每周一题及解答-上海交通大学本科教学信息网站

1、题题一一 在一次乒乓球决赛中设立奖金在一次乒乓球决赛中设立奖金1千千元元.比赛规定谁先胜了三盘比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部谁获得全部奖金奖金.设甲设甲,乙二人的球技相等乙二人的球技相等,现已打了现已打了3盘盘, 甲两胜一负甲两胜一负, 由于某种特殊的原因由于某种特殊的原因必须中止比赛必须中止比赛. 问这问这1000元应如何分配元应如何分配才算公平才算公平?第第1 1周周 问问 题题方案一方案一: 平均分平均分, 这对甲不公平这对甲不公平.方案二方案二: 全部归甲全部归甲, 这对乙不公平这对乙不公平.解解没有同学提出上述两个方案没有同学提出上述两个方案. .方案三方案三: 按已胜盘数的比例分

2、配按已胜盘数的比例分配.3/2即甲得即甲得 (667 (667元元) ), 乙得乙得 (333 (333元元) .) .3/1 方案四方案四 一同学提出一同学提出: :在我未学在我未学概概率率前，我认为甲应得前，我认为甲应得 800 800元乙应得元乙应得200200元元. .理由如下：理由如下：目前胜率：目前胜率： 甲甲 2/3 2/3 乙乙 1/3 1/3甲再胜一盘几率：甲再胜一盘几率： 2/3 2/3 乙连胜二盘几率：乙连胜二盘几率： . 9/ 1) 3/ 1 (2方案五方案五 甲得甲得888.89888.89元元, ,乙得乙得111.11111.11元元. . 理由如下：理由如下：甲胜

3、甲胜乙胜乙胜, ,甲再胜甲再胜乙胜乙胜, ,乙再胜乙再胜甲赢甲赢3/2)(AP甲赢甲赢9/2) 3/2)(3/ 1 ()(BP乙赢乙赢9/ 1) 3/ 1)(3/ 1 ()(CP189/ 19/23/2)()(：乙赢甲赢PP方案三看来似乎合理方案三看来似乎合理 , 双方可接受双方可接受. .但仔细分析但仔细分析, 这样分未必合理这样分未必合理 . 理由如下理由如下：设想比赛继续进行下去设想比赛继续进行下去, 要使甲要使甲,乙有一个胜乙有一个胜 3 盘盘, 只要再赛只要再赛两盘即可两盘即可, 共有以下四种情况共有以下四种情况:甲甲甲甲 甲乙甲乙 乙甲乙甲 乙乙乙乙甲得甲得1000元元乙得乙得10

4、00元元因球技相等因球技相等, 故故 4 个结果等可能发生个结果等可能发生.因此因此, 甲乙最终获胜的大小比为甲乙最终获胜的大小比为 3:1故全部奖金应按获胜率的比例分故全部奖金应按获胜率的比例分,才才方案六：甲分方案六：甲分 750元元 , 乙分乙分 250元元 . 公平合理公平合理. 即即大部分同学提出方案六大部分同学提出方案六. . 问问 题题 已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 , P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6 通过做此题 你能发现什么问题？ 第第2 2周周 则A,B,C 全不发生的概率为 . 一同学提出此题错误一同学提出此题错

5、误, ,原因是原因是4/ 1)(, 6/ 1)(CPACPA A 与与C C 的共同部分占的共同部分占C C 的的 2/3 2/3同理同理 B B 与与C C 的共同部分占的共同部分占C C 的的 2/3 2/3A A 与与B B 至少有至少有1/31/3部分重合，即部分重合，即12/1)(ABP这与题中条件这与题中条件 P(AB) = 0 矛盾！矛盾！ ？)(1)(CBAPCBAP)()()(1CPBPAP.12/76/24/31)()()()(ABCPBCPACPABP一般会解出一般会解出 解解 事实上本题目出错，数万考生中事实上本题目出错，数万考生中就有指出题目错误的考生就有指出题目错误

