弹性力学答案

1、【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面 力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用而的外法线方向指向坐标轴方向时（即正而时），这个而上的 应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用而的 外法线指向坐标轴的负方向时（即负而时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的 正方向为负。而力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负而上应力分量与而力分量符号相反。正的应力正的而力2-1试分析说明, 近于平面应力的情况。在不受任何面力

2、作用的空间体表面附近的薄层中（图2-14）其应力状态接【解答】在不受任何而力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该 薄层的上下表而都无而力，且在薄层内所有各点都有q =Qz=Lz=。，只 存在平面应力分量且它们不沿z方向变化，仅为X, y的函数。 可以认为此问题是平而应力问题。【2-2试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等 厚度薄片中（2-15）,当板边上只受刈y向的面力或约束，且不沿厚度变化 时，其应变状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时&=。，且不受切向面力作用，则 %仁=7” =°（相应=% =°）板边上只受X，y向的而力

3、或约束，所以仅存 在邑，3,兀V,且不沿厚度变化，仅为尤，y的函数，故其应变状态接近于平面 应变的情况。【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件£Mc =0改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程?O【解答】将对形心的力矩平衡条件ZMc=0,改为分别 对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方 向的尺寸取为单位1。一+ (q + -(r . +2 dx2dxdx)dyldx-ad ydodx dr一”讨力心吟+G+常dy)dx - 1 - dy + jdxdy 1 ? _ fjlxdy-1- = 0dcr/v drde(ix(区 + (rvi +

4、dy)dx-dy + crv +-dydx dx *2 dy* dy2-%dy-1 dx-(Txdy 1-cr/Avl- - + J Xdxdy - 1 + fYdxdy - 1 一 = 02222z%=。/、一 dx , t , 一 dy 1J(17, +dy)dx 1 - - rAV«y 1 dt + ody 1 + rxxdx - 1 dy-odx 1 + - dx)dy- fxdxdy'-+f.dxdy-1 二 02 dx 2 '"2 '2E£=°/ M、, x f t dx f t dy . t f . t dx一(5

5、+-dv)dxl一 + o;dy 一+晨处小，+。小一一dy 222c(y dv(区+)如1方-(+> f小，dx-6tv)r/vl- dx- jdxdy - 1 f/lxdy - 1 = 0dx2 42(b)略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三阶小量（亦即令"米仅小小），都趋于0）,并将各式都除以，儿修后合并同类项，分别得到rvv = rvv o Vz-*【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定 理。8【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部边界条件，在其端部小边界上，应用圣维南原 理列出三个积分的应力边界条件。6【分

6、析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积 分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（尸0）左 0=0)右（x=b）10-11m-100工(s)0Pg(y+九)-pg(y+4)7y(5)Pgh00代入公式（2-15）得在主要边界上x=0,上精确满足应力边界条件：（a）.=-pg（）,+九），（）.=°；（区入巾二一0以尹匕乂%）.二。；在小边界y = 0上，能精确满足下列应力边界条件：（人=一夕的（）,。=。在小边界y = h2上，能精确满足下列位移边界条件：i=。，3）此=。这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个

7、积分的应力边界条件来代替，当板厚5=1 时，可求得固定端约束反力分别为：E = 0, Fn = -pghb、M =0由于），=为为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：J：9,）e"x=-四俯<：=0r（rvv） dx = 0Jo Q /y=h2图2-18上下主要边界y=2, y=h/2 ±,应精确满足公式（2.15）X (S) fy (S)hy = -o-i o q2y = 01-q02（by）y_hf2 = f，（Sr）y-J/2 = 0 '（°）y-/”2 = 0，（炉）从2 = Cl在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条

8、件：负而上应力与而力符 号相反，有，叫2I NH = Fs仍（巴）1小=_4卢23（bJiM、 = TW在x=/的小边界上，可应用位移边界条件1 =0,匕=0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力:£号=0, Fn + 琮=q、l =琮=ql -Fn£F、= 0, Fs + 琪 + ql = U =琪=一加 一 FsZMa = 0,M + M '+ Fsl + Lql2-Lq/h = 0 = M =处M -一冬2222由于x=，为正面，应力分量与面力分量同号，故L小b，;dy

