第十一章联立方程组模型

1、第十一章第一节第二节第三节第四节联立方程组模型联立方程组模型及其偏倚联立方程组模型的识别联立方程组模型的估计 案例分析第一节联立方程组模型及其偏倚一、联立方程组模型的性质二、联立方程 组模型中变量的类型三、联立方程组模型的偏倚性四、联立方程组模型的种类一、联立方程组模型的性质联立方程组模型：指用若干个相互关联的单一 方程，同时去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型，即用一个 联立方程组去表现多个变量间互为因果的联立关系。也称为联立方程模型。 例：模型I （商品需求与价格）Qt 0 1 Pt 2Xt ult *P Q P01t2t u2 t t Qt:需求量Pt:价格* P X t:消

2、费者收入水平t:代用品价格3例：模型（简化的凯恩斯宏观经济模型）Ct 0 lYt ult It 0 lYt 2Yt 1 u2t Y C I Gttt ©:消费It:投资Yt:国民收入Gt:政府支出说明：联立方程组模型中的方程随机方程（行为方程式）:含有随机扰动项和 未知参数的非确定性方程；定义方程式：不含随机扰动项和未知参数的确定 性方程。4二、联立方程组模型中变量的类型1.内生变量：由模型体现的经济系统 本身所决定；受模型中其他变量的影响，是某个方程式中的被解释变量； 一般受随机扰动项的影响而成为随机变量。2.外生变量：在模型体现的经济 系统之外给定；不受模型中其他变量的影响，在某

3、个方程式中充当解释变 量；在模型中是非随机的。53.滞后内生变量：代表内生变量滞后值的变量。虽然内生变量是由模型系 统内决定的，但滞后内生变量不受现期的模型系统决定。4.前定变量：包括外 生变量和滞后内生变量。模型I Qt 0 1 Pt 2Xt ult *P Q PO 1 t 2t u2t t 模型 II Ct 0 lYt ult It 0 lYt 2Yt 1 u21 Y C I Gt 11 t小练习判断下述模型中的内生变量、外生变量、前定变量。练习1 Rt 0 1 Mt 2Yt 3Yt 1 ult Yt 0 1 Rt u2 t Rt:利率 Yt:GDP M t:货币供给练 习 2Wt 0 1

4、 It ult Ct 0 1 It 2Wt u2t P I W C u 0 1 121 3 t 3t tWt:国有企业职工年平均工资Pt:价格指数Ct:居民消费水平指数11:固定资产投资7三、联立方程组模型的偏倚性以前述模型为例来进行说明。模型 l【Ct 0 lYt ult It 0 lYt 2Yt 1 112 t Y C I G ttt t把式和式代入中，则：0 Oult u2t 2 1 Yt Yt 1 Gt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1联立方程组模型的偏倚性：指由于联立方程组模型中的内生变量作为解释 变量与随机扰动项相关，从而引起参数的OLS估计量有偏且不一致，称为联 立

5、方程组模型的偏倚性。四、联立方程组模型的种类按变量间的联系形式分，可将联立方程组模型 分为三类：结构型模型、简化型模型、递归型模型。1.结构型模型定义： 指根据经济行为理论或经济活动规律设定的，描述经济变量之间现实的经济结构关系的模型。模型II模型I C t 0 lYt Lilt Q P X u to 1 t2t ItIt 0 lYt 2Yt 1 u2t* Pt 0结构型模型的标准形式 HYlt 2t IkYkt ult 21Ylt 22Y21 kYkt u2t M lYlt M 2Y21IQt 2 Pt u2t Yt Ct It Gt 1012Y2t1 M YMt 11 X It 12X2

6、M YMt 21 X It 22X2t2MM YMt M 1 X It M2X2tMk Ykt uMtYlt,Y2t,YMt 为内生变量 Xlt,X2t, ,Xkt 为前定变量(X Yt, u2t, uMt 为随机扰动项it可恒等于1,表示常数项)ij(i 1,2, ,M;j 12 ,M)为内生变量的参数 ij(i 1,2, ,M;j 1,2, ,k) 为前定变量的参数统称：结构参数11结构型模型标准形式的矩阵表示 HYlt 12Y2 t 1 M YMt 11 XIt 12X2t IkYkt ult 2IYlt 22Y212 M YMt 21 X it 22X2t 2 kYkt u2t M l

