxayx三三、 将将曲曲线线 xyzyx9222化化为为参参数数方方程程2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系23四、四、 求螺旋线求螺旋线 bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲

12、线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程的直角坐标方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所围成的立体，在所围成的立体，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . .2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系24一、一、1 1、 09102xzy； 2 2、1623 ,1632222 zxzy；3 3、 0032422yxzx；4 4、两直线的交点、两直线的交点, ,两平面的交线；两平面的交线；5 5、椭圆与其一切线的交点、椭圆与其一切线的交点, ,椭圆柱面椭圆柱面19422 yx与与其切平