传播子和Feynman路径积分

1、2.5 传播子和Feynman路径积分 一、波动力学的传播子n不含时Hamiltonian量体系的时间演化用与H对易的观测量的本征矢展开初态可方便求得：n或 n其中，a0iE (t t )/0000aiH(t t )/|,t ;te|,t|aa|,te0iE(tt)/00a(x, t),;(t )() eaaaxttcux a| x) x(u a30003*0(t )|,t|,t ( ) ( ,t )aacad xaxxd x uxx n将上述表达式改写成：n即n这里n称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。000()/00()/30()/3

2、0|, ;|,|,|( , )aaaiEt taiEt taiEt taxt txaated xxaaxxted xxaaxx t e)t , x()t , x; t , x(K xd) t , x(0030()/0( , ; , )|aiEt taK xt x txaaxe讨论：讨论：n上式表明，若初态已知，则波函数的时间演化便完全由K确定。Schrdinger波动力学是纯粹的因果理论。n受势作用的波函数的时间变化，只要系统不受扰动，便与经典力学中任何量一样完全确定。n不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”因观测量有多个本征函数而呈概率性，但统计上有确

3、定的几率。 二、传播子的基本性质n1. 传播子 满足含时Schrdinger波方程（ ,tt0为变量， 不变）。n2. （即 ）n这两性质说明传播子可看作是t0 时处于 的粒子在t时刻的波函数（ ）n对初态分布于一定空间的情况，需要做的只是将相应的波函数乘以传播子并对空间积分。这种方式相当于对不同位置的贡献求和，与静电学求电势相似（但有“相位”）：0( , ; , )K xt x tx x,t0|xx030tlim( , ; ,t )( )tK xt xxx x|e| x)t , x; t , x(K/ )tt (iH00 x| xx|) x( xd)x(32200( , ; ,t )( )

4、( , ; ,t )2iK xt xV xK xt xtm n传播子其实就是含时波动方程的格林函数：n和边界条件 （对tt0）.n第一式右边的函数是由于K在t=t0不连续)tt ()x x(i)t , x; t , x(Kti)x(Vm2030220)t , x; t , x(K0三、传播子的 例子n传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。n1. 一维自由粒子。P与H对易，共同本征态n由n可得n该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散展开的情形 2|p, p|pp|p, 2pH ppm/ x ipe21 p| x200200 ()1( )( , ; )exp22( )exp2()2 ()ipttip

5、xxK xt x tdpmmim xxitttt2. 谐振子 的传播子n波函数为n其传播子为n该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质n也可通过a和a+算符方法n最方便的是利用即将描述的路径积分方法。n由于传播子是以为角频率的时间周期函数，位于x的粒子将在 回到原位置。 11224/221exp22!nintiE tnnnmmxmux eHx en xx2ttcos xx*ttsin2imexpttsini2m)t x; t x(K022000 222222021expexp2!11nnnnnHHn n2t四、传播子的时间与空间积分n空间积分：n由于 ，取 并积分相当于求坐标表象中时间演化

6、算符的迹，故得上述结果。由于迹不随表象变，在 表象中H对角，便于求出G(t) 。n在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且 为正实数，则G(t)演化为 ，与统计力学的配分函数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的方法对统计力学也有用（反之亦然）。 3/32, ; ,0| |aaiE tiE taaG td x K x t xd xxaee0()/0, ; |iH t tK xt x txex xx a|it/ZexpaaEG(t)的Laplace-Fourier变换 /00/exp/iEtiEtaaG EidtG t eidtiE te 被积函数振荡，积分不易求。令EE+i,且0，则可见体系的完

7、整能谱都表现在复E平面的 的极点。研究物理体系的能谱，只要研究 的解析性质 /00000/lim/lim11limaxi EE ttaaaaaaaie dxG Eidteei EEEEiEE(E)G(E)G五、传播子作为跃迁振幅 n波函数是特定位置左矢与随时间变化右态矢的内积，也可被认为是Heisenberg图象中反向时间演化的位置左矢与不随时间变化的状态右矢之乘积。类似地，传播子可写为n这里 和 是海森堡图象中位置算符的本征左矢和右矢。n因 是从 到 态的跃迁振幅，故 是t0时处于 的粒子在t时处于 的几率振幅。或者说 是由时空点 到另一时空点 的跃迁振幅。00/0/0K x,t;x,t|