7、Ylt M 2Y21 MM YMt M 1 X It M2X2tMk Ykt uMtY X U 1121 M 1结构型模型标准形式的矩阵表示12 22IM M2 MM Ylt2M11 12M2t Y22 21YMt M 1 ult u 2tU M 1 M2uMt M 1Ik X It X2k2t XMk M kXkt k 1例：前述模型I Qt01 Pt 2Xt ultP0 1 t2tu2 t txt*移项得：IQtQPtPXXt0 P2 Ptu 1 02 1t1t02ttu2t 1 0t 2t *111 tultP t1 QtY X U14说明结构方程反映了内生变量直接受前定变量、他内生变量

8、和随机扰动项影响的因果关系，方程的右端可能出现其他内生 变量。结构参数ij和ij,反映了结构方程中解释变量对被解释变量的直接影 响程度。结构型模型具有偏倚性问题，不能直接用OLS法估计。不能直接 用结构型模型进行预测。2.简化型模型简化型模型，指每个内生变量都只被表示为前定变量及随机 扰动项函数的联立方程模型。Y X U 1 1 1 1 若 0,则存在，则：Y X U Y 1 X 1U 令 1 ,V 1U,贝IJ ： Y X V简化型模型的参数矩阵简化型模型的随机扰动项16 结构型模型标准形式的矩阵表示 例：前述模型 I Qt 01 Pt 2Xt ult *P Q P0 1 t2t u2tt+

9、1得:Qt ( 0 1 0) 1 IQt 2Xt 1 2 Pt* ult lu2t+1得：0 1 Oult lu2t 2 1 2*Qt Xt Pt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l*tPt ( 0 1 0) 1 1 Pt 2 1 X t 2P lult u2t0 1 0 lult u2t 2 1 2*Pt Xt Pt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17说明简化型模型中每一个方程的右端不再出现内生变量，只有前定变量和随机扰动项。简化型模型不存在偏倚性问题，可 以直接利用OLS法进行估计。简化型模型的参数，综合反映了前定变量对内 生变量的直接影响和间接影响。简化型模

10、型可用于预测。直接影响和间接影响理解结构型模型Qt 0 IPt 2Xt ult *P Q P0 1 t2 t u2 t t简化型模型 0 1 Oult lu2t 2 1 2*Qt Xt Pt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1第二节联立方程组模型的识别一、联立方程组模型识别的定义二、联立方 程组模型识别的类型三、联立方程组模型识别的方法01 Pt 2X2X 1 2P*2 1 X 2P*t 11 12t 13 t一、联立方程组模型识别的定义例：(商品需求与价格)Qtt ult 结构型模型 *P Q P。lt2tu2tt简Q 0 1 0 ult lu2ttt t 1 1 1 1 1 1

11、 1 1 1 1 1 1 化 P 0 1 0 lult u2ttt 型 tl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * Q X P vlt * P X P21 21 t231 v2t t21* Q1 0 2 12,X P t 11 12t 13 t vl t * P12 , 13 其中，11 1 1 1 1X P21 21 t23 t v2t t 01 1 1 1 10 1 0 2 1 2 21 , 22 , 23 11 1 1 1 1 1 1 1 11, 12, 13, 21,22, 23能否利用OLS法估计出0, h 2,再利用上述六个方程，求针对不同的模型，可能求得出，也可能求不出

12、；可能求出的解是唯一的, 也可能有很多个解口 22联立方程组模型识别的定义联立方程组模型的识别问题，是指能否从简化 型模型参数的估计值中,合理地求解出结构型模型参数的估计值。如果可以求 解出.则这个结构方程是可识别的，否则是不可识别的。说明：联立方程组模型的识别问题是针对结构型模型而言的；结构型模型中的定 义方程、均衡方程不存在识别问题；如果结构型模型中的每一个结构方程都是 可识别的，则称该联立方程组模型是可识别的；在结构型模型中，只要有一个 结构方程不可识别，就称该联立方程组模型是不可识别的。23二、联立方程组模型识别的类型1.不可识别2.恰好识别3.过度识另1J1 .不可技别定义：,果结构

13、型模型中的某个方程参数的估计值，不能由简 化型模型参数的估计值求解出，则称该方程是不可识别的。例1:商品需求与供 给 Qtd 1 2Pt ult sQt 1 2Pt u2 t dsQ Q t tQtd:商品需求量Q :商品供给量Pt:商品价格s tQtd 12 Pt ult s Qt 12 Pt u2t dsQ Q t t 利用和可得：12 Pt ult 12 Pt u2t1 1 u2t ult Pt 2 2 2 21 u2 t ult) u t 1 2 It将代入中可得：Q (12 2 2 2 21 1 2 2u2t 2ultQt 2 2 2 2 从而简化型：Pt 1 vlt Qt 2 v

