第二章第十三节曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面

1、第二章曲面论第十三节曲面上法曲率的最大值、最小值、高斯曲率、平均曲率、极小曲面根据法曲率的几何意义, 法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此 ,理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化. 但实际上是做不到的, 因为曲面在一点处有无穷多个切方向. 于是我们自然提出这样两个问题: 法曲率随方向变化的变化规律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面针对这两个问题展开讨论. 得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向,法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主曲率进一步引出Gaussffi率和平均曲率的概念

2、.一、法曲率的最大值、最小值曲面工：r = r(u,v)上一点p沿一方向(d)= du：dv上的法曲率为II一二 L(du)2 2Mdudv N(dv)2E(du)2 + 2Fdudv+ G(dv)2 "1)我们考虑法曲率kn的最大值、 最小值问题。设. =dv,则有, L 2 2M Nkn 二 2二E儿2+ 2F九 + G ，这样一来，所求问题转化为求二次 分式的极值问题。LL2 + 2M 九 + N 一 kn(E九2 + 2F% + G) = 0 ,2(L - knE)2 + 2(M - knF)N - knG = 0 , 此二次方程有根，当且仅当(M -knF)2-(L- kn

3、E)(N- knG) 0,_22_2-(EG -F )kn +(LG2MF +NE)kn(LN M )>0 o设k1, k2 (k1 ' k2 )是方程-(EG -F2)kn2 +(LG -2MF +NE)kn -(LN -M 2) =0 , (2)的两个根，则有 ki M kn M k2,于是kn的最大值、最小值分别为k2，K ,且由方程(2)所解出。由韦达定理，便得_ LN - M 2k1k221 2 EG - F2，, LG - 2MF NEk1 + k2 = 2 1 2 EG - F20将kn = ki,k2代入knL 2 2M NE 2 2F G ，解出两个根九2i,就

4、得到使kn达到 最大值、最小值的方向。对曲面工：r = r (u, v)上一给定点P(U,V),法曲率kn是切方向(d) = du:dv的函数，称法曲率的每个 临界值(critical value) 为曲面在 这一点的主曲率；对应的方向称为 曲面在这一点的主方向.:、高斯(Gauss)曲率、平均曲率设k2,k1分别为曲面上一点处的 法曲率的最大值、最小值，则将它 们的乘积k1k2称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以K表示,K = k段,它描述了曲面在一点处总 的弯曲程度，又称为总曲率或全曲 率；1它们的平均数2(k1 k2)称为曲 面在这一点的平均曲率， 通常以H , 一1表示，H

5、 =2(kk2),它描述了曲面在 一点处的平均弯曲程度，又称为中 曲率。由方程(2)及韦达定理，便得LN - M 2K = kR了EG - F2，一 1八 、 LG - 2MF NEH 二一(K k2)12 12 2(EG- F2)kn2 - 2H+ K = 0。计算高斯(Gauss)曲率、平均曲率的例题设工是半径为R的球面,I 1 1!1由于 kn= R，k2= kR,一一一KJ所以球面的局斯曲率K R ,平均曲率H【例1】 求正螺面r = (ucosv,usin v,bv)的主曲率，总曲率和全曲率.【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下I = (du)2 +(u2 + b2)(dv

6、)2,2bu2 b2dudv由此便知正螺面上所有点都非脐点，于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率.将基本量代入法曲率的计算公式，得到,2Mdudvk一二zrnE(du)2 G(dv)2，由于 |2Mdudv |W M |-E(du)2 +G(dv)2,、. EG以) 启 -1 M | -7= - kn -| M | J,.EGEG于是 正螺面的主曲率ki; k2,总曲率K和平均曲率H分别为k2 =|b|(u2b2),K =|b|(u2 + b2)- M2b2EG(u2 + b2)2，k2)= 0【例2】设C : r = r(s)是条空间正则曲线，s是自然参，数，其切线构成的曲面为S： r(s

7、,t) = r(s) +其中，(s)是C的单位切向量.求S的Gauss®率.【解】记曲线c的曲率和挠率分别为 k,三,基本向量为:则 rt =(s),% 二(s) tk于是E = rt rt = 1, F = rt rs = 1,G =rs rs =1 t2k2进一步计算得到 % 二 0,rts 二 krss = Tk2J(s) +(k +tk '(s) F +tk 才n 二 411rtrs|l=n 力=0,m = n 力=0,M 4 k N = n rss = tk因此曲面S的Gaussffi率为LN - M 2EG - F2例1、 求曲面x ： z= f(x,y),(x,