9、 = F = q、l - Fnch/2L”9Jrh/2L（i）t I4， q3h. rr 7 ql idy=F = -ql-Fsi ydy =m = _ M _ Fsl - 22oA bll bll砂2新17 x = =G M筋 夕亨十 上、.=菽十匕dxdy,试导出相应的相容方77Z【解答】（1）将力,人,带入平衡微分方程（2-2）y(a)(力>尻6 = 1)图219y他)将（a）式变换为为了满足式（b）,可以取-+dx出+黑+k。°%dx+ 4=。二 aex-+dx dy dx%+3一生=0dy dx /dr-V) + = 0(b)17 外17 尔er -V = b -V

10、= rX 旷，&2 尔=+ 匕=一工"exdxeydxdy（2）对体力、应力分量工,4,bbv求偏导数，得砥一d2v球一a2vdxdx2，62d2crxa4<Dd2va2b8中o2V + X+-dx1dx2dy2dx2'oy2dy4-j-d2V6认84a2v 4.dx2dx4及2 'dy2dx2oy2ay2(c)将（c）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程V2 (巴+巴.) = -(1 + /)(2-21)歹中 d2v e' d2V 歹 d2V6”nT - - + - + oxdy dxz dy dyr整理得：d2V+ 一

11、一 + =(1 + ) ox dx dxdy' dya2va2vdx2 + dy212-19试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力, dveV即体力分量可以表示为人=-，其中V是势函数, dxdy则应力分量亦可用应力函数表示成为(d)J- + 2 + T- =_()dx4 dx2dy2 dy4即平面应力问题中的相容方程为=一(1 一)By将(c)式代入公式(2-22)或将(d)式中的替换为的平面应变情况下的相容方程:1一d2V 叱、+ /I(e)即 工二一二2£好，1 一证毕。3-41试考察应力函数中="3在图38所示的矩形板和坐标 系中能解决什么问题(体力不

12、计)？°11-人解答相容条件：I、不论系数a取何值，应力函数=)，3总能满足应力函yiL数表示的相容方程，式(2-25).' 图3.8求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24),得。，=6。乂0;.=°,%,=4”=°考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无而力.左右边界上：当a>0时，考察巴分布情况，注意到.=0,故y向无面力左端:工(4)1 = 6ay (0 < y < li) fy = (% ),句=0右端:< 9Je =3(0<y<h) fy =(%)e =0应力分布如图所示，当/?时应用

13、圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零，设板宽为b,集中 红邙 荷载p的偏心距e：P P同理可知，当。<0 时，可以解决偏心压缩问题O0y图39h/2h/23-6试考察应力函数=奈冷'（3-4），2）,能满 足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9 所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的 主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）646” 外得应力分量表达式 亨中菽+ 2和+三二。，显然满足（2）将错误!未找到

14、引用源。代入式（2-24）, 12E。 八%=一一齐一。、.=°，%=% =（3）由边界形状及应力分量反推边界上的而力：在主要边界上（上下边界）上，y = ±1 应精确满足应力边界条件式（2-15）,应力（5 ）、,2=。,（）,2=。因此，在主要边界y = ±g上，无任何而力，即/y = ±'） = O,7；.（y = ±4） = O在x=0, x=/的次要边界上，而力分别为:Z：介一坐，卜113F47因此，各边界上的面力分布如图所示:1I 历 F在户0, 4，的次要边界上，而力可写成主矢、主矩形式:x=0上R句主矢：及产工办=0x=

15、l上r/i/2 H句主矢：Fs= f,dy = F, 主矩：M=J："jdy = 0,加2 FlL" = -F,也=：7今=一同因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上而力的主矢与主矩，如图:|>(b)因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题a3-10设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力 矩作用，体力可以不计，/力(图312),试用应力函 数=Axy + By2 + Cy3 + Dxy求解应力分量。【解答】采用半逆解法求解(1)将应力函数代入相容方程(2-25),显然 满足(2)由应力函数求应力分量，代入公式Q-24) a = 25 + 63v