14、2 tPt 1 vlt 1 1 2 1 1 2 简化型：1 2 其中，2 2 2 2 Qt 2v 2 t 1, 2利用OLS法估计出简化型模型的参数，1, 2,再利用上述两个方程，无法求出四个未知数12故：结构型模型中的两个方程均不可识别，该联立方程组模型不可识别。Qtd 1 2 Pt ult s 结构型：Qt 1 2 Pt u2t d s Q Q t t272,恰好识别定义：如果结构型模型中的某个方程的参数估计值能够由简化型模型参数的估计值唯一求解出,则称该方程是恰好识别的。例2:商品需求与供给 Qtd 12 Pt ult s Qt 1Pt 1:商品上一期的价格Qtd 1 2Pt ult s

15、 Qt 1用和可得：1 2 Pt ult 13u2t ult 1 1 ® Pt Pt 1 22u2t 2ult 2 1 1 2 2 3Qt2 Pt 3Pt 1 u2 t dsQ Qt t2 Pt 3Pt 1 u2t dsQ Qt t 利2 Pt 3 Pt 1 u2t2222 2将代入中可得：Pt 12 2 2 2 2 2从而简化型：Pt 1112 Pt 1 vltQt 21 22 Pt 1 v2tPt 1112 Pt 1 vlt 简化型：Qt 21 22 Pt 1 v2t1 1 其中，1122 3 12 2 221 12 21 2223 22 2211, 12, 21, 22利用OL

16、S法估计出简化型模型的参数,1, 2,再利用上述四个方程，不能求出全部五个未知数12322但利用和可得：2 12再利用和可得：1 21 2 1130恰好可识别Qtd 12 Pt ult s 结构型：Qt 12 Pt 3Pt 1 u2t dsQ Qt t在供给方程中增加了一个变量，使得需求方程可识别了！那么，如果我们 在需求方程里也增加一个新的变量，是否供给方程也会变得可以识别呢？例3:商品需求与供给Qtd 12 Pt 3 It ultIt:消费者s收入水平Qt 12 Pt 3Pt 1 u2 tdsQ Qt t利用和可得：12 Pt 3It ult1 2 Pt 3 Pt 1 u2t 3 3u2t

17、 ult 1 1 Pt It Pt 1 2 2 2 2 2 2 2 2 将代入中可得：2 3 2u2t 2ult 2 1 1 2 3 2 Qt It Pt 1 2 2 2 2 2 2 2 232Pt 11 12It 13 Pt 1 vlt 从而简化型：Qt 21 22 It 23 Pt 1 v 2t1 1 其中，11 2 2 3 12 2 2 3 13 2 22 1 12 21 2232 22 2223 23 22(9) (10) (11)11, 12, 13, 21, 22 23利用OLS法估计出简化型模型的参数,1, 2, 3,再利用上述六个方程，可以唯一求出六个未知数123 从而，联立方

18、程组模型中的每一个方程都是恰好识别的，即：联立方程组模型 恰好识别。331 1 11 2 2 3 12 2 2 3 13 2 22 1 12 21 2232 22 2223 23 22(9)(11)22利用和可得：2 12 23利用和(11)可得：2 13(6) 2-可得：1 21 2 11 2-(10)可得：3 22 2 12(6) 2-可得：1212 1134(8) 2-(11)可得：3 23 2 13如果联立方程组模型中的某个结构型方程中缺少一个其他方程中含有的变 量，则该结构方程就恰好可识别！那么，如果缺少两个或更多个呢？3.过度识别定义：如果结构型模型中某个方程的参数估计值能够由简化

19、型 模型参数估计值求解出，但求解出的值不唯一，则称该方程是过度识别的。例 4:商品需求与供给Qtd 12 Pt 3It 4Rt ultRt:消费者拥s有的财产 Qt 12 Pt 3 Pt 1 u2 t d s Q Q t tQtd 12 Pt 3 It 4Rt ult s Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u21 dsQQ t t 利用©和可得：12 Pt 3It 4Rt ult 12 Pt 3 Pt 1 u23 3u2t ult 1 1 4 PtIt Rt Pt 12222222222将代入中可得：2Pt 1 2 2 2 2 2 22 2 2 2Pt 11 12It 13 RtRt

