巴拿赫空间上的有界线性算子

1、第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子算子有界线性算子无界线性算子§ 1有界线性算子1.1有界线性算子的基本概念与性质定义1.1 设E及Ei都是实（或复的）线性空间， T 是由E的某个子空间D到线性空间E1中的映射，如果对任意 x, y D ,有T x y Tx Ty则称T是可加的。若对任意的实（或复）数及任意的x D ,有T x Tx则称T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射 或线性算子。D中使Tx 的元素x的集合称为T的零空间。设E1是实（或复）数域，于是 T成为由D到实（或复） 数域的映射，这时称 T为泛函。如果T还是线性的，则称T 为线性泛函。泛函或线性泛函常用 f,g等符号表示

2、。定义1.2 设E及&都是实或复的赋范线性空间，D为E的子空间，T为由D到Ei中的线性算子。如果按照第六章§ 2.3定义2.6 , T是连续的，则称T为连续线性算子。如果T 将D中任意有界集映成Ei中的有界集，则称T是有界线性算 子。如果存在D中的有界集 A使得T A是Ei中的无界集， 则称T是无界线性算子。例1 将赋范线性空间 E中的每个元素X映成X自身 的算子称为E上的单位算子，单位算子常以I表示.将E中 的每个元素X映成的算子称为零算子.容易看由，单位算子与零算子既是有界线性算子也是 连续线性算子.例2连续函数的积分bf x x t dta是定义在连续函数空间 C a,

3、b上的一个有界线性泛函, 也是 连续线性泛函.*例1、例2中由现的线性算子或线性泛函既是有界的又 是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理 1.3 ）.定理1.1 设E,匕都是实赋范线性空间，T是由E的子空间口到匕中的连续可加算子.则T满足齐次性，因此 T 是连续线性算子.*推论 设E, Ei都是复赋范线性空间，T是由E的子空间 D到E1中的连续可加算子，且 T(ix) iTx ,则T满足齐次 性，因此T是连续线性算子.*定理1.2 设E , Ei都是赋范线性空间,T是由E的子 空间D到Ei中的线性算子.则T有界的充要条件是存在 M 0 ,使得对一切 x D ,有 |Tx| M|x

4、|. *夫定理1.3 设E, Ei都是赋范线性空间，T是由E的子空间D到Ei中的线性算子.则下列性质等价：(i) T连续；(ii) T在原点处连续；(iii) T 有界.由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在 原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条 件也与在中任一给定的点处的连续性等价.为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引 进一个重要的量一 算子的范数.定义i.3 设E , Ei都是赋范线性空间， T是由E的子 空间D到Ei中的有界线性算子.使|Txi M I x|对一切x D 都成立的正数M的下确界称为T的范数，记为|t| .因M是集合D,xxi的一个上界

5、，因此算子T的范数卜|作为所有上界M的下确 界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，|t|是上述集合的最小上界，即上确界，亦即supx x DITx II由此容易导由下列结论：(i) 对一切 x d ,有 ITxi|t|x*(ii)T| sup ITx IIsup|Tx|l|x| 1|x| 1x Dx D现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求生其范数例 3 设 aij , i, j 均为实数，由等式1,2, .n为一给定的nn方阵，a”ni aij j i 1,2, ,n j 1定义了 一个由Rn到Rn的算子T ： Tx y .它将元素x 1, 2, , n映成元素丫 1, 2,

6、 , n .在Rn中任取k k两个向量xk1,2k 1,2 ,由等n1j1aijjnaij j 11 nj j1aij可知，T是可加的，类似地可以证明T是齐次的,因此T是线性算子，由柯西不等式，有i,j1 22aij1故T有界,因此T连续,2 aij我们用C表示定义在上有界连续函数构成的集，其中的线性运算与空间C a,b的相同,中定义范数如下:II sup y tt是一个巴拿赫空间.*Tx: y se istx t dtT是定义在L上而值域包含在C中的线性算子.再由Tx se istx t 出x t出火可知，T有界因而连续，且t|1.例5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求已知连续函数的近

7、似多项式.设x C a,b ,在a,b中任取n个点,作多项式lk tttk tt1 t tk 1 ttk 11tktk 1 tktk 1t tntktn其中k1,2, ,n.再令y LnX： y tnx tk lk tk 1则Ln是由C a,b到其自身的有界线性算子，且范数满足Lnnmaxa t b .k 1lk t(4)Ln的线性是明显的.今证Ln有界且等式（4）成立.令nlk tmaxa t b . k 1那么LnXmaxnx tklk tmaxx ta t bLn(5)另一方面,由于lk ta, b 上连续，故存在t0a,b使得lk t0k 1取xo a,b 满足：|xo| 1,Xo t

8、k sgnlk t0 , k 1,2, ,n 至于Xo在a,b中其它点处的值则可以任意， 但绝对值不能 超过1,并X。t保证在a,b上连续.于是nIILnXollLn x。t。 lk t。sgnlk t。k 1n1k t0k 1故Lnl由不等式（5）、（6）可得等式（4）.例6 设Kt,s是定义a t b,a sb在上的连续实函数.在空间Ca,b上定义如下的积分算子：by t Tx t K t, s x s ds a则T为C a,b到其自身的有界线性算子，且范数满足TII max K t,s ds a t b a）显然T是C a,b到其自身的线性算子.今证T有界且 等式（7）成立.令bmax

9、K t,s dsa t b aTxmaxa t bbK t,s x sdsa故T有界且b由于at0a,b ,使得记e0s: K t0,smaxx ta t bmaxa t bK t, s dst,sds是t 的连续函数，故存在K t0,s dst 1 nd t,e01 nd t,e0其中d1.注意到e0为闭集,n t还有下列性质:1,te01,t对一切ne0由勒贝格控制收敛定理，当时，有T n t0bK t0,s an s dsK t0,s ds于是t,e）为t与e0的距离，则n t于a,b上连续，且pm|T n to| |t n| Ml n| |T|因此IT ,若原eo,则令eos: K t,s 0 .d例7 在连续函数空间 C 0,1中讨论微分算子 T -. dt将在0,1上连