大连理工大学矩阵与数值分析上机作业13388

1、大连理工大学矩阵与数值分析上机作业课程名称： 矩阵与数值分析研究生姓名：交作业日时间：2021年 12月20日L考虑计算给定向量的范数：输入向量工二工1.工W,：r/T,输出|工h |同型NWIoq. 请编制一个通用程序,并用你编制的程序计算如下向量的范数：对n = 15 100, 1IM用甚至更大的依计算其范数,你会发现什么结果？你能否修改你的程序 使得计算结果相对精确呢？1.1程序:Clear all ;n=input('请输入向量的长度n ：')for i=1:n;v(i)=1/i;endY1=norm(v,1)Y2=norm(v,2)Y3=norm(v,inf)1.2结

2、果n=10 Y1 =2.9290Y2 =1.2449Y3 =1 n=100 Y1 =5.1874Y2 =1.2787Y3 =1 n=1000 Y1 =7.4855Y2 =1.2822Y3 =1N=10000 Y1 =9.7876Y2 =1.2825Y3 =11.3分析一范数逐渐递增,随着 n的增加,范数的增加速度减小；二范数随着n的增加,逐渐趋于定值,无群范数都是 1.第2题2,考虑y =吗且,其中定义/=1,此时六工是连续函数.用此公式计算当* W -10-10-叫时的函数值,画出图像.另一方面.考虑下面算法：d 1 + 工1/ d = 1 thenV = 1y-ndjd- 1)end ij

3、用此算法计算了H-1()T5 10-叼时的函数值,画出图像.比拟一下发生了什么？2.1 程序clear all ;x(1)=-10A-15;dx=10A-18;L=2*10A3;for i=1:Ly1(i)=log(1+x(i)/x(i);d=1+x(i);if d = 1y2(i)=1;elsey2(i)=log(d)/(d-1);endx(i+1)=x(i)+dx;endx=x(1:length(x)-1);plot(x,y1, 'r');hold onplot(x,y2);2.2结果2.3分析红色的曲线代表未考虑题中算法时的情况,如果考虑题中的算法那么数值大小始终为 这主

4、要是由于大数加小数的原因.第3题3,首先编制一个利用泰九韶算法计算一个多项式在给定点的函数值的通用程序,你 的程序包括输入多项式的系数以及给定点,输出的数值.利用你编制的作序计算M幻=(工2卢- 1蛾+1山7 67 常+ 2021工 $4032,+ 537 短 46081+ 2304 512在工=2轼域附近的值.色tbp(x)在工£ 1.95.20.5上的图像.3.1 程序clear all ;A=1 -18 144 -672 2021 -4032 5376 -4608 2304 -512;x=1.95:0.005:2.05;for i=1:length(x);y1(i)=f(A,x

5、(i);y2(i)=(x(i)-29;endfigure(3);plot(x,y1);hold on;plot(x,y2, 'r');F.m文件function y=f(A,x)y=A(1);for i=2:length(A); y=x*y+A(i);end ;3.2 结果4.编制计算绐定矩阵一4的口;分解和产££.分解的通用程序,然后用你编制的程序完 成下面两个计算任务：(1)考虑自己取定上£ ET,并计算b = 4r.然后用你编制的不选主元和列主元的C&1消去法求解该 方程组,记你计算出的解为五对n从5到和估讦计算解的精度,(2)对门从

6、5到3(1计算其逆矩阵.4.1 程序clear all ;n=input('请输入向量的长度n ：')A=2*eye(n)-tril(ones(n,n),0);for i=1:nA(i,n)=1;endn=length(A);U=A;e=eye(n);for i=1:n-1max_data,max_index=max(abs(U(i:n,i);e0=eye(n);max_index=max_index+i-1;U=e0*U;e1=eye(n);for j=i+1:ne1(j,i)=-U(j,i)/U(i,i);endU=e1*U;Pi=e0;脸巴变换矩阵存到P中Li=e1;e=

7、e1*e0*e;endfor k=1:n-2Ldotk=Lk;for i=k+1:n-1Ldotk=Pi*Ldotk*Pi;endendLdotn-1=Ln-1;LL=eye(n);PP=eye(n);for i=1:n-1PP=Pi*PP;LL=Ldoti*LL;endb=ones(n,2);b=e*b; %解方程x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(b(i)-U(i,:)*x)/U(i,i);endX=UA-1*eA-1*eye(n);%f 算逆矩阵AN=X'result2n-4,1=AN;result1n-4,1=x;

