等腰三角形三线合一

1、等腰三角形三线合一.选择题（共11小题）1. （2017党帛阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（）A.B.D.第13页（共16页）【分析】根据轴对称图形的定义求解可得.【解答】解：A,此图案是轴又t称图形，有 5条对称轴，此选项符合题意；B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；DK此图案不是轴对称图形，不符合题意；故选：A.【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2. （20177®庆）下列图形中是轴对称图形的是（）【分析】根据

2、轴对称图形的概念求解.【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意;B、不是轴对称图形，不合题意;C、是轴对称图形，符合题意；D不是轴对称图形，不合题意.故选：C.【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合.3. （2017?呼和浩特）图中序号（1） （2） （3） （4）对应的四个三角形，都是ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到 的是哪个图形即可.【解答】解：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，通过轴对称得到的是（1）.故选：A.【点评】此题主要考

3、查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的 关键是要明确：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变 换特点，进行分析判断.4.如图，已知点P至I AE, AD BC的距离相等，有下列说法: 点P在/ BAC的平分线上；点P在/ CBE的平分线上;点P在/ BCD勺平分线上;点P在/ BAC /CBE / BCD勺平分线的交点上.其中正确的是（）D.【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可.【解答】解：:点P到AE, AD的距离相等, 点P在/BAC的平分线上，正确； 点P到AE, BC的距离相等, 点P在/CBE的平分线上，正确; 点P到AD, BC的距离相等, 点P在

4、/ BCD勺平分线上，正确； 点P在/BAG /CBE / BCD勺平分线的交点上，正确，故选：A.【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的 平分线上相等是解题的关键是解题的关键.5 .如图，ABC, /B=90° ,两直角边 AB=3 BC=4 AC=5三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A. 1B. 3C. 4 D. 5【分析】连接AP, BP, CP，设PE=PF=PD=x根据直角三角形的面积列出方程,即可求得该距离的长.(AB+BC+AC?x卷 X12X【解答】解：连接AP, BP, CP.设 PE=PF=PD=xWJ &ab

5、c=Labx x+AO x+BO222x=6x,> &abcFXABX CB=66x=6, 解得x=1.故选（A）【点评】本题主要考查了三角形的面积以及角平分线，解题的关键是构造辅助线，且直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算；二是等于三个小三 角形的面积和，这也是列方程的依据.6 .如图，在 ABC中，/C=90 , AD是/CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，则/ BDE勺度数是（A. 15°B. 30C. 45D. 60【分析】由在 ABC中，/C=90 , AD是/CAB的平分线，DE是AB的垂直平分 线，易得/ B=/ DABW CAD继而求得/ B

6、的度数，则可求得/ BDE的度数.【解答】解：: DE是AB的垂直平分线， . AD=BD丁 / DABW B,: AD / CAB的平分线，丁 / CADW DAB.在 ABC中，/C=90 , .3/B=90° , ./B=30° ,丁. / BDE=90 - / B=60° .故选D.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质.此题难度 不大，注意掌握数形结合思想的应用.7.如图，线段AC, AB的中垂线交于点 0,已知OC=2cm则OB等于（）A. 1cm B. 2cm C 4cm D.不能确定【分析】首先连接OA由线段AG AB的中垂线交

7、于点0,根据线段垂直平分线的性质，可得0A=0C=0B【解答】解：连接0A.线段AG AB的中垂线交于点0, .0A=0 C 0A=0 B0B=0C=2c m故选B.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线 的作法，注意掌握数形结合思想的应用.8.如图，4ABC中，DE/ BG FB, FC分别平分/ B和/C,已知 BC=20 AB=18,AC=16则 ADE的周长是（A. 30 B. 32 C. 34 D. 36【分析】根据DE/ BC FB, FC分别平分/ B和/C,可彳#: / DBF之FBC之DF0 进而得出DF=DB同理得出EF=EC所以 ADE勺周长

8、为AB+AC然后根据AB和 AC的长度即可求出结果.【解答】解：= DE/ BG /BFD力 FBC /EFC4 BCF.FC分别平分/ B和/C, /DBF力 FBC /ECF4 BCF /BFD力 DBF /EFC4 ECFDF=DB EF=ECADE勺周长=AD+AE+D,EDE=DF+EF ADE勺周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC. AB=18 AC=16.ADE勺周长=34.故选C.【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及 性质，三角形的周长，关键在于根据相关的性质定理推出DF=DB EF=EC然后进行正确的等量代换求出 ADE的周长=AD+BD+

9、AE+EC=AB+AC9.同学们都玩过跷跷板的游戏，如图，是一个跷跷板的示意图，立柱 OC与地 面垂直，OA=OB当跷跷板的一头着地时，/ OAC=25 ,则当跷跷板的另一头 B着地时/ AOA等于（）A C 3A. 25B. 500C. 600D. 130°【分析】欲求/A' OA的度数，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 和，可知/ A OAW OAC廿OB C,又 OA=OB,根据等边对等角，可知/ OAC= /OB C=20 .【解答】解：.OA=OB, ./OAC=OB C=25 ,丁 / A OAN OAC+ OB C=2Z OAC=50 .故选B.【点评】

10、主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.10.如图，等腰三角形 ABC中，/BAC=90 ,在底边BC上截取BD=AB过D作Dn BC交AC于E,连接AD,则图中等腰三角形的个数是（）【分析】三角形ABC是等腰三角形，且/ BAC=90 ,所以/ B=Z C=45 ,又DE ，BG所以/ DECWC=45 ,所以 EDC是等腰三角形，BD=AB所以 ABD是 等腰三角形，/ BADW BDA 而/ EAD=90 - Z BAD / EDA：90° - / BDA 所以 / EADW EDA所以 EAC®等腰三