6、的考生. .解解CBCAC)()()()()(ABCPBCPACPBCACP)(4/ 13/ 106/ 16/ 1CP0)(0)(ABCPABP)()(CPBCACP这与下面正确结论矛盾！这与下面正确结论矛盾！ ABCCBCAC)()()(CPBCACPCAB欠妥！欠妥！ . 2/ 1)()()()(ABPBPAPBAP).(12/ 52/ 1)(CBAPBAP.12/5)(CBAP由题设得由题设得 另一方面又可得另一方面又可得 于是得矛盾于是得矛盾 解二解二若将条件修改为若将条件修改为 P(AC) = P(BC) = 1/9便无矛盾便无矛盾 ).(36/192/ 1)(CBAPBAP)()(

7、)()(ABCPBCPACPBCACP)(4/ 19/209/ 19/ 1CP 问问 题题第第3 3周周 17世纪,法国的 C D Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌注押到 “至少出现一次双六” 比把赌注押到“完全不出现双六”有利. 但他本人找不出原因. 后来请当时著名的法国数学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 . 这问题是如何解决的呢?解题时出现的各种错误解题时出现的各种错误 设设事件事件 与与 分别为第分别为第2 2次与第次与第1 1次掷出六次掷出六. .AB)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP)()(11)(5)()(ABPBAPABPAB

8、PABP6/ 1)(AP同理有同理有)()(11)(BAPBAPBAP显然有显然有)()(BAPBAP)()(BAPABP)()()()(BAPBAPABPBAP)()(BAPBAP即压出双六有利即压出双六有利.？骰子组合种类数：骰子组合种类数： 18/ 12/1616CCN掷掷1 1次不出现双六的概率：次不出现双六的概率：18/17掷掷2525次无双六的概率：次无双六的概率：24. 0)18/17(25掷掷2525次出现双六的概率：次出现双六的概率：76. 024. 01问题解决问题解决. . A则事件则事件 为为 “至少有一次双六至少有一次双六”设设事件事件 为为“完全不出现双六完全不出现

9、双六”,”,A063. 0)()()()(251624151252515CCCCAP)(937. 0063. 01)(APAP掷掷1 1次出现双六的概率：次出现双六的概率： 36/ 11616CC掷掷2525次出现一次双六的概率：次出现一次双六的概率：36/25掷掷2525次不出现双六的概率：次不出现双六的概率：36/1136/1136/25问题解决问题解决. .252521) 123456(AnA则事件则事件 为为 “不出现双六不出现双六”252520) 121(Ak 2953. 0)21/20(/)(25AAnkAP)()(APAP即压即压 比压比压 有利有利. .AA设设事件事件 为为“

10、至少有一次双六至少有一次双六”,”,A A则事件则事件 为为 “至少有一次双六至少有一次双六”设设事件事件 为为“完全不出现双六完全不出现双六”,”,A01. 0) 6/ 5 ()(25AP)() 6/ 5 (1)(25APAP 5 . 036252536243511CCCp抛抛2525次次 “至少有一次双六至少有一次双六”等同于等同于从从3636个球中抽出个球中抽出2525个，其中有个，其中有1 1个是特个是特别的概率别的概率此概率挺大，不选成傻子了！此概率挺大，不选成傻子了！？2396. 0)36/34()(25AP？1136. 0)12/11()(25AP？0126. 06/ )55 (

11、)(252425AP各种计算错误各种计算错误 ？设设事件事件 为为“完全不出现双六完全不出现双六”,”,A设设B B 为为 “ “至少出现一次双六至少出现一次双六” ,” ,则则)()(BPBP因为因为1)()(BPBP因此，题中把赌注押到因此，题中把赌注押到“至少出现一次双六至少出现一次双六”B事件事件 为为 “完全不出现双六完全不出现双六”故只要证明故只要证明 即可。即可。2/1)(BP比押比押“完全不出现双六完全不出现双六”有利的意思，即为有利的意思，即为分析分析设设 = 第第 i 次抛掷时出现数对次抛掷时出现数对( 6 , 6 )iA36/1)(iAP36/35)(iAP 一对骰子抛一

