祁皑结构力学 第8章位移法

1、第8章 位移法8-2 位移法直接平衡法8-3 位移法典型方程法8-4 对称性利用8-5 支座位移和温度变化时的计算8-1 形常数与载常数8-1 形常数与载常数基本构件基本构件要求要求:熟练背诵形常数和载常数熟练背诵形常数和载常数,并能正确画并能正确画 出相应的弯出相应的弯矩图和剪力图矩图和剪力图三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力. 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力形常数形常数载常数载常数8-1 形常数和载常数结点转角、杆轴弦转角：结点转角、杆轴弦转角：顺时针为正。顺时针为正。符号符号剪力：

2、剪力：以绕隔离体顺时针转动为正。以绕隔离体顺时针转动为正。杆端弯矩：杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正。绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正。 8-1 形常数和载常数1 1 形常数形常数1AB42ABBAMiMi 4i2iAB6i/lABQ6 /Fi l 1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB6 /6 /ABBAMi lMi l 2Q12 /Fi l 8-1 形常数和载常数3iAB1AB3ABMi 3i/lABQ3 /Fi l 3 /ABMi l 2Q3 /Fi l 1AB3i/lAB3i/l2AB1ABiiABBAMiMi ABQ0F AB8-1 形常数和载常数2 载常数载常数F

3、QFQ/2/2ABBAFqlFql F2F2/12/12ABBAMqlMql qql2/12ql2/12ql/2ql/2ABABABFPFP/8/8ABBAMF lMF l FQPFQP/2/2ABBAFFFF FPFP l/8l/2l/2FP l/8FP/2FP/2ABABAB8-1 形常数和载常数lt1t2F0QF F12F12/ABBAMEItthMEItth ABABABqABql2/85ql/83ql/8ABABFQFQ5/83/8ABBAFqlFql F2/8ABMql 8-1 形常数和载常数FP3FP l/16l/2l/211FP/165FP/16ABFP3/16ABMF l F

4、QPFQP11/165/16ABBAFF lFF l ABABlt1t2ABABAB 12F12F3232ABBAEIttMhEIttMh 12Q32FEIttFhl 8-1 形常数和载常数qql2/3qlql2/6lABFQFQ0ABBAFqlF F2F2/3/6ABBAMqlMql ABABFPl/2l/23FPl/8FP l/8FPABABABFPFP3/8/8ABBAMF lMF l FQPFQ0ABBAFFF 8-1 形常数和载常数lFPFPl/2FPl/2FPt1t2lABFPFP/2/2ABBAMF lMF l FQPFF ABAB F12F12/ABBAMEItthMEItth

5、 Q0FF ABABAB8-1 形常数和载常数1AB1AB1AB1AB1AB8-1 形常数和载常数FPl/2l/2ABlt1t2ABlt1t2ABqABqABFPl/2l/2AB8-1 形常数和载常数lFPABt1t2lABqlABFPl/2l/2AB8-2位移法直接平衡法1 无侧移结构【例题例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，相同，i=EI/6。 FP=20kN，q=2kN/m。q3m3m6mFPACB【解解】B点转角位移点转角位移1（1）基本未知量）基本未知量BA1FPBC1q8-2位移法直接平衡法1120 622158ABMii 1120 644158B

6、AMii 2112 63398BCMii （2）写出杆端弯矩）写出杆端弯矩（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。）利用隔离体的平衡方程求结点位移。0BABCMM 1760i 167i 解得解得取取B点为隔离体，建立点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程点的力矩平衡方程BA1FPBC1qBBAMBCM8-2位移法直接平衡法16.7211.5715.853.21M图（图（kNm）（4）将结点位移代回杆端弯矩表达式。）将结点位移代回杆端弯矩表达式。621516.72kN m7ABMii 641511.57kN m7BAMii 63911.57kN m7BCMii （5）按照区段叠加法作出弯矩图）按照区段

7、叠加法作出弯矩图8-2位移法直接平衡法q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0【例题例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。相同。B点顺时针转角位移点顺时针转角位移1（1）基本未知量）基本未知量C点顺时针转角位移点顺时针转角位移2解解8-2位移法直接平衡法20111420 43334048FBABABAEIMiM 1212424241.7FBCBCBCBCMiiM （2）写出杆端弯矩）写出杆端弯矩设设EI0=1q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I08-2位移法直接平衡法1212242441

8、.7FCBBCBCCBMiiM 2233CDCDMi1143BEBEMi1121.5EBEBMiq=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I02242CFCFMi222FCFCMi8-2位移法直接平衡法（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方程，求基本未知量0BABEBCMMM121021.70(a) 解（解（a）和（）和（b），得），得121.154.89 BAMBEMBCMB0CBCFCDMMMCBMCFMCDMC122941.70(b) 8-2位移法直接平衡法（4）求杆端弯矩）求杆端弯矩43.5kNmBAM 46.9kNmBCM 24.5k