16、+ 6£)xv X-，, 区=0>%=4x=-(a+3O)J(a)考察边界条件主要边界y = ±/"2上，应精确满足应力边界条件(bv)=0, 满足 )/y-±/i/2(T=0,得 4 + -。川=。 4 /v-±/r/24在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件2MV0仁：(28 + 60，必=-& =8 = -gydy = -M = J：(28 + 6Cy)M，= -M =C =(c)山' = "，=Q(A + 3犷)力=-冗=+= E联立方程(b) (c)得2"V3F A =

17、2/7最后一个次要边界(x = /)上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必 然满足的，故不必在校核。将系数A、B、C、D代入公式(a),得应力分量12ALxy15【311】设图313中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的 密度为P，试用纯三次式的应力函数求解。【解答】采用半逆解法求解（1）检验应力函数是否满足相容方程（2-25）设应力函数二A一 + Bx2y + Cxy2+ Dy5,不论上式中的系 数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）（2）由式（2-24）求应力分量由体力分量/x=OJv=pg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量:=-frx = 2Cx

18、+ 6Dv（a）x 6 2 Jx ）/ = 6 Av + 2By - pgy（b）2）厂r=-= -2Rv-2Q（c）dxdy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数，对于主要边界y = 0,其应力边界条件为：）y.0 =。，（%）v«0 = 0（ d ）将式（d）代入式（b） , （c）,可得A = o9 B=0（e）对于主要边界），=。皿a （斜面上），应力边界条件：在斜面上没有面力作用，即/=£ =0,该斜面外法线方向余弦为，/=sina， j = cosa.由公式（2-15）,得应力边界条件.-sin 夕（b）53na + cos a （小）I的a =ol-s

19、ina-（rv.）v.uana +cosa-（Tv）v.Uana =0j 将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f）,可解得C = -cota,£)= -cot2 a(g)23将式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得应力分量表达式：区=pgxcot a _ 2Pgycot ° a, 区=-pgy1 = -pgy cot a* /4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明"° = A2+刍，=0 P可以满足此基本方程。【解】（1）设，代入几何方程中，教材中式（4-2）得形变分量bp心=°将式（a）代入物理方程，教

20、材中式（4-3）得用位移表示的应力分量1dp%+ / P(b)6P p d(pP却式（c）中的第二式自然满足，第一式为2r+ . = 0P(c)dp p的- = 0 Pdpd2udpd2uW+一4"半 P dp p- " p dp dllP4 dllpp dp呜一"dp P/1dl4 c JLl dl< Ap-" Pdp' p-p dpp-1 一 I dp p%=°将（b）式代入平衡微分方程，教材中式（4-1）,在轴对称问题中，平衡方程为d。 1 ZC一 + 上。一=0 dp- P dp p-上式即为求的基本方程。（2）将代入式（

21、d）,很显然满足方程。4-8试考察应力函数。=二。3 cos3夕,能解决题4-8图所示弹性体的何种受力问题?题48图【解】本题按逆解法求解。（1）相容条件把应力函数代入相容方程显然是满足的。（2）由应力函数求应力分量表达式i a （ q 3 Q 卜后后京。33。o q 3 个F ；=p cos 3(p p dp p- 6(p- p dp 6a1 q G 2 o 13/ o - o =3P cos 3> + p (-3 sin 3?)p 6ap- 6a d(pq 、 3q=pcos3(ppcos3p2a2aq o=pcos 3(p a吧=雪30小3尹 bp- dp' 6。q o 2

22、 o c! o3P cos3p =pcos3p 6a2 d 丝)=，亘 dp p d(pGp'p d(p 6a±f.3p3sin领 p6J=为3周dp2a)q o=psin 3(p求出边界上的而力。=±30°而上，bo=0，= ± q ；p = a而上，bp =-gcos3，t网=qsin3°：面力分布如解4-8图所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。4-18设半面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为% 试求应力分量。【解】应用半逆解法求解，（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应 为应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形势 组合。（2）应比应力的长度量纲高二次就 可假设0 = 0（。）°（3）将中代入相容方程，得d2 1 d 1 o2 V _ _-+ T 。=0 -沪 P前 p-轲）d21 d1 o2 Y d21 d 1 * )r + T -r + r 0(0 =。-d2 1 d2(PdFd炉如题4-18图所示,题4 18图d/r pdp p- d(