8、y)w D的高斯曲率、平均曲率。解 我们已经得出第一类基本量为4 22E= L rx =(fx)2,匚,f fF = & / = f x f y, 4 r 2G = ry Ty = 1+ (fy)；第一基本形式为I = (1 十(fx)2)(dx)2 十 2 fx fydxdy 十(1 十(fy)2)(dy)2 ;第二类基本量为L = n rxxfxx(fx)2+(fy)2 'n ryyfyyJl+(fx)2+(fy)2,第二基本形式为fxx,1 (fx)2 (fy)22(dx) 2r1fxy2(fx)(fy)2 dxdyfyy. 1 (fx)2 (fy)2(dy)2 

9、6;代入计算，可得f f - (f )2 fxx fyy ( fxy)1 (fx)2(fy)2",(1fy2)fxx-2fxfyfxy (1 fx2)fyyH =-2(jfl fy)°1' f容易验证H = 2div布T7。22,求上半椭球面 工1 ：z = c(1-3 -勿"上 a b的高斯曲率；22.求下半椭球面 工2 ：z = -c(1 -三- / 2上 a b的高斯曲率例2、求旋转曲面 - ：r = (x(t)cos9 , x(t)sin 9 , z(t)。(这里0 M日M 2 一x(t) > 0,a £ t < 3的高斯F率

10、、平均曲率。解 r = (x(t)cos。, x(t)sin 6, z(t),re = (- x(t)sin9 , x(t)cose ,0),(x'(t)cos。,x(t)sin9 ,z(t),22E=W x (t),F = 3 rt = 0 ,G=|"2= (x，(t)2+ (Z(t)2,i= E(dG(dt)2,M3 c 2|n rt|=，EG-F2x(t)J(x(t)2 (z(t)2 ,q 5z (t)cosz (t)sin- x (t)1旧 rt II (x (t)2 (z (t)2=(-x(t)cos9 ,-x(t)sin9 ,0),j = (-x'(t)s

11、in 0 ,x'(t)cos。，0),% = (x-(t)cosH ,x"(t)sin 9 ,z-(t),x(t)z(t)J(x (t)2 (z (t)2m = n L = 0,n r x (t)z(t) - x(t)z (t)tt ；(x(t)2 (z(t)2ii= L(dD2 + N(dt)2。22 L(d )2N(dt)222E(d)2 G(dt)2LE(dD2NG(dt)2E E(d8)2+G(dt)2 G E(d8)2+ G(dt)2 'L Nt max E, G_L N,则有 min E，G " kn "L Ni “ k1 - minE

12、,G k2二 maxJNE GK = k1k2将基本量代入1 2LNEG，1H = 1(k1k>LG NE2EG可算出x(t)z - x (t)z(t)z(t)x(t)(x(t)2 (z(t)22z(t)(x(t)2 (z(t)2 x(t)x(t)z (t)-x(t)z(t)H = -2r3i。2x(t)(x(t)(z(t) 21I(2)若的全曲率处处为零，试判断曲面的形状？£(3)证明：若的经线有垂直于旋转轴的切线，则切点是曲面I 一上的抛物点.(2) 由(1)知，全曲率处处为零的充要条件是x'(t)z”(t)x"(t)z'(t)z'(t)=

13、0,(i)若z'(t)=0 ,则fz(t)=C (常数)，因而曲面是垂直于z -轴的平面.(ii)若 x'(t)z”(t) x"(t)z'(t) =0 ,即 xJI)= zJi),刃B 么x(t) z(t)x = Cz,x(t)=Cz(t)十G,当常数C #0时，曲面为圆锥面；当常数C=0时，曲面为圆柱面.(3)若经线的切线垂直于旋转轴(即z -轴),则z'(t)=0从而K = 0,所以切点为抛物点特别地，将xOz平面上曲线x= x(z),绕z轴旋转一周，则所得 旋转曲面为r = (x(z)cos9 ,x(z)sin 9 , z) ?22E=l|re1

14、 x2(z),匚T T门F = S rz = 0 ,G=|"2=1+(x'z)2,1= /w)2 + 1+ (x(z)2(dz)2,| rz|=，EG _ F2二 x(z)Jl+ (x(z)2 ,n _ 、rz _ cossinx (z)n |r： rz |11 (x (z)2* = (-x(z)cos9 ,- x(z)sin 9 ,0),廿 (-x (z)sin 0 ,x (z)cos9,0),rzz = (x (z)cosx (z)sin0)x(z)Ji (x (z)2 'M = n mz = 0,x x x (z)n rzz 2(x(z)2II1 (x (z)2

15、 x(z)(di)2x (z)(dz)2IIkn-x(z)(db)2 x (z)(dz)2,1 (x (z)2 x2(z)(du)2 1 (x (z)2(dz)2,将基本量代入K 二 k1k2 二型EG，LG NE2EG )1H 二-(k1 k2)2可算出。x (z)x(z)1+(x'(z)22,1 (x (z)2 - x(z)x (z)2x(z)1+ (x(z)2%将xOz平面上曲线z = z(x)(z= z(t),t)绕z轴旋转一周,则所得旋转曲面为 r = (tcos9 ,tsine ,z(t),H伽x2+(z)2Et)x(t呼如2x(t)(x)2 (z(t)2 2一 z1 忆(

