二次函数的图像和性质

1、二次函数的定义：二次函数的定义： 函数函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0) 叫做叫做x的二次函数的二次函数 思考：思考：你认为判断二次函数的关键是什么？你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：判断一个函数是否是二次函数的关键是：看看二次项的系数是否为二次项的系数是否为0练习：练习： 若函数若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是是x的二次函数，则的二次函数，则m_已知函数已知函数y=2x2,对于一切对于一切x的值，总有函数值的值，总有函数值y_已知函数已知函数y=2x2,对于一切对于一切x的值，总有函数值的值，总有函数值y_探究：

2、探究：二次函数的图象二次函数的图象1：画出画出 y= x2 的图象。的图象。 解：解： （1）列表）列表x-3-2 -101 23y9410149-6以以0为中为中心选取心选取7个个X值列表值列表（2）描点）描点（3）连线）连线X0108642-55-Y轴对称轴对称图形图形x-3-2 -101 23y94101492：请同学们画出请同学们画出 y=-x2 的图象。的图象。x-3-2 -101 23y-9-4-10-1-4-93. 探究探究:观察观察y=x2,y=-x2的图象的图象,它们整体上给你它们整体上给你一种什么感觉一种什么感觉?答答:这两个图象都是以这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图

3、形。轴为对称轴的轴对称图形。两个图象关于两个图象关于x轴对称。轴对称。定义定义:函数函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于的图象是一条关于y轴对称的曲线轴对称的曲线,这条这条曲线叫做曲线叫做抛物线抛物线. y轴轴是是对称轴对称轴,对称轴与抛物线的对称轴与抛物线的交点交点是抛物线的是抛物线的顶点顶点.8642-2-4-6-85yox探究探究,观察观察y=x2,y=-x2的图象的图象,说出它们的开口方向和顶点坐说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律标及其规律.1. 抛物线抛物线y=x2的图象开口向的图象开口向上上, 抛物线抛物线y=-x2的图象开口向的图象开口向下下.2. 图象的顶点都在图象的顶点

4、都在原点原点. y=x2的顶点是图象的最的顶点是图象的最低低点点, y=-x2的顶点是图象的最的顶点是图象的最高高点点.8642-2-4-6-85yoX结论：结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质1. 顶点都在顶点都在原点原点; 2. 当当a0时，开口向时，开口向上上； 当当a0ao即即:直线直线:x=0,(3)、增减性、增减性a0a0y随随x的增大而增大的增大而增大。在对称轴的左恻在对称轴的左恻(x0):当当a0时时当当a0时时，在对称轴的左恻在对称轴的左恻(x0): y随随x的增大而减小的增大而减小。 当当 x=0 时时, y最小值最小值=o. 当当 x=0 时时, y最大值最大值=o.

5、 试一试：试一试：1、函数、函数y=2x2的图象的开口的图象的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点是，顶点是 ；在对称轴的左；在对称轴的左侧，侧，y随随x的增大而的增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而 ； 2、函数、函数y=-3x2的图象的开口的图象的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点是，顶点是 ；在对称轴的左；在对称轴的左侧，侧，y随随x的增大而的增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而 ； 3、观察函数观察函数y=xy=x2 2的图象，则下列判断中正确的是的图象，则下列判断中正确的是 （ ）A A 若若a,ba,b互为相反数，则互为相反

6、数，则x=ax=a与与x=bx=b的函数值相等。的函数值相等。B B 对于同一个自变量对于同一个自变量x x，有两个函数值与它对应。，有两个函数值与它对应。C C 对任一个实数对任一个实数y y，有两个，有两个x x和它对应。和它对应。D D 对任意实数对任意实数x x，都有，都有y y0 0 xyoA例例1、已知y =(m+1)x 是二次函数且其 图象开口向下（1）求m的值和函数解析式。（2）x在何范围内，y随x的增大而增大? y随x的增大而减小? mm 2xyo练习一练习一2、已知函数、已知函数是二次函数，且开口向上。是二次函数，且开口向上。求求m的值及二次函数的解析式，并回答的值及二次函

7、数的解析式，并回答y随随x的变化的变化规律规律xmxmymm212221、已知、已知y=（k+2）x 是二次函数，是二次函数， 且当且当x0时，时，y随随X增大而增大，则增大而增大，则k= ；k2+k-4例例2、函数函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)与直线与直线y=2x-3y=2x-3交于点交于点(1,b).(1,b).求：求：(1)a(1)a与与b b的值；的值；(2)(2)求抛物线求抛物线y=axy=ax2 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；的解析式，并求顶点坐标和对称轴；(3)x(3)x取何值时，二次函数取何值时，二次函数y=axy=ax2 2的的 y y随随x x增大而增大？增

8、大而增大？(4)(4)求抛物线与直线求抛物线与直线y=-2y=-2的两交点与顶点构成的三角形的两交点与顶点构成的三角形 的面积。的面积。OABxyy=-2先代入直线，得到交点再代入二次函数先代入直线，得到交点再代入二次函数例例3 3、求抛物线求抛物线y=4xy=4x2 2与直线与直线y=3x+1y=3x+1的的 交点坐标交点坐标yxO求抛物线与直线的求抛物线与直线的交点坐标交点坐标的方法：的方法：两解析式联列两解析式联列方程方程组组 y=4x2 y=3x+1回顾练习及提高：回顾练习及提高：1、二次函数的顶点坐标是、二次函数的顶点坐标是，对称轴是，对称轴是，图像在轴的图像在轴的（顶点除外），开口

9、方向向（顶点除外），开口方向向，当，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而减小，当时，随着时，随着的增大而增大。的增大而增大。x2xyxxxyy2、抛物线，当、抛物线，当时，随着的增大而时，随着的增大而减小，当减小，当时，函数有最时，函数有最值，此时值，此时。23xyxxxyyy3、根据二次函数的图像的性质，回答下列问题：、根据二次函数的图像的性质，回答下列问题：（1）如果点）如果点P在抛物线上，那么点在抛物线上，那么点Q也在也在这条抛物线上吗？为什么？这条抛物线上吗？为什么？2axy 2axy ),(nm),(nm（2）当时，设自变量，的对应值分别为，）当时，设自变量，的对应值分别为，当时，必有吗？为什么？当时，必有吗？为什么？0a1x2x1y2y021 xx21yy 小结：小结：（1） 顶点都在顶点都在原点原点;对称轴是对称轴是y轴轴（）当（）当a0时，开口向时，开口向上上；当；当a0时，开口时，开口向向下下（）（）当当a0时时，在对称轴的左恻在对称轴的左恻:y随随x的增大而减小；的增大而减小；在对称轴的右恻在对称轴的右恻:y随随x的增大而增大的增大而增大。