12、对骰子抛 25 次可视为次可视为 25 次独次独独立的重复随机试验独立的重复随机试验. 于是于是, 可将所提可将所提问题视作问题视作25重伯努利试验重伯努利试验.( i =1, 2, , 25 )则有则有解一解一2521.AAAB所以所以 ).(1).()(25212521AAAPAAAPBP215045. 0)().()(12521APAPAP4955. 01)3635(125因为因为 , ,取对数得取对数得 213635n67.245441. 15563. 13010. 035lg36lg2lgn解二解二由试验独立性由试验独立性, ,要求掷要求掷 次完全不次完全不n出现双六的概率出现双六的

13、概率. )(2/ 1)(BPBP故当故当 时，时， 25n抛掷抛掷 25 次是起码的要求，少于次是起码的要求，少于25次不次不)()(BPBP可见要使可见要使1)3635(1 limnn行行. 当然，抛掷次数越多，对事件当然，抛掷次数越多，对事件“至至少出现一次双六少出现一次双六”的发生越有利的发生越有利, 且且注 某市进行艺术体操赛某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁需设立两个裁判组判组, 甲组甲组3名名,乙组乙组1名名. 但组委会只召集但组委会只召集到到3名裁判名裁判, 由于临近比赛由于临近比赛, 便决定调一名便决定调一名不懂行的人参加甲组工作不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独其中两裁判

14、独立地以概率立地以概率 p 作出正确裁定作出正确裁定,而第三人以而第三人以掷硬币决定掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定最后根据多数人的意见决定.乙组由乙组由 1 个人组成个人组成, 他以概率他以概率 p 做出正确做出正确裁定裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大问哪一组做出正确裁定的概率大 ? 问问 题题第第4 4周周 不能确定，即需视情况而定不能确定，即需视情况而定.同学同学一一解解 甲组两裁判裁定有甲组两裁判裁定有 3 种情况种情况2p)1 (pp2)1 (p不懂行的人裁定均为不懂行的人裁定均为 21故甲组正确裁定的概率故甲组正确裁定的概率推导如下推导如下结论：结论：) 1(21)1 (

15、21)1 (2121222ppppppppp212当当 时时ppp212253p故当故当 时时2/ ) 53 (0p甲组甲组乙组乙组故当故当 时时12/ ) 53 (p甲组甲组乙组乙组与与 比较比较p不能确定，即需视情况而定不能确定，即需视情况而定.同学二解同学二解 结论：结论：ppppppP21)1 (2121)211 ( 2)(222甲)21()()(ppPP乙甲故当故当 时，时，2/ 1p甲组甲组乙组乙组故当故当 时，时，2/ 1p乙组乙组甲组甲组故当故当 时，时，2/ 1p乙组乙组=甲组甲组同学三解同学三解 甲甲组做出正确裁定的概率大组做出正确裁定的概率大.结论：结论：设设甲、乙甲、乙

16、组做出正确裁定分别为组做出正确裁定分别为A 、 B.ppppppAP22223212121)(pBP)()()(BPAP(1) 只要算出甲组正确裁定概率即可只要算出甲组正确裁定概率即可.正确的几种解法正确的几种解法 两裁判都正确裁定的概率：两裁判都正确裁定的概率：ppp 1一裁判正确裁定且掷硬币者也正确一裁判正确裁定且掷硬币者也正确裁定的概率：裁定的概率：)1 (5 . 022pppP(甲组正确裁定甲组正确裁定).21ppp故故 两组做出正确裁定的概率相同两组做出正确裁定的概率相同.(2)pppC21)1 (12)211 ()1 (21)1 (1)(2233ppCP甲)(乙P有有同学同学 在算

17、出两组作出正确裁定的概在算出两组作出正确裁定的概率相同后称赞组委会很明智！率相同后称赞组委会很明智！.(3)两组做出正确裁定的概率相同两组做出正确裁定的概率相同.结论：结论：甲组三人都正确裁定概率甲组三人都正确裁定概率235 . 0pp 甲组恰有二人正确裁定概率甲组恰有二人正确裁定概率225 . 0)1 ( 5 . 0)1 (5 . 05 . 0pppppppppP(甲组正确裁定甲组正确裁定)ppp23P(乙组正确裁定乙组正确裁定)只要把甲组的正确裁定概率计算出只要把甲组的正确裁定概率计算出再与再与 p 比较即可比较即可. 为此应先搞清楚为此应先搞清楚“最后结果根据多数最后结果根据多数人意见决