9、NmCBM 14.7kNmCDM 3.4kNmBEM 1.73kNmEBM 9.78kNmCFM 4.89kNmFCM 3.443.546.91.74.899.824.514.7M图图(kNm)（5）按照区段叠加法）按照区段叠加法 作出弯矩图作出弯矩图8-2位移法直接平衡法2 2 有侧移结构有侧移结构C、B点水平位移点水平位移1【解解】（1）基本未知量）基本未知量（2）杆端弯矩）杆端弯矩2113/3/8FACACACqlMilMil 113/3/BDBDMilil 由杆端弯矩求得杆端剪力由杆端弯矩求得杆端剪力2Q133/8CAqlFil 2Q13/CAFil 试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示

10、刚架的弯矩图。各杆E相同。相同。AE1A=lBCDqii【例题例题】8-2位移法直接平衡法（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方程，求基本未知量FQCAFQDBQQ0CADBFF2136/08qlil 31348qli （4）求杆端弯矩）求杆端弯矩2516ACqlM 2316BDqlM 2516ql2316qlM图图有侧移的题一定用到由弯矩求剪力有侧移的题一定用到由弯矩求剪力（5）按照区段叠加法）按照区段叠加法 作出弯矩图作出弯矩图8-2位移法直接平衡法C、D点水平位移点水平位移2【解解】（1）基本未知量）基本未知量（2）杆端弯矩）杆端弯矩22220 43/43/4408AC

11、Mii 1246/4DBMii试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，相同，i=EI/4。【例题例题】D点的转角位移点的转角位移1A4mBCD20kN/m4m2m30kN30kNABCD20kN/m60kNm30kN1330DCMi 1226/4DBMii8-2位移法直接平衡法由杆端弯矩求得杆端剪力由杆端弯矩求得杆端剪力2Q2233/3/16308CAqlFili2Q12126/12/3/23/4DBFililii （3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方程，求基本未知量QQ300CADBFF21153600(b)216ii 0DCDBMM1237300(

12、a)2ii DCMDBMD30FQCAFQDB8-2位移法直接平衡法1163024802323ii（4）求杆端弯矩）求杆端弯矩120.87kN m52.17kN m52.17kN m106.96kN mACDCDBBDMMMM （5）按照区段叠加法作出弯矩图）按照区段叠加法作出弯矩图120.87106.96M图图(kNm)52.1760408-3 位移法典型方程法【例题例题】试做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。Ah =4mCq =3kN/mi2iBDil =8m 如果基本体系与原结构如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等加约束上的约

13、束反力一定等于零。于零。q =3kN/mF1012基本体系基本体系F20基本结构基本结构12F1F28-3 位移法典型方程法k11k2111 2i4i6i1M图图（1） 1=1单独作用时，附加约束的反力单独作用时，附加约束的反力k11、k21。k11=10ik21=-6i /h=-1.5i附加刚臂上的约束力以附加刚臂上的约束力以 顺时针为正。顺时针为正。 附加链杆上的约束力以附加链杆上的约束力以 读者规定的方向为正读者规定的方向为正6i/hk21k114i6i8-3 位移法典型方程法k12k2221 6i/h6i/h3i/h2M图图（2） 2=1单独作用时，附加约束的反力单独作用时，附加约束的

14、反力k12、k22。k12=-6i/h=-3i/2k22=15i /h2=15i/1612i/h23i/l2k22k126i/h8-3 位移法典型方程法F1PF2P（3） 荷载单独作用时，附加约束的反力荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。MP图图F1P= qh2/12=4qh/2F2P=- qh/2=-6F2PF1Pqh2/12qh2/12qh2/128-3 位移法典型方程法将三种情况下的附加约束反力叠加，得将三种情况下的附加约束反力叠加，得11111221P22112222PFkkFFkkF位移法方程为位移法方程为1111221P2112222P00kkFkkF位移法方程的物理意义

15、位移法方程的物理意义 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零将求得的系数和自由项代入方程，求解得将求得的系数和自由项代入方程，求解得1212101.540151.56016iii120.737/7.58/ii 系数系数自由项自由项8-3 位移法典型方程法将三种情况下的弯矩图叠加将三种情况下的弯矩图叠加1122PMMMMM图图(kNm)4.4213.625.698-3 位移法典型方程法典型方程法的解题步骤典型方程法的解题步骤（1）选择基本结构）选择基本结构（2）建立位移法方程）建立位移法方程（3）求系数和自由项，解方程，求基本未知量）