8、fprintf( '%d:n',n)fprintf( '%d ' ,AN);4.2 结果n=51.0625-0.875-0.75-0.5-0.06250.06251.125-0.75-0.5-0.06250.06250.1251.25-0.5-0.06250.06250.1250.251.5-0.0625-0.0625-0.125-0.25-0.50.0625n=101.0625-0.875-0.75-0.5-0.06251.0625-0.875-0.75-0.5-0.06250.06251.125-0.75-0.5-0.06250.06251.125-0.75

9、-0.5-0.06250.06250.1251.25-0.5-0.06250.06250.1251.25-0.5-0.06250.06250.1250.251.5-0.06250.06250.1250.251.5-0.0625-0.0625-0.125-0.25-0.50.0625-0.0625-0.125-0.25-0.50.06251.0625-0.875-0.75-0.5-0.06251.0625-0.875-0.75-0.5-0.06250.06251.125-0.75-0.5-0.06250.06251.125-0.75-0.5-0.06250.06250.1251.25-0.5-0

10、.06250.06250.1251.25-0.5-0.06250.06250.1250.251.5-0.06250.06250.1250.251.5-0.0625-0.0625-0.125-0.25-0.50.0625-0.0625-0.125-0.25-0.50.0625同样的方法可以算出n=20,n=30时的结果,这里就不罗列了.第5题5,编制计算对将正定阵的Go3柯分解的通用程序,并用你编制的程序计算=匕, 其中以=(a.j) W即乂3 7 = 小；£可以由你自己取定,对也从10到2口脸证程序的可靠性.5.1程序clear all ;n=input('请输入向量的长度n

11、： 10至20)for i=1:nfor j=1:na(i,j)=1/(i+j-1);endendfor j=1:nsum=0;for k=1:j-1sum = sum + l(j,k)A2;endl(j,j)=sqrt(a(j,j)-sum);for i=j+1:nsum=0;for k=1:j-1sum =sum + l(i,k)*l(j,k);endl(i,j)=(a(i,j)-sum)/l(j,j);endendb=ones(n,1);y=zeros(n,1);y(n)=b(n)/l(n,n);for i=n-1:-1:1y(i)=(b(i)-l(i,:)*y)/l(i,i);endl

12、=l'x=zeros(n,1);x(n)=y(n)/l(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-l(i,:)*x)/l(i,i);endfprintf('%dt',x);fprintf('n');5.2结果n=10n=11n=12n=13n=14n=15n=16n=17n=18n=19n=20-746517.83111493.4-1188455847835590949732974951937754937888596934157189710209439699497103044574868568823.85.6.5.9.7.80.6698

13、20595.-35465847163411090-77484610-80547115-82914903-72327488-62111481-60010758-1.76915E-1.68795E089.95111920907690037946+11+11-15874441987554340-549934613.06265E+3.18327E+3.23484E+2.86169E+2.48062E+2.55037E+7.40163E+6.93865E+9775921212121212121212152439746-1.17236E7.93546E+-5.20373E-5.40791E-5.42806

14、E-4.8713E+-4.26882E-4.65382E-1.3123E+-1.21156E43+1111+13+13+1313+13+1314+14-761846207.35352E+-6.11155E4.7524E+14.93812E+4.89563E+4.46792E+3.97243E+4.57473E+1.22E+151.11E+1504811+12414141414142.18036E+-2.70378E2.80302E+-2.62E+15 -2.72E+15 -2.66E+15 -2.48E+15 -2.25E+15 -2.72E+15 -6.64E+15 -5.98E+1511+

15、1213-3.70513E6.12295E+-8.11E+13 9.24E+159.59E+159.27E+158.90E+158.30E+151.04E+162.17E+161.94E+16+ii1211+1214-1.99261E7.40507E+-1.83339E3.40E+16 3.53E+16 3.34E+16 3.52E+16 3.56E+16 4.28E+16 4.06E+16 3.77E+16+11123.52275E1.3792E+1-3.55E+16 -3.68E+16 -3.47E+16 -3.89E+16 -4.12E+16 -4.38E+16

