最新二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案只是分享

1、学习资料1如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象经过点A（ l， 0） ， B（3， 0） ，与 y 轴交于点C，抛物线的顶点为 D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接 BD （ 1）求抛物线的解析式（ 2）若点P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点P 的坐标（ 3）在（2）的条件下，作PF x 轴于F，点M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F， N ， G， M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标精品文档2如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于点A 和点B，与y轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，

2、 6） ，点D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连接BD1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；2）点F 是抛物线上的动点，当FBA= BDE 时，求点F 的坐标；3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作 MN x 轴与抛物线交于点N，点 P 在 x轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标3如图，已知抛物线y=ax2+bx 3 过点A（1， 0） ， B（ 3， 0） ，点 M、 N 为抛物线上的动点，过点M作 MD y轴，交直线BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NF x 轴，垂足为点F1）求二次函数y=ax2+bx 3

3、 的表达式；2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=9° 0 ， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标4.（2015 贵州省毕节地区） 如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1， 0） ， B（ 3， 0）两点，顶点M 关于 x 轴的对称点是M （ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若直线AM 与此抛物线的另一个交点为C，求CAB 的面积；（ 3）是否存在过A， B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不

4、存在，请说明理由5. （2016 辽宁省铁岭市） 如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，点B坐标为（6， 0） ，点C 坐标为（0， 6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连接BD （ 1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（ 2）点F 是抛物线上的动点，当FBA= BDE 时，求点F 的坐标；（ 3） 若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MN x轴与抛物线交于点N， 点 P 在 x轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q 的坐标6. （2016 广东省茂名市） 如图，抛物线y= x2

5、+bx+c 经过 A（1 ， 0），B（ 3， 0）两点，且与y轴交于点 C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点E，连接BD （ 1）求经过A ， B ， C 三点的抛物线的函数表达式；（ 2）点 P 是线段 BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（ 3）在（2）的条件下，过点P 作 PF x 轴于点F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F、 M 、 G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x 2+2x 3；0） ，3；PE=PC 时，求点P 的坐标PF x 轴于F，点M

6、为 x 轴上一动点，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点（ 1）求抛物线的解析式（ 2）若点P 在直线BD 上，当（ 3）在（2）的条件下，作一动点，当以点F， N ， G，3， 0） ，直线BD 的解析式为y= 2x 6，设点P（ a，2a 6） ， C（ 0，3） ， E（1， 0） ，根据勾股定理得，PE2=（ a+1 ） 2+（2a 6） 2，PC2=a2+（2a 6+3） 2， PC=PE，（ a+1 ） 2+（2a 6） 2 =a2+（2a 6+3） 2， a= 2，y= 2×（2）6= 2， P（2，2） ，（ 3）如图，作PF x 轴于F， F（2， 0） ，设 M

7、 （ d ， 0） ，G（d，d2+2d3） ，N（2，d2+2d3），以点F， N， G， M 四点为顶点的四边形为正方形，必有 |d+2|=|d2+2d 3|，FM=MGd=或 d=M 的坐标为（0） ， （， 0） ， （0） ， （0） 二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案1如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象经过点A（l，0），B（3，0） ，与 y 轴交于点C，抛物线的顶点为 D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接 BD N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上M 的坐标 C（ 0，3） ，抛物线的顶点D（1，4） ， E （1， 0） ，设直线 BD 的解析式

8、为y=mx+n ，2如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于点A 和点B，与y轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0， 6） ，点D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连接BD1）求抛物线的解析式及点标； （ 3）若点M 是抛物线上的动点，过点D 的坐标； （ 2）点F 是抛物线上的动点，当FBA= BDE 时，求点F 的坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标解： （ 1 ）把 B 、 C 两点坐标代入抛物线解析式可得y=x2+2x+6y=x 2+2x+6= （ x 2） 2+8，D（ 2， 8） ；2）如图1 ，过 F 作