8、| | |, | ,aiEt taiHtiHtaxaa xexeaa exx t x t, |xt0t , x|0t , a| t , b0t , a|t , b|0t , x| t , x xx0t , x| t , x)t , x(0( , )xt另种解释n由于Heisenberg图象中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢，我们也可称 为链接不同时间的两组基矢的变换函数。n因此，在Heisenberg图象中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。n这与经典动力学中物理量随时间的变化可看作由经典Hamiltonian产生的正则变换相似。0t , x| t , x六、传播子的组合性质n为使时空坐标

9、记号更对称，记 为 n由于海森堡图象中在任意给定时间的位置态矢形成完备基，可在任意位置插入单位算符 n 因而 该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。n类似地有 ：n若知无穷小时间间隔 的形式，则一般的 可利用传播子的组合性质而得。这种推理方式导致了Feynman的量子力学理论形式。0t , x| t , xt, x|t, x1 t | x t x | xd3 t x| t x t x|txxd t x|txtttt|x tx tdxdxxtx tx tx tx tx t dtttt ,x|tx t ,x|tx七、作为路径求和的路径积分 n为简单记，讨论一维情型，并记 为n将t1至tN分为N-

10、1等分 ， 则n为讨论该表达式的含义， 可看如图所示的时空平面： n时空的初始与终点固定， 由初始到终点有不同的可 能路径。对给定一路径， 我们要计算其跃迁振幅， 然后对各种可能路径求和，这与经典力学是有差别的。在经典力学中粒子有确定的轨迹，其路径对应于哈密顿原理所给出的路径（即作用量的变分为零） repeated N timesxnx1Ntt1; t; tt1N1 1121111222 21 12|N NNN NNNNNNNNx txtdxdxdxx txtxtxtx txt 八、经典力学与量子力学路径的差别n经典力学中xt-平面有一确定的路径与粒子运动联系，而量子力学中所有可能路径都起作用

11、，其中一些路径与经典路径毫无相似之处。n经典力学的作用量或主函数为nL是x与 的函数，S要在路径确定后才有定义n对每小段路径其跃迁几率为n初点到终点路径的 总跃迁几率为n所有路径对 的贡献：n若 ，则相邻路径的贡献倾向于抵消。n对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的，因而可相干增强。所以 时挑出的轨道为经典轨道。 1,1,nnttS n ndtL x x/1n,niSex 2/,1,1 /,1 /2NNNiS n niS n niS Nneee11NNtx|tx/i ,NiS11NNetx|tx所有路径00九、Feynman路径积分公式1. 无限小时间间隔的一段路径， w(t

12、)只与t而（假定）与V(x)无关的权重因子。n由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而n对自由粒子， 已知。由于W(t)与V(x)无关，用自由粒子情况算出：n于是，对 ，有 /1n ,niS1n1nnnetW1txtx 12211,1222nntnnnntxxxxmxmS n ndtV xtVt 211121111nnnnnnim xxtn nnnttttnnx txtexxwtti2mtw10t 1n, niSexpti2mtxtx1nnnn1n1nnntxtx2. 对有限时间间隔的路径 n其中n上式即为Feynman路径积分的表达式。 111 /2,1 /1 112222,explimN

13、NNNiS n nN NNNNnxtxtmx txtdxdxdxeitL x xx tidtD 11 /21222limNNxNNxNmD x tdxdxdxit十、Feynman路径积分与薛定谔方程 n或n从而n对一阶t项有1 1111111 1211111 1 exp22N NNN NNNNNNNNNNx txtdxx txtxtxtxxmimiV tdxxtxtitt 21 11 1exp/ 2,2miV txtt xtdimtxt xtit 21 11 1221 11 12exp22 12mimxt xttxt xtdtittiV txt xtxt xtx 3/221 11 11 121 2222miixt xtxt xtV xt xttimxn所以n可见费曼路径积分的 表达式与薛定谔波动方程的传播子一致（也侧面证明了w(t)与V无关的正确性）。nFeynman路径积分表达式复杂，对普通量子力学问题的应用并不方便，但在量子场论和统计力学等领域中很有用。221 11 11 122ixt x txt x tV xt x ttm x 11txxtn海森堡矩阵力学是正则形式下经典力学的量子对应，即将经典Poisson括号换为量子的对易式（量子力学的代数形式）n波动力学（微分形式，或局域性描述）与经典力学的Hamilton-Jacobi方程有密