18、定人意见决定”是指什么是指什么.是指是指“甲组至少甲组至少应该由应该由2个人作出正确裁定个人作出正确裁定”. 故设故设A、B、C分别表示分别表示“甲组甲组3个人均做出正确裁个人均做出正确裁定定”. D表示表示”甲组做出正确裁定甲组做出正确裁定”, 则则:BCACBACABABCDBCACBACABABCDBCACBACABABCD由题设由题设21)(,)()(CPpBPAP. 2/1)(,)()(CPpBPAP(4)由于由于A , B , C 相互独立相互独立, 则有则有pppppppppCPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAPBCAPCBAPCABPABCPDP21)1 (21)1

19、(2121)()()()()()()()()()()()()()()()()(所以所以, 两组做出正确裁定的概率相同两组做出正确裁定的概率相同. 自动生产线调整以后出现废品的概率为 p, 当生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间的合格产品数的分布. 问问 题题第第5 5周周 设两次调整之间生产的合格产品数是 X , 则解解 (X = 1) 表示调整后生产的第一个产品合格,而第二个是废品的事件, 则P( X = 0 )= p ;P( X = 1 )= p (1-p) ; (X = 0) 表示调整后生产的第一个产品是废品的事件,则 依此类推,可得合格产品数 X 的概率分布为 (

20、X = 2 ) 表示调整后生产的前二个产品是合格的, 而第三个是废品的事件, 则P( X = 2 ) = p (1-p)2 ;P( X = k ) = p (1-p)k, k =0,1,2,在高为 h 的 ABC 中任取一点M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量X , 求其密度函数 f (x). ABCh.M 问问 题题第第6 6周周 解解A (0,0)B (b,0)C (xc,0)h.My其他，内，0)/(2),(),(ABChbyxfyxMdxyxfyfY),()(其他，内，0)(11ABCdxbxyyxchchhb2其他，内，0ABChy)1 (2 ?ABC.MXhx,ABEF 当

21、时hx0ABCEFBASSxXPxF)()(2)(11hxhSSABCCEF使 EF 与 AB 间的距离为 xEF解解于是hxhxhxhxxF10)(100)(2其他002)()(2hxhxhxFxf第第7 7周周 问问 题题 上海某年有 9万名高中毕业生参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分，540分以上有2025人 , 360分以下有13500人. 试估计高校录取最低分. 设 X 为考生成绩，则近似有 解),(2NX)540(XP)540(1XP5401900002025972. 0540查表,91. 154015 班一同学班一同学 ？85. 015. 01360

22、04. 136061,5 .4233609000013500)360(XP26. 0615 .423k查表.44036.439 k所以此次高考最低录取分为 440 .6 . 094 . 5615 .423)(kkXP？24 班一同学班一同学 419a224 .51,432最低录取分为 考生高考成绩为 r.v. X , 它一般受先天遗传、后天努力、心理素质、考试期间身体状态、求学期间班级学风、有无请家教等诸多随机因素的影响，而各因素的影响又是有限的，且正负影响会相互抵消，故分析),(2NX【1】由已知高考结果的两个信息，由于参数 均未知，故解决2,问题分两步建立关于未知参数 的两个方程，2,并解

23、之；【2】通过已公布的录取率，求得最低分值.解解设考生高考成绩),(2NX)540(1)540(XPXP9775. 090000202515403609000013500)360(XP85. 015. 01360反查正态,005. 254004. 136059,421分布表)59,421(2NX所以已知录取率,6 . 090000/54000设被录取者最低分为 a , 则59421594211aa)(16 . 0)(aXPaXP,406253. 059421aa查正态分布表所以此次高考最低录取分为 406 . 设随机变量设随机变量Z服从参数为服从参数为 1 的指的指数分布，引入随机变量：数分布