16、t)2 tz (t)2t1+(z，(t)232=z(x)1 (z(x)2 xz (x)2M1 + (z，(x)2%°四、极小曲面定义一个曲面如果它在每一 点处的平均曲率H = 0 ,则称之为极小曲面。可以证明，给定一条闭曲线， 可以设想蒙在这条闭曲线上的所 有曲面中，有一个面积最小者，这 个具有最小面积的曲面正是极小 曲面，即平均曲率为零的曲面。平面是仅有的极小可展曲面。 除平面外，旋转极小曲面都是悬链 面，直纹极小曲面都是正螺面。 五、旋转的极小曲面现在我们要寻找出旋转的极小曲面，即求出H = 0的旋转曲面。将xOz平面上曲线x=x(z), 绕z轴旋转一周，则所得旋转曲面为 /、口

17、，、r = (x(z)cos9 , x(z)sin 9 ,z)。我们已知1 (x (z)2 - x(z)x (z)H :2x(z)1+ (x'(z)2r2。由H = 0可得，T (x (z)2x(z)x (z)= 0,由此得x(z)x (z) , x(z)1 (x(z)2 x(z)，即1 2ln(1 (x(z) ) : (In x(z)2积分后，我们得到x(z);aj(x(z)2 , a =常数从而可得x(z)雪T上式可变成x(z) ln( aM2z1-1)= ax(z) x2(z)z_ 1 = eaa2ax2(z)x(z) 又工故得a 二 二x(z)= 2(ea + e a)这里省去

18、了积分常数，因为它 只不过表示沿平行于旋转轴的平移 而己。因此因此曲面是由悬链线 z za .二 一二、x (ee a)2旋转而成，称为悬链面。在形状上它很像压扁了的单叶 双曲旋转面。故 旋转的极小曲面是悬链面C将xOz平面上曲线z= z(x)(z= z(t) , x= t)绕z轴旋转一周, 则所得旋转曲面为r = (tcos9 ,tsin9, z(t),我们已知z (x)1 (z (x)2 xz (x)c 32x1 (z(x) 2若 H = 0,则有 Z(x)1 + (Z(x)2+ xz，(x)= 0,1(z(x)212(Z(x)21 + (zx)2x，2(ln(z(x)21 (z(x)2-

19、(In x)21n(z(x)21 (z(x)2-In x C(z(x)2 a21+(zx)2x2 ,常数 a*(若a=0, zx)=0, z(x) = C，此时旋转曲面为平面。)ax 'x2-al”d，、.,xz(x)= aln(一 az z故得 x = a(ea e a) 2法曲率的最值的特征值性质考虑法曲率kn的最值和最值方向 的特征值、特征向量性质。E FL MA ' F G)，B m n )，则有IIkL(du)2 2Mdudv N(dv)2E(du)2 2Fdudv G(dv)2du(du,dv)B dvdu(du,dv)A dv因此，最大值、最小值问题转化为讨论f(

20、X)=XTBX在条件xtax=i下的最大 值、最小值问题。因为S=X w R2 :XTAX =1是有界闭集，f (X) = XTBX 在s上连续，所以f(X)在S上存在最大值kM和最小值km.存在Xm,xm-S,使得f(XM)= kM,f(Xm)= km。记 |X|=JxtAX 。 cI X. 十th对任意白实数t及h w R2都有，f JMuUXm +th|j展开计算，得1、，. T f 、，,；(Xm +th) B(Xm +th)<kM，Xm thT2，Xm th B Xm th <kM Xm thT_ T_2 T_T_ T2 TXm BXm 2tx m Bh t h Bh &

21、lt; kM (Xm AXm 2tXM Ah t h Ah)_ T_2T_ T2 T2tX m Bh t h Bh m kM (2tXM Ah t h Ah)对t>0时，有 2XMTBh+thTBhwkM(2XMTAh+thTAh),令 J 0+ 得 XMTBhWkMXMTAh ；对于 t<0时，有 2XMTBh 十thTBh 至 kM(2XMTAh 十thTAh),令tT 0-,得 XMTBh>kMXMTAh ；故有 Xm Bh kM Xm Ah ,(任意 hWR2)从而 XMTB=kMXMTA,BXM =kMAXM, ABXm =GXm1同理可证 BXm=kmAXm , A BXm="Xm方程组(BkMA)XM =0, (BkmA)Xm=0,有非零解当且仅当|BkMA|=0, |BkmA|=0。由于M)/EF) L-£E一九|=N )、FG J M -九F=(L - E)(N - G) - (M - F)2= (EG F2)九2 -(LG -2MF