第九章第节多元函数的基本概念

1、2 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念 3（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的

2、点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集4的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 5连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41

3、| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo60| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx7（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个

4、点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.1 内点一定是聚点；内点一定是聚点；2 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点83 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合9（4）n维空间维空间1 n维空间的记号为维

5、空间的记号为;nR2 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 10),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为11（5）二元函数的定义）二元函数的定义:长方形面积长方形面积xySxyS 00yx,:上半单位球面方程上半单位球面方程221yxz

6、xzyo),(),(122yxyxDyx12当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数:定义定义13:说明说明;会求函数的定义域会求函数的定义域xyz 0 xyD:xyoyxz111 yxD:xy14例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 15二元函数的图形通常是一

7、张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.的图形的图形二元函数二元函数),()(yxfz 616xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:17图形图形)(221yxzxyzo221yxzxyz18二、多元函数的极限:一元函数一元函数Axfxx)(lim0语言）语言）( 为一常数，为一常数，点某去心邻域内有定义点某去心邻域内有定义在在设设Axxf0)(, 0 恒有恒有时时使当使当总总,0, 00 xx.)( Axf的极限，的极限，当当叫做叫做则称则称0)(xxxfA:

8、类类似似),(yxfz 对对,),(,),(),(AyxfyxPyxP点时点时如果当如果当000为极限为极限以以时时则称当则称当Ayxfyyxx),(,0019 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为),(,000yxPD是其聚点， 如果对于任意给定的正数是其聚点， 如果对于任意给定的正数 ， 总存在正， 总存在正数数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限

9、， 记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 定义1)(语言语言 APfPP)(lim0或或:多元函数的极限多元函数的极限20说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxxAPfPPAPfPP)(,)(lim)(时时以任意方式趋于以任意方式趋于0030P21例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx012222yxyxsin)(22221sinyxyx 22yx , 0 , 取取当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222y

10、xyx原结论成立原结论成立 012222yxyxsin)(要使要使, 22yx只要只要22;)(法求二元函数的极限法求二元函数的极限用一元函数求极限的方用一元函数求极限的方411300 xyxyyxlim例例xyxyxyyx)(lim11002yxxyxx21140)(lim例例yxxxyxx)(lim110e23例例5 5 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)si

11、n(lim22200 yxyxyxyxu2 24APfAPfPPPP)(lim,)(,)(005不能断定不能断定时时只取某些特殊路径趋于只取某些特殊路径趋于如果点如果点:由此知由此知.,则函数极限不存在则函数极限不存在若存在两路径极限不同若存在两路径极限不同在的方法在的方法判别多元函数极限不存判别多元函数极限不存25.lim不存在不存在证明证明例例2222006yxyxyx000yoxyxP此时此时轴趋于轴趋于沿沿当点当点解解),(),(:222200yxyxyxlim220 xxx lim1000 xoyyxP此时此时轴趋于轴趋于沿沿当点当点),(),(222200yxyxyxlim220y

12、yylim1极限不存在极限不存在26例例7 7 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在27（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处

13、极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：288例例?)ln(lim是否存在是否存在yxxyxyx100:解解xxy 取取yxxyxyx)ln(lim100yxyxyx200lim xxxx320lim)(lim 320 xxx33031 ,.极限不存在极限不存在29三、多元函数的连续性)(xfy 对对:连续连续)()(lim00 xfxfxx)()(lim00PfPfPP或或),(yxfz 对对:连续连续)()(lim00PfPfPP或或),(),(lim0000yxfyxfyyxx30 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚

14、点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 定义定义3 331:说明说明下三条同时成立下三条同时成立点连续点连续在在),(),()(0001yxPyxfz点有定义。点有定义。在在),(),()0001yxPyxfz 存在存在),(lim)yxfyyxx002),(),(lim)00003yxfyxfyyxx上三条至少有一不成立上三条至少有一不成立点不连续点不连续在在),(),()(0002yxPyxfz32.),(,),()(内的连续函数内的连续函数是是称称内各点都连续内各点都连续在在如果如果DyxfzDyxfz3无裂缝

15、的曲面。无裂缝的曲面。一个无孔洞、一个无孔洞、二元连续函数的图形是二元连续函数的图形是)(4)(221yxz如如33例例9 9讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解,),(),(点有定义点有定义在在00yxf),(limyxfyx00223300yxyxyxlim)sin(coslimsincos 330rrryrx0),(),(lim0000fyxfyx即连续即连续34例例1010 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取k

16、xy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续35闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理36 多元初等函数：多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