点差法整理版

1、、重要结论及证明过程2 2在椭圆笃a b弦MN所在的直线“点差法”巧解椭圆中点弦题型1( a > b > 0)中，若直线I与椭圆相交于M N两点,点P(xo，yo)是弦MN勺中点,I的斜率为kMN,则 kMNyXob22 .a证明：设 M N两点的坐标分别为(xyj、(x2, y2)，则有2X1 2 a2X22a2y12y21,1.(1)(2)，得2 2X X22a2 2y1y20.y2y1y2y1又 kMNy2 力X2X1y1y2X-Ix22y2x同理可证，在椭圆2y2a弦MN的中点，弦MN所在的直线二、典型例题1 、设椭圆方程为X2X1X2X1b22 ab2-2 a(a >

2、; b > 0)中，若直线I的斜率为kMN，则kMNy。XoI与椭圆相交于，过点M(0,1)的直线I交椭圆于点 A、B,N两点，点P(xo，yo)是O为坐标原点，点P满足OP (OA OB),2点N的坐标为1 1-,-当I绕点M旋转时，求:2 2(1)动点P的轨迹方程;(2) | NP |的最大值和最小值22、在直角坐标系xOy中，经过点(0,、2)且斜率为k的直线I与椭圆 y2 1有两个不同的交点 P2和Q.( 1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数k，使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由F

3、i、F2，离心率e2 23、已知椭圆 务 爲 1 ( a > b > 0)的左、右焦点分别为 a bx 2.(I )求椭圆的标准方程；2 26(n )过点F1的直线l与该椭圆相交于 M N两点，且| F?M F2N |，求直线l的方程.34、已知椭圆b2<31( a > b > o)的离心率为.，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两3点当I的斜率为1时，坐标原点J2O到I的距离为( 1 )求a,b的值;2(2)C上是否存在点P,使得当I绕F转到某一位置时，有 OPoA Ob成立？若存在，求出所有点P的坐标与I的方程；若不存在，说明理由25.椭圆C的中心在原点，并以

4、双曲线41的焦点为焦点,以抛物线x266的准线为其中一条准线.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线I : y kx 2(k0)与椭圆C相交于A B两点，使A、B两点关于直线I : y mx 1(m0)对称，求k的值.2在双曲线冷aN两点，点“点差法”巧解双曲线中点弦题型、重要结论及证明过程21 ( a > o, b >o)中，若直线I与双曲线相交于 b如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于P(xo, yo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMNyoXob22 .a证明过程和椭圆证法相同(略)21( a > 0, b > 0)中，若直线I与双曲线相交于M

5、N两点，点 P(x0, y0)同理可证，在双曲线爲a是弦MN的中点,MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMNyoXo2ay.二、典型例题1.已知双曲线2-1，过点3P( -, 3)作直线I交双曲线于A B两点.2 2(1)求弦AB的中点M的轨迹(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线I的方程和弦AB的长.2.设A、B是双曲线x22专1上两点，点n(1,2)是线段AB的中点.C D两点，那么A、B、CD四点是否共圆，为什么?3、双曲线C的中心在原点，并以椭圆x225131的焦点为焦点，以抛物线2 3x的准线为右准线( 1)求双曲线C的方程；(2)设直线l : y kx 3(k0)与双曲线C相交于A

6、 B两点，使A、B两点关于直线l : y mx 6(m0)对称，求k的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结论及证明过程(略)2在抛物线y 2mx(m 0)中，若直线|与抛物线相交于 m N两点，点P(x°, y°)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN y0 m 同理可证，在抛物线 x2 2my(m 0)中，若直线|与抛物线相交于 M N两点，点P(x0, y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则丄 x0 m kMN注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2 )直线的斜率存在，且不等于零二、典型例题1、设A(x1,y1),B(x2，y2)两点在抛物线y 2x2上，I是AB的垂直平分线(I)当且仅当Xi X2取何值时，直线I经过抛物线的焦点 F?证明你的结论.(H)当Xi 1,X23时，求直线I的方程.(理)当直线I的斜率为2时，求I在y轴上的截距的取值范围.2.已知抛物线C : y 2x2，直线y kx 2交C于A B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂 线交C于点N.(I)证明：抛物线C在点N处的切线与A