16、 -4.89E+15 -1.01E+1630+1243.69292E+-8.64269E1.51789E+-2.17E+16 -2.25E+16 -2.14E+16 -2.14E+16 -2.07E+16 -2.60E+16 -4.18E+16 -3.74E+167.13565E+-5.87483E2.35E+16 2.44E+16 2.37E+16 2.73E+16 2.94E+16 2.40E+16 -1.64E+16 -5.28E+1511+ 131.08203E+-8.98E+15 -9.29E+15 -1.03E+16 -9.10E+15 -7.78E+15 -4.50E+15 -1

17、.23E+16 -1.58E+16131.50E+15 1.55E+15 3.06E+15-2.94E+15 -6.68E+15 1.72E+151.63E+16 1.04E+162.17168E+ -7.94676E5.08E+15 7.29E+15 -1.45E+15 3.84E+163.85E+1612+141.58892E+-2.50E+15 -2.19E+15 -8.57E+15 -2.64E+16 -2.01E+16144.80384E+ -3.1296E+1.48E+16 -8.62E+16 -7.98E+1614142.304E+14 -9.01E+15 1.40E+171.1

18、9E+171.99E+15 -8.07E+16 -6.35E+161.70E+16 1.09E+167.5453E+1第6题6. , I)编制程序印“闻(工),其作用是对输入的向量/,输出单位向量使得(-工工 II乖电. 编制所"S4川曲r变换阵H =/一2中17 WlKn乘以a £磔ixm的程序注意.你 的程序并不显式的计算出日.(3)考虑矩阵 12 34、-13 x/5 1/5A 22 eff)-V102-37« 0275/2；6.1 程序 clear all ; A= 12 34;-13sqrt(2) sqrt(3);-22exp(1) pi;-sqrt(1

19、0) 2 -37;0275/2;U=f61(A(:,2);HA=f62(U,A);f.m文件 function U=f61(x) e1=eye(length(x),1);U=x-sign(x(1)*sqrt(dot(x,x)*e1;U=U./sqrt(dot(U,U);function HA=f62(U,A) HA=A-2*U*U'*A;6.2结果-2.26491106454.7358408697.6958675462.2649110644.44E-16-0.321627306 -1.9638167380.1766073764.44E-161.5610545830.677680956-

20、0.9856702844.44E-16-4.1572272464.5360883032.1766073764.44E-165.8427727540.036088303第7题了.用加和Cd也电处57阻同迭代求解下面的方程组,输出迭代每一步的误差|1不也-1J ：/ 5xi12 初3 = 2&X14-2X2 + 3 13± +4x2 + 15g =107.1 程序clear all ;max=1000;x(1,：)=1 2 3;for i=1:maxx(i+1,1)=(-2+x(i,2)+3*x(i,3)/5;x(i+1,2)=(1+x(i,1)-4*x(i,3)/2;x(i+1

21、,3)=(10+3*x(i,1)-4*x(i,2)/15;err(i)=sqrt(dot(x(i+1,:)-x(i,:),x(i+1,:)-x(i,:);if (err(i) < 10A-6) break ;endendfigure(7);plot(err);clear err ;x(1,：)=1 2 3;for i=1:maxx(i+1,1)=(-2+x(i,2)+3*x(i,3)/5;x(i+1,2)=(1+x(i+1,1)-4*x(i,3)/2;x(i+1,3)=(10+3*x(i+1,1)-4*x(i+1,2)/15;err(i)=sqrt(dot(x(i+1,:)-x(i,:)

22、,x(i+1,:)-x(i,:);if (err(i) < 10A-6) break ;endendhold onplot(err, 'r');7.2 结果误差越来越小.第8题8 .取不同的初值用心也O谜代以及弦裁法求方程13+2/+ 10f-100 = 0的实根,列 表或者画图说明收敛速度.8.1 程序clear all ;max=100;x(1)=1;for i=1:maxx(i+1)=x(i)-(x(i)A3+2*x(i)A2+10*x(i)-100)/(3*x(i)A2+4*x(i)+10);if (abs(x(i+1)-x(i) < 10A-6)break

23、 ;endendfigure(8)plot(x);clear x;x(1)=0;x(2)=1;for i=2:maxx(i+1)=x(i)-(x(i)A3+2*x(i)A2+10*x(i)-100)/(x(i)A3+2*x(i)A2+10*x(i)-(x(i-1)A3+2*x(i-1)A2+10*x(i-1)*(x(i)-x(i-1);if (abs(x(i+1)-x(i) < 10A-6)breakendendhold onplot(x, 'r');8.2 结果8.3 分析由计算结果可知,弦截法的收敛速度比牛顿法的收敛速度快.第9题9 .用二分法求方程/ cos 1 +