24、，引入随机变量：21201110ZZYZZX求求 ( X , Y ) 的联合分布律和分布函数的联合分布律和分布函数. 问问 题题第第8 8周周 0,1)(zezFzZ解解 ( (4 班两同学班两同学 、21 班一同学班一同学) ) 11) 1 () 1() 0(eFZPXpZ1) 1 (1) 1() 1(eFZPXpZ21) 2 () 2() 0(eFZPYpZ2) 2 (1) 2() 1(eFZPYpZ31ee3e32ee)1)(1 (21ee11e1e21e2e ipjp0 1X0 1Y ( X , Y ) 的联合分布律的联合分布律 本题并未设本题并未设 X , Y 相互独立相互独立 ！？

25、X, Y 都是离散型的服从都是离散型的服从(01)1, 0,),(jijYiXPpij而而X,Y 又都是分布已知的随机变量又都是分布已知的随机变量 Z分布的随机变量，本题要求分布的随机变量，本题要求ijp的函数，故可以通过的函数，故可以通过 Z 的分布求出的分布求出 .分析分析由题设由题设Z的的 分布函数分布函数0001)(zzezFzZ解解正确解法由以下同学提供正确解法由以下同学提供3班 石石 言言 褚华斌褚华斌10班 吴吴 苑苑 吴吴 限限 杨杨 锴锴13班 沙沙 舟舟 蔡思捷蔡思捷20班 陈永延陈永延 董皓远董皓远24班 白白 雪雪 25班 郭郭 憬憬9班 陈陈 栋栋 张张 鹏鹏由由 X

26、, Y 的定义知下列事件等价：的定义知下列事件等价： ) 1() 2, 1() 0, 0(ZZZYX) 2, 1() 1, 0(ZZYX) 21 () 2, 1() 0, 1(ZZZYX) 2() 2, 1() 1, 1(ZZZYX从而有：从而有： 11) 1 () 1() 0, 0(eFZPYXPZ0)() 1, 0(PYXP21) 1 () 2 () 21 () 0, 1(eeFFZPYXPZZ2) 2 (1) 2() 1, 1(eFZPYXPZ21ee2e011e0 1X0 1Y ( X , Y ) 的联合分布律为的联合分布律为),(yxF取不同值的区域有如下取不同值的区域有如下5 5个

27、：个： 0 x0y10 x10 y10 x10 y1x1y1y1x1yx01 当 当 当0)(),(),(PyYxXPyxF0 x0y或时, 10 x10 y时11)0, 0(),(eYXPyxF, 10 x1y时) 0, 0(),(YXPyxF) 1, 0(YXP11101ee 当,1x10 y时) 0, 0(),(YXPyxF) 0, 1(YXP221111eeee 当,1x1y时1)(),(),(PyYxXPyxF),(yxF00,0yorx10, 10,11yxe1, 10,11yxe10, 1,12yxe1, 1, 1yx ( X , Y ) 的联合分布函数为的联合分布函数为第第9

28、9周周 问问 题题设随机变量设随机变量 X 与与 Y 相互独立，且相互独立，且. )(, )6 . 0, 1(yfYBX求随机变量求随机变量 YXZ 3的概率密度的概率密度 . )(zg函数函数 解解设设 Y 的分布函数为的分布函数为F(y), 由全概率由全概率公式得公式得Z 的分布函数为的分布函数为)3()()(zYXPzZPzG)03()0(XzYXPXP) 13() 1(XzYXPXP)0(4 . 0XzYP) 13(6 . 0XzYP由由 X 与与 Y 的独立性得的独立性得)3(6 . 0zYP)(4 . 0)(zYPzG)3 (1 6 . 0zF )(1 4 . 0zF 求导得求导得

29、Z 的密度函数的密度函数. )3(6 . 0)(4 . 0)(zfzfzg 问问 题题 第第1010周周 某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取1 , 5上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产几箱产品能使获利的期望值最大？解设每周生产 y 箱, 每周的利润(单位:yXyy39yXXyyX)(139百元) 为Z , 则ZyXy6yXyX410X的分布律为5,4, 3,2, 1, 5/1)(kkXP)6(6)(yZPyZE)410()410(yXZPyk)()410()(6