16、求系数和自由项，解方程，求基本未知量（4）利用叠加原理，作弯矩图）利用叠加原理，作弯矩图8-3 位移法典型方程法【例题例题】试做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。4m10kNm2EI4m20kN/m40kN2EIEIEI2m2m基本结构基本结构12解解（2）建立位移法方程）建立位移法方程1111221P2112222P00kkFkkF（1）选择基本结构）选择基本结构8-3 位移法典型方程法2M图图k12k2221 k11=12ik114i8i1M图图k1111 k21k21=4ik214i8i4i4i2i4i8i4i6i2ik12=4ik114ik21=18i8i4i6ik22(3)求系

17、数和自由项，解方程求系数和自由项，解方程8-3 位移法典型方程法F1PF2PMP图图1026.7F1P1026.73026.7F1P=-36.7F2P3026.7F2P=-3.3123.24/0.534/ii 将系数和自由项代入方程，解得将系数和自由项代入方程，解得（4）利用叠加原理，做弯矩图）利用叠加原理，做弯矩图35.52.9M图图136.52.11结点集中力偶不影响结点集中力偶不影响MP图图, 但影响但影响FiP。8-3 位移法典型方程法EI1=EI1=iiiillFPFP【例题例题】试做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。解解（2）建立位移法方程）建立位移法方程1111221P21

18、12222P00kkFkkF2 1 基本结构基本结构（1）选择基本结构）选择基本结构8-3 位移法典型方程法11 k11k211M图图6i/l6i/lk11= 24i/l 212i/l 212i/l 2k21=- 24i/l 212i/l 212i/l 2(3)求系数的自由项求系数的自由项12i/l 212i/l 2k22=48i/l 212i/l 212i/l 2k12= -24i/l 212i/l 212i/l 221 k12k226i/l6i/l6i/l2M图图8-3 位移法典型方程法F1P=-FPFPFPF2P=-FP将系数和自由项代入方程将系数和自由项代入方程,解得解得22PP123

19、2412F lF lii(5) 利用叠加法作出弯矩图利用叠加法作出弯矩图P/4F lP/4F lP/2F lP/2F lM图图F1PF2PFPFPMP图图结点集中力不影响结点集中力不影响MP图图, 但影响但影响F1P。8-3 位移法典型方程法【例题例题】试建立图示有斜杆的刚架的位移法方程试建立图示有斜杆的刚架的位移法方程ABCDEIEI5EI4a4a4a3aq解解 （1）选择基本结构）选择基本结构12ABCD基本结构基本结构1111221P2112222 P00kkFkkF （2）建立位移法方程）建立位移法方程8-3 位移法典型方程法1=110i20i15i213032033504ikaiai

20、ak11k21k11=35i20i15ik114a3aO35ik2120i304ia1M图图取未知轴力的交点作为矩心取未知轴力的交点作为矩心0OM 21252ika 8-3 位移法典型方程法5a3435DACBk12C13aO1B121 4a15i/2a5i/a20i/ak2215i/2ak122M图图1AB4/3BC5/3DC15i/2ak12=25i/2ak125i/a8-3 位移法典型方程法22222224151525:3530242145120OiiiikaaaaaaaMika 25i/2a15i/4a24a3aOk2215i/2a5a4i/a215i/2a5i/a20i/ak2215

21、i/2a25i/2a8-3 位移法典型方程法222P2P382020OMFaqaqaFqa 2qa2F2PF1P2qa2F1PF1P=-2qa24a3aOF2PF1PMP图图8-3 位移法典型方程法有弹性支座时的计算有弹性支座时的计算 已知弹簧刚度已知弹簧刚度K=12EI/l，试求梁的弯矩图。，试求梁的弯矩图。qEIEIll1 基本结构基本结构解解 （1）选择基本结构）选择基本结构（2）建立位移法方程）建立位移法方程1111P0kF 8-3 位移法典型方程法11 k113 / i l3 / i l1M图图（3）求系数和自由项，解方程）求系数和自由项，解方程Kk1123 / i l23 / i

22、l2116ki lKF1P3/8ql3/8qlF1P2/8ql2/8ql2M图图1P3/4Fql 将系数和自由项代入方程，求得将系数和自由项代入方程，求得31/24qli 8-3 位移法典型方程法（4）作弯矩图）作弯矩图2/4ql2/4ql讨论讨论K 2/8ql2/8ql2/2ql2/2ql0K 8-4 对称性的利用【例题例题】试求图示组合结构的内力。已知横梁的试求图示组合结构的内力。已知横梁的EA=2EI。 吊杆的吊杆的E1A1=EI/20。10kN/m15m20m20m20m【解解】10kN/m(1) 取半边结构取半边结构8-4 对称性的利用(2)选择基本结构选择基本结构12(3)建立位移