24、 2 = 0在区间0, 上的所有根.9.1 程序clear all ;f(0,4*pi);f.m文件function = f( l,r )if (r-l<10A-6)fprintf( '%g,' ,(r-l)/2+l);returnendif f9(l)*f9(r) < 0if f9(l+r)/2+l)*f9(l)< 0f(l,(l+r)/2+l);end if f9(l+r)/2+l)*f9(r)< 0 f(l+r)/2+l,r);endendif f9(l)*f9(r) > 0 f(l,(l+r)/2+l);f(l+r)/2+l,r);end9

25、.2 结果X=4.71239、8.24668、17.6715、14.1372第10题ID.考虑函数/(r)二期11(打£). 1 £ ", 1.用等距节点作的NEirfM插值,画出插值多 项式以及/(工)的图像,观察收敛性.10.1 程序clear all ;n=3; %节点个数Xj=0:1/n:1;y=sin(pi*Xj);for i=1:n+1f(i,1)=y(i);endfor j=2:n+1for i=1:n-j+2;dx=(j-1)/n);f(i,j)=(f(i+1,j-1)-f(i,j-1)/dx;endendfor i=1:n+1a(i)=f(1,i

26、);endx=0:0.001:1;for i=1:1/0.001+1;y1(i)=sin(pi*x(i);y2(i)=f10(a,Xj,x(i);endfigure(10);plot(x,y1, 'r' );hold on; plot(x,y2,);10.2 结果10.3 分析有图像可知插值函数的值已经很接近原函数的值了.第11题用等距节点作hqvtittgr棉值,11.对函敕上)=提了,工£ (5闺,取不同的节点数h 观嘉Rte狮现象,11.1 程序clear all ;n=input('请输入n ： ' ) % n代表节点Xj=-5:1/n:5;Y

27、j=1./(1.+Xj.A2);x=-5:0.01:5;for i=1:10/0.01+1;y1(i)=1/(1+x(i)A2);y2(i)=f(Yj,Xj,x(i);endfigure(11);plot(x,y1,'r');hold on;plot(x,y2, '');f.m文件function y=f(Yj,Xj,x) y=o；for i=1:length(Yj) l=1;for j=1:length(Xj) if i=j continueendl=l*(x-Xj(j)/(Xj(i)-Xj(j); endy=y+Yj(i)*l;end11.2 结果从左往右

28、n依次取1、2、3、4As11.3 分析随着n的不断增加,插值越来越接近真实值.第12题11.4 仆) =吧"cos(rx),考虑积分工)以区间分为50, KXU 2()0. 5值1,1.0.等1分 别用复合梯带以及复合$出卯5皿积分公式计算枳分值,将数值积分的结果与精骑值比拟. 列表说明误差的收致性.12.1 程序clear all ;n=input( '请输入 n： ' )%n=50 100 200 500 1000x=0:2*pi/n:2*pi;for i=1:n+1X=x(i);Y(i)=exp(3*X)*cos(pi*X);endY(1)=1;for i=1

29、:nX=(x(i)+x(i+1)/2;Y2(i)=exp(3*X)*cos(pi*X);endT=(x(n+1)-x(1)/(2*n)*(Y(1)+2*sum(Y(2:n)+Y(n+1);S=(x(n+1)-x(1)/(6*n)*(Y(1)+4*sum(Y2)+2*sum(Y(2:n)+Y(n+1);13.2结果'-n501002005001000T3.512534119493697e+073.520489119998542e+073.522553497836321e+073.523136936592422e+073.523220478232005e+07S3.523140786833

30、490e+073.523241623782247e+073.523247916807637e+073.523248325445201e+073.523248335509114e+07第13题131分别用2点,3点以及5点的Gw相型积分公式计算如下定积分:13.1 程序clear all ;G2=f(1/sqrt(3)+f(-1/sqrt(3);G3=0.555555556*f(-0.7745966692)+0.555555556*f(+0.7745966692)+0.88888888889*f(0);G5=0.2369268851*f(-0.9061798459)+0.2369268851*f(+0.9061798459)+.0.4786286705*f(-0.5384693101)+0.4786286705*f(+