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1、高二数学 上学期曲线和方程例题（二）例1 过定点A（a,b），任作互相垂直的直线l1和l2，分别与x轴、y轴交于M、N点，求线段MN中点的轨迹方程.说明：要求学生注意求解曲线轨迹方程一般步骤的应用.解：设线段MN的中点为P（x,y），则点M（2x,0）,N(0,2y).根据勾股定理得|AM|2+|AN|2=|MN|2即（a2x）2+b2+a2+(b2y)2=(2x)2+(2y)2化简得 2ax+2bya2b2=0例2 动点B在直线y=2x上滑动，x轴上有一定点A（3，0），求OAB的重心G的轨迹方程.分析：在曲线轨迹方程求出之后，应注意应根据题意考查特殊点是否符合题意.解：设OAB的重心G（x

2、,y），B（x1,y1）,则x=x1=3x3,y1=3y又点B（x1,y1）在直线y=2x上3y=2(3x3)即2xy2=0 此直线平行于直线y=2x，与x轴交点（1，0）不符题意，应除去.所以所求重心轨迹方程为：2xy2=0(x1)相关高考真题例1 （1999全国）如图，给出定点A（a,0）（a0,a1）和直线l：x=1，B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.解法一：依题意，记B（1，b）(bR),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx.设点C（x,y），则有0xa,由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点

3、到直线的距离公式得 依题设，点C在直线AB上，故有.由xa0,得 将式代入式得整理得若y0，则（1a）x22ax+(1+a)y2=0(0xa）若y=0，则b=0,AOB=，点C坐标为（0，0）满足上式.故点C的轨迹方程为（1a）x22ax+(1+a)y2=0 (0xa)a1 （0xa）由此知，当0a1时，方程表示椭圆弧段；当a1时，方程表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CEx轴，E是垂足.（）当|BD|0时，设点C（x,y），则0xa,y0.由CEBD.得|BD|=COA=COB=CODBOD=COABOD，2COA=BOD整理得(1a)x22ax+(1+a)y

4、2=0 （0xa）()当|BD|=0时，BOA=，则点C坐标为（0，0），满足上式，综合（），（）得到C的轨迹方程为（1a）x22ax+(1+a)y2=0 （0xa）以下同解法一.例2（1995年全国）已知椭圆直线l：x=12，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：设点P、Q、R坐标分别为（12，yP）,(x,y)，（xR,yR）,由题设知：xR0,x0.由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由点O、Q、P共线，得即 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得将、代入上式，整理得点Q的轨迹方程：(x0)所以，点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半

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