23、法方程建立位移法方程1111221P2112222P00kkFkkF(4)求系数和自由项求系数和自由项1=1k11k21k114iABiBCk11=4iAB+iBC6iAB/l2k21k21=6iAB/l21M图图8-4 对称性的利用2=1k12k22k12k12=-6iAB/lAB6iAB/lAB2=13/5k2235DBEAl22663395525ABABABDBABDBiiEAEAkllll2M图图6iAB/lAB6iAB/lAB26ABABil8-4 对称性的利用F1PF2P1000310006F2PF1P100031P10003F 100F2P=-100 21212264036120

24、BCABABBCABABABBCABABqliiiliiqlll12123330.30.0151000.0150.00222EIEI12508079400EIEIMP图图8-4 对称性的利用(5)作弯矩图作弯矩图6826826751741741122PMM XM XMM图图(kNm)8-5 支座位移和温度变化时的计算【例题例题】 试求图示结构的弯矩图试求图示结构的弯矩图.已知已知C点有竖向支座位移点有竖向支座位移C。解解:lliiC(1)选择基本结构选择基本结构1(2)建立位移法方程建立位移法方程11110ckF 1 支座位移支座位移基本结构基本结构8-5 支座位移和温度变化时的计算(3)求系

25、数和自由项，解方程求系数和自由项，解方程1=1k113i3ik113i3ik11=6iCF1c3Cil 3Cil F1c13cCFil 8-5 支座位移和温度变化时的计算1360Ciil12Cl 将求得的系数和自由项代入方程，解得将求得的系数和自由项代入方程，解得1.5Cil (4)作弯矩图作弯矩图11cMM XMM图图支座位移引起的内支座位移引起的内力与刚度成正比力与刚度成正比8-5 支座位移和温度变化时的计算 llEIEI基本结构基本结构【例题例题】试求图示结构在支座位移下的弯矩图。试求图示结构在支座位移下的弯矩图。解解（1）选择基本结构）选择基本结构（2）建立位移法方程）建立位移法方程1

26、1110ckF 1 8-5 支座位移和温度变化时的计算4i4ik11k11=8iF1c2i 1c2Fi 4i2i4i2ik111M图图4i F1c2i cM图图（3）求系数和自由项，解方）求系数和自由项，解方程程 将系数和自由项代入将系数和自由项代入方程，解得方程，解得14 （4）用叠加法作）用叠加法作M图图3.5i i 0.5i M图图8-5 支座位移和温度变化时的计算2 温度变化温度变化lllllh 试求图示排架由于温度均匀升高试求图示排架由于温度均匀升高t所产生的弯矩。各横梁的所产生的弯矩。各横梁的截面尺寸相同，各立柱的截面尺寸相同，温度膨胀系数为截面尺寸相同，各立柱的截面尺寸相同，温度

27、膨胀系数为。解解（1）各柱子温度均匀升高只引起柱顶的竖向位移，）各柱子温度均匀升高只引起柱顶的竖向位移， 没有引起内力。没有引起内力。（2）各横梁温度均匀升高引起横梁的轴向伸长，使各柱）各横梁温度均匀升高引起横梁的轴向伸长，使各柱子顶点发生水平侧移。子顶点发生水平侧移。8-5 支座位移和温度变化时的计算每个横梁的伸长为每个横梁的伸长为tl 则，各柱顶的水平侧移如图所示。则，各柱顶的水平侧移如图所示。由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。2 32 52 M3M5M232EIMtlh 离对称轴越远的柱子，温度影响越大离对称轴越远的柱

28、子，温度影响越大。建筑上通过设置温度缝，减小温度影响。建筑上通过设置温度缝，减小温度影响。斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。8-5 支座位移和温度变化时的计算Al/2CBDlAC1 例题例题 试求图示刚架的弯矩图。已知刚架外侧温度升高试求图示刚架的弯矩图。已知刚架外侧温度升高40，内侧升高内侧升高20；各杆均为矩形截面，；各杆均为矩形截面，EI=常数，常数，i=EI/l，截面高度，截面高度h=l/10；材料的线膨胀系数为；材料的线膨胀系数为。解解：（1）取半边结构）取半边结构 及基本结构及基本结构8-5 支座位移和温度变化时的计算i4ik11（2）建立位移法方程）建立位移法方程1111t0kF （3）求系数和自由项，解方程）求系数和自由项，解方程1