9、FG x 轴于点G，设 F （ x，x2+2x+6） ，则FG=|x 2+2x+6| ，FBA= BDE ，FGB= BED=9°0 ，FBG BDE ，= ，B（ 6， 0） ，D（ 2， 8） ，M 作 MN x 轴与抛物线交于点N，点 P 在 x 轴上，点Q 在坐E（ 2， 0） ， BE=4， DE=8， OB=6，BG=6 x，=F 在 x 轴上方时，有F 在 x 轴下方时，有x= 1 或 x=6（舍去），此时x= 3 或 x=6（舍去） ，此时F 点的坐标为（1，）；F 点坐标为（3，） ；综上可知F 点的坐标为（1 ，）或（3，） ；（ 3）如图2，设对角线MN 、 P

10、Q交于点O ，点 M 、 N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，点 P 为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设 Q（ 2， 2n） ，则 M 坐标为（2 n， n） ，M 在抛物线y= x2+2x+6 的图象上，n=（ 2 n） 2+2（ 2 n） +6，解得n=1+ 或 n= 1，满足条件的点Q 有两个，其坐标分别为（2，2+2）或（2，2 2） 3如图，已知抛物线y=ax2+bx 3 过点 A（1， 0） ， B（ 3， 0） ，点 M、 N 为抛物线上的动点，过点M作 MD y轴，交直线BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NF x 轴，垂足为点

11、F（ 1）求二次函数y=ax2+bx 3 的表达式；（ 2）若M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（ 3）若M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=9° 0 ， MD=MN ，请直接写出点M 的横坐标解： （ 1 ）把A（1， 0） ， B（ 3， 0）代入y=ax 2+bx 3，得：y=x 2 2x 3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x 22x3=（x1）24，该抛物线的对称轴是x=1 ，顶点坐标为（1 ，4） 如图，设点M 坐标为（m， m2 2m 3） ，其中m> 1， ME=| m2+2m+3|， M 、 N 关于 x

12、=1 对称，且点M 在对称轴右侧，点 N 的横坐标为2 m， MN=2m 2，四边形MNFE 为正方形， ME=MN ， | m2+2m+3|=2m 2，分两种情况：当m2+2m+3=2m 2 时，解得：m1=、 m2=（不符合题意，舍去）当 m= 时，正方形的面积为（2 2） 2=24 8；当m2+2m+3=2 2m 时，解得：m3=2+， m4=2（不符合题意，舍去）当 m=2+ 时，正方形的面积为2（ 2+）22=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8 或 24 8（ 3）设BC 所在直线解析式为y=px+q ，把点B （ 3， 0） 、 C（ 0，3）代入表达式，得：直线 BC 的

13、函数表达式为y=x 3，设点 M 的坐标为（t， t2 2t 3） ，其中 t< 1 ，则点N（2t，t22t3），点 D（t，t3），MN=2 tt=22t， MD=|t 22t3t+3|=|t23t|MD=MN ， |t23t|=2 2t，分两种情况：当t2 3t=2 2t 时，解得t1= 1， t2=2（不符合题意，舍去）当3t t2=2 2t 时，解得t3=， t2=（不符合题意，舍去）综上所述，点M 的横坐标为1 或4.（2015 贵州省毕节地区） 如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于A（1， 0） ， B（ 3， 0）两点，顶点M 关于 x 轴的对称点是M （ 1）

14、求抛物线的解析式；（ 2）若直线AM 与此抛物线的另一个交点为C，求 CAB 的面积；（ 3）是否存在过A， B 两点的抛物线，其顶点P 关于 x 轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由分析： （ 1）根据待定系数法，可得函数解析式；（ 2）根据轴对称，可得M 的坐标，根据待定系数法，可得AM 的解析式，根据解方程组，可得 B 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（ 3）根据正方形的性质，可得P、 Q 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式解答：解：（ 1 ）将A、 B 点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x 2 2x