20、 24 Pt 1 v2t37Pt 11 12It 13 Rt24 Pt 1 v 2 t 其中，11 1221 22 23 242 1 1 2 2 2 3 23 2u2t 2ult 2 11214 Pt 1 vlt从而简化型：14 Pt 1 vlt 简化型：Qt13 14 1 1 2 2 3 22242222323 2 4 2 Qt It RtQt 2122 It 232122 It 23 Rt2 4 2 2 3 2 22(10) (11) (12) (13)11, 12, 13,14, 21, 22, 23, 24利用OLS法估计出简化型模型的参 1, 2, 3, 4,再利用上述八个方程，求出

21、七个未知数123则可能有多个解，从而联立方程组模型中某个或某些方程可能是过度识别的。38 三、联立方程组模型识别的方法1 ,模型识别的阶条件2 .模型识别的秩条件1.模型识别的阶条件思想：一个结构型方程的识别取决于不包含在这个方 程中，而包含在模型其他方程中变量的个数。假设：模型中共有M个方程， 其中M个内生变量，K个前定变量；第i个方程中包含mi个内生变量，ki个 前定变量。阶条件：当一个结构型方程中不包含的变量（包括内生和前定）的总 个数，大于或等于模型中内生变量总个数M-1时，该方程可能可识别。40阶条件（M K） （mi ki） M 1K ki mi 1 （一个结构型方程中不包含的前定

22、变量个数，大于或等于该方 程中的内生变量个数减1）K ki mi 1第i个方程可能恰好识别K ki mi 1 K ki mi 1第i个方程可能过度识别K ki mi 1第i个方程不可识别注 意：模型识别的阶条件是一必要条件，而非充分条件！ 41K ki mi Id Q 例 l:t 12 Pt ult s Qt 12 Pt u21 d s Q Q t t0 0 2 1不可识别0 0 2 1不可识别Qtd 12 Pt ult例2:1 0 2 1 可能恰好识别 s Qt 12 Pt 3 Pt 1u2 t 1 1 2 1 不可识别 d s Q Q t tK ki mi Id Qt 12 Pt 3It

23、ult例3: s Qt 12 Pt 3 Pt 1u2 t d s Q Q t t2 1 2 1可能恰好识别2 1 2 1可能恰好识别例4: Qtd 12 Pt 3It 4Rt ult3 2 2 1 可能恰好识别 s Qt 12 Pt 3 Pt I u2 t d s Q Q t t31 2 1可能过度识别练习 K ki mi 1 Yt C t 11 Gt Ct 1 2Yt 3Tt ult It 1 2Yt 3Yt 1 u2t Tt 1 2Yt u3 t 税收2 0 3 1可能恰好识别2 1 2 1可能恰好识别2 0 2 1可能过度识别2.模型识别的秩条件在有M个内生变量M个方程的完整联立方程组模

24、型 中，当且仅当一个方程中不包含但在其他方程中包含的变量（内生和前定）的结 构参数，至少能够构成一个非零的M-1阶行列式时，该方程是可以识别的。 等价定义：当且仅当一个方程所排斥的变量的结构参数矩阵的秩等于M-1时， 该方程可以识别。模型识别的秩条件是充分必要条件。45Y X U结构型模型标准形式的矩阵表示假设：矩阵。，。为结构型模型第i个方程中没有包含的内生变量和前定 变量系数所构成的矩阵。贝IJ ： rank 0, 0 M 1等价于：至少有一个M-1阶非 零行列式只有一个M-1阶非零行列式时，该方程恰好识别；该方程可识别有不止一个M-1阶非零行列式时，该方程过度识别；不存在M-1阶非零行

25、列式时，该方程不可识别。46运用秩条件判别模型识别性的步骤将结构型模型转变为结构型模型的标准形式，并将全部参数列成完整的参 数矩阵考察第i个方程的识别问题：划去参数矩阵中该方程的那一行，并划去 该方程出现的变量的系数所在列，余下该方程不包含的变量在其他方程中的系 数矩阵，记0, 0为：计算rank 0, 0，检脸所余系数矩阵0, 0的秩，看是否等于M-1判断。如果rank。，0 M 1 ,则该方程可识别。再根据非零行 列式的个数，来判断是恰好识别还是过度识别。47Yt Ct It Gt 例： Ct 1 2Yt 3Tt ult It 1 2Yt 3Yt 1 u21Tt 1 2Yt u3tYt Ct It 0 Tt 0 1 Gt 0 Yt 1 0结构型模型的标准形式2Yt Ct 0 It3Tt 1 0 Gt 0 Yt 1 ult0 Gt 3Yt 1YtCtu2 t2Yt 0 Ct 0 It Tt 12YtGt 00 Ct It 0 TtYt 1 u3tTt 10 11Gt 1000Yt 1 0 0 12 ,