对数及对数运算(第二课时)

1、1、对数的定义对数的定义 如果如果ax=N，（，（a0,且且a1）那么）那么x叫做以叫做以a为底为底N的对数，记作：的对数，记作： x=aN 其中其中a叫做对数的底数，叫做对数的底数，N叫做真数叫做真数.2、对数式与指数式的互换对数式与指数式的互换 ax=N x=aN. （a0,且且a1）3、由对数定义得出的几个常用式子由对数定义得出的几个常用式子（1）负数和零没有对数）负数和零没有对数（2）loga1 = 0（3）logaa = 1alog N4a= N(a 0,a1).（ ）3、由对数定义得出的几个常用式子由对数定义得出的几个常用式子（1）负数和零没有对数）负数和零没有对数（2）loga1

2、 = 0（3）logaa = 1alog N4a= N(a 0,a1).（ ） 指数运算性质：指数运算性质：能不能延伸到对数中来呢？能不能延伸到对数中来呢？思考思考 探究探究1.aman=am+n；2.aman=am-n；3.(am)n=amn；aaaaaanaalog (MN)log Mlog N(1)Mloglog Mlog N(2)Nlog Mnlog M(nR)(3) aaalogM N = log M+log N.（）证明：证明： 利用指数运算性质可以推导出对数的其利用指数运算性质可以推导出对数的其它运算性质它运算性质.求证：求证：设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=a

3、n ,MN=am+n所以loga(MN)=m+n=logaM+logaN性质（性质（2 2）请自行推导得出）请自行推导得出. .)(Mlog=logaaRnnMn推导：推导：alog M = p,由对数的定义可以得由对数的定义可以得： pM = a ,nnpM = analog M = np即证得即证得 证明：证明： 设设naalog M =nlog M(n R)gaaaaaanaalog (MN)log Mlog N(1)Mloglog Mlog N(2)Nlog Mnlog M(nR)(3) 课本例3，例4求下列各式的值求下列各式的值： )273 (log) 1 (22322(2)log

4、12 log 3- -223 2333(1)=log 3 +log 27 =2+log 3=2+6=8（）原原式式222212(2)=log=log 4=log 2 =23原原式式解：解：)0; 1, 0; 1, 0(loglog=logabccaaabbcc且且且且推导推导:caclog blog b =(a 0,a1;c 0,c1;b 0)log a且且且且证明：证明：令logab=p,则ap=b左边右边paapaaabcccpcccloglogloglogloglog 换底公式abbalog1log1）（bmnbanamloglog2(）8log7log3log)1(732 换底公换底公

5、式的应用！式的应用！2.求下列各式的值求下列各式的值： 43(2) log (4)log45531(1)log 5log(0a1);210log 0.16;5(3)log 100log 4,;(log 27). aaa且且解解:18lg7lg+37lg214lg) 2(-解解:7lg14-2lg+lg7-lg18327= lg14-lg( ) +lg7-lg183214 7= lg7( )183= lg1= 0还有其它还有其它方法？方法？方法二：方法二：27= lg(2 7)-2lg+lg7-lg(2 3 )3= lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(lg2+2lg3)= 07lg1

6、4-2lg+lg7-lg183lg2433lg9（ ）lg 27 +lg8-3lg 104lg1.2（ ）5lg3=2lg31133222lg 27 +lg8-3lg 10lg(3 ) +lg2 -3lg(10)(4)=3 2lg1.2lg1052lg243lg3(3)=lg9lg33(lg3+2lg2-1)2=lg3+2lg2-13=2解解:4、对数的运算性质对数的运算性质aaaaaanaalog (MN)log Mlog N(1)Mloglog Mlog N(2)Nlog Mnlog M(nR)(3)0; 1, 0; 1, 0(loglog=logabccaaabbcc且且且且5、换底公式换底公式很重要！很重要！研究研究指数与对数对比表指数与对数对比表 式式 子子 ax=NlogaN =x 名名 称称a幂的底数幂的底数x幂的指数幂的指数N幂值幂值a对数的底数对数的底数xa为底为底N的对数