30、yXPykyXPy5/ )410(5/6151ykyykyk5/4) 1(5/ )5 (62yyyyy27yy)(yf027)(yyf令得5 . 3y又因02)( yf故每周生产3.5箱产品时能使获利的期望值最大，且最大利润期望值为25.12)5 . 3()(max fZE(百元)解)6(6)(yZPyZE)410()410(yXZPyk)()410()(6yXPykyXPy5/ )410(5/6151ykyykyk5/ 4) 1(5/ 66yyyyyyy同解一所设yyyyy622令,byyay)( 6)( 2)(2baabaaaZE, 1,0b则)26(72abaa于是即3a时, 取当, 0

31、26 a, 1b1)65)(2aaZE2 a);(12)(max百元ZE即 y = 3 箱时，,bay即3a时, 取当, 026 a, 0b2)aaZE7)(2);(12)(max百元ZE);(12)(max百元ZE综合1) 2), 当3y或 4箱时, 有最大期望利润4 a即 y = 3 箱时， 电视台需作节目电视台需作节目A 收视率收视率的调查的调查.每天在播电视的同时每天在播电视的同时, 随机地向随机地向当地居民打电话询问是否在看电视当地居民打电话询问是否在看电视. 若若在看电视在看电视, 再问是否在看节目再问是否在看节目A. 设回答设回答 第第11周周 问问 题题看电视的居民户数为看电视

32、的居民户数为 n. 若要若要保证以保证以 95%的概率使调查误的概率使调查误差在差在10%之内之内, n 应取多大？应取多大？每晚节目每晚节目A 播出一小时播出一小时, 调调查需同时进行查需同时进行, 设每小时每人能设每小时每人能调查调查20户户, 每户居民每晚看电视每户居民每晚看电视的概率为的概率为70%, 电视台需安排多电视台需安排多少人作调查少人作调查. 又，若使调查误差在又，若使调查误差在 1 %之内之内, n 应取多大？应取多大？误解误解要估计的收视率要估计的收视率, 要求要求 n , 使使) 1 . 0/( pnXPn)10/(/ )(pqnnpqnpXPnpq现在的问题是如何确定

33、现在的问题是如何确定 .95. 0)10/(pqn设设 为回答看电视的居民中为回答看电视的居民中在收看在收看X节目节目A 的户数的户数, 则则 , 其中其中p 为为),(pnBX2/(10) 1.64516.45npqnpq 设设 pqpppf)1 ()(令令 021)(ppf当当 时时, 达到最大值达到最大值. 2/ 1p4/ 1)(pf68 0.797.14100 205电视台需安排电视台需安排 5 人作调查人作调查. 取取100.216.45270.6(1/4)67.65pqn所以取所以取 就能满足要求就能满足要求. 68n若使调查误差在若使调查误差在1%之内，则之内，则2164.527

34、060.25(1/4)6765pqn所以取所以取 就能满足要求就能满足要求. 6766n9666 20483.3电视台需安排电视台需安排 484 人作调查人作调查. 取取9666.71.96657 . 06766解要估计的收视率要估计的收视率, 要求要求 n , 使使pq现在的问题是如何确定现在的问题是如何确定 ? .设设 为回答看电视的居民中为回答看电视的居民中在收看在收看X节目节目A 的户数的户数, 则则 , 其中其中p 为为),(pnBX96. 1)10/(pqnpqn26 .1995. 01)10/(2pqn) 1 .0/( pnXP)10/(/ )(pqnnpqnpXP设设 pqpp

35、pf)1 ()(令令 021)(ppf当当 时时, 达到最大值达到最大值. 2/ 1p4/ 1)(pfnpq04.96) 4/ 1 (6 .196 .1922所以取所以取 就能满足要求就能满足要求. 97n1397 . 097720140电视台需安排电视台需安排 7 人作调查人作调查. 取取140.02)( pf又又 若使调查误差在若使调查误差在1%之内，则之内，则电视台需安排电视台需安排 687 人作调查人作调查. 取取13722.npq9604)4/1 (384151962所以取所以取 就能满足要求就能满足要求. 9605n4 .137217 . 096051 .6862013722 一本