15、 3；（ 2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y= （ x 1 ） 2 4，M 点的坐标为（1，4） ， M 点的坐标为（1 ， 4） ，设 AM 的解析式为y=kx+b ，将 A 、 M 点的坐标代入，得AM 的解析式为y=2x+2 ，联立AM 与抛物线，得C 点坐标为（5， 12） S ABC= ×4×12=24；（ 3）存在过A， B 两点的抛物线，其顶点P 关于 x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形，由 ABPQ 是正方形，A（1 ， 0） B（ 3， 0） ，得P（1 ，2），Q（1，2），或P（1，2）， Q（1，2），当顶点P（ 1 ，2）时，设抛物线

16、的解析式为y=a（ x 1） 2 2，将 A 点坐标代入函数解析式，得a（1 1） 2 2=0，解得 a= ，抛物线的解析式为y= （ x 1 ） 2 2，当 P（ 1， 2）时，设抛物线的解析式为y=a（ x 1） 2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得a（1 1） 2+2=0，解得a=，抛物线的解析式为综上所述：y= （ x 1 ） 2 2 或y=（ x 1 ） 2+2，y=（ x 1） 2+2，使得四边形APBQ 为正方形5. （2016 辽宁省铁岭市） 如图，抛物线x2+bx+c 与 x 轴交于点A，点B，与 y 轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点 D 是抛物

17、线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为E，连接BD 1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；2）点F 是抛物线上的动点，当 FBA= BDE 时，求点F 的坐标；3） 若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MN x轴与抛物线交于点N， 点 P 在 x轴上， 点 Q 在平面内，MN 为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q 的坐标y=x 2+2x+6 分析 （ 1 ）由点B 、 C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（ 2）设线段BF 与 y 轴交点为点F，设点F的坐标为（0， m） ，由相似三角形的判定及性质可得出点F的坐标，根

18、据点B、 F的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的解析式，联立直线BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F 的坐标；（ 3）设对角线MN 、 PQ 交于点O ，如图2 所示根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、 Q的位置，设出点Q 的坐标为（2， 2n） ，由正方形的性质可得出点M 的坐标为（2 n， n） 由点 M 在抛物线图象上，即可得出关于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论解答 解： （1）将点B（6，0）、 C（0，6）代入y=x2+bx+c 中，得：， 抛物线的解析式为2+8，点 D 的坐标为（2， 8） 2）设线段BF 与 y

19、轴交点为点F，设点F的坐标为（0， m） ，如图 1 所示F BO= FBA= BDE ， F OB= BED=9°0F BO BDE，设直线点B点E直线6， 0） ，点 D（ 2， 8） ，2， 0） ， BE=6 4=4， DE=8 0=8， OB=6， OF=BF 的解析式为y=kx± 3，则有0=6k+3 或 0=6k 3，解得：BF 的解析式为y=x+3或 y=x 3 联立直线BF 与抛物线的解析式得：或?OB=3， 点 F（ 0， 3）或（0，3） k= 解方程组 得：解方程组 得：， 点 F 的坐标为（， 点 F 的坐标为（综上可知：点F 的坐标为（1，）或（

20、3，）1，3，（ 3）设对角线 点 点设点MN 、 PQ 交于点O ，如图2 所示M 、 N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线对称轴上，Q 的坐标为（2， 2n） ，则点 M 的坐标为（2 n， n） 点 M 在抛物线y= x 2+2x+6 的图象上，n=+2（ 2 n） +6，即n2+2n 16=0，解得： n1=1 ， n2= 1 点 Q 的坐标为（2， 1 ）或（2， 1） 6. （2016 广东省茂名市） 】如图，抛物线y= x2+bx+c 经过 A1 ， 0），B （ 3， 0 ）两点，且与y 轴交于点（ 1）求经过（ 2）点（ 3）在（C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点A， B， C 三点的抛物线的函数表达式；E，连接BDP 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；2）的条件下，过点P 作 PF x 轴于点F， G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线M 的坐标y= x2+2x+3；分析（ 1 ）利用待定系数法求出过A，