36、书有一本书有 1 000 000 个印刷符号个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分排版时每个符号被排错的概率为千分之一之一. 校对时校对时, 每个排版错误被改正的每个排版错误被改正的概率为概率为0.99. 求在校对后错误不多于求在校对后错误不多于15 个的概率个的概率. 第第12周周 问问 题题 一本书有一本书有1000000个印刷符号个印刷符号, 排版排版时每个符号被排错的概率为千分之一时每个符号被排错的概率为千分之一.校校对时对时,每个排版错误被改正的概率为每个排版错误被改正的概率为0.99，求在校对后错误不多于求在校对后错误不多于15个的概率个的概率.解解设设iX1 第第 i 个

37、印刷符号被排错个印刷符号被排错0 第第 i 个印刷符号未排错个印刷符号未排错则总的被排错的印刷符号个数则总的被排错的印刷符号个数6101iiXX)001. 0,10(6BX且且解解1000)(XE.999)(XDY设校对后错误个数为设校对后错误个数为 , XYE01. 0)(.0099. 0)(XYD10)(01. 0)01. 0()()(XEXEYEEYE.9990099. 0)(0099. 0)(22XDYD则近似有则近似有)9990099. 0,10(2NY由中心极限定理由中心极限定理于是于是. 1)98.15(9990099. 01015)15(YP)01. 0,(XBY则则解解令令1

38、 第第 i 个符号被排错校对后仍错个符号被排错校对后仍错0 其其 他他iX由于排版与校对是两个独立的工作由于排版与校对是两个独立的工作, 因而因而,10)99. 01 (001. 0) 1(5iXP5101) 0(iXP510)(iXE. )101 (10)(55iXD)101 (10,10(5BY设校对后错误个数为设校对后错误个数为6101iiXY, 则则由中心极限定理由中心极限定理)101 (10100)101 (101015)150 (55YP1010/5.9422. 0116. 358. 1 第第13周周 问问 题题 某水产养殖场两年前在人工湖中混养了黑、白两种鱼. 现在需要对黑白鱼数

39、目的比例进行估计. 提示：分别用矩法与极大似然估计法解决此问题.如何估计湖中黑、白鱼的比例如何估计湖中黑、白鱼的比例 设湖中有黑鱼a条，则白鱼数为b=ka，若是白鱼若是黑鱼, 0, 1X,11) 1(kkaaaXP.1) 1(1) 0(kkXPXP则 解解其中 k 为待估计参数. 从湖中任捕一条鱼，记 为使抽取的样本为简单随机样本，我们从湖中有放回的捕鱼 n 条.( 即任捕一条，记下其颜色后放回湖中.任其自由游动. 稍后再捕第二条，重复前一过程 )，得样本),.(2,1nXXX各 相互独立, 且均与 同分布. iXX 设在这 n 次抽样中，捕得 m 条黑鱼. 以此抽样结果可对k作出估计.下面用

40、通常用的距法和极大似然估计法估计 k . 矩估计法:kXEX11)(11Xk矩令可得nmX/由具体抽样结果知， 的观测值为 ，X1mnk矩k故 的矩估计值为 极大似然估计法 的分布为： iX1 , 0,)11()1()(1ixxiixkkkxXPii则似然函数为：nmnxxnnkkkkkxxxkLniinii)1 ()11()1(),.,;(1121)1ln(ln)(),.,;(ln21knkmnxxxkLn01),.,;(ln21knkmndkxxxkLdn令得 的极大似然估计为k. 1/mnkMLE本题虽简单，但它是一个应用十分广泛的统计模型. 例如例如 可将黑白鱼看成是某批产品中的正次品或是某地区的男女性等等.注注 第第14周周 问问 题题母亲嗜酒是否影响下一代的健康母亲嗜酒是否影响下一代的健康 美国的Jones医生于1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文化程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲相同或相近，但不饮酒的46名七岁儿童为对照租(称为乙组). 测定两组儿童的智商，结果如下：甲 组 6 78 19乙 组 46 99 16人数智商平均数样本标准差nxs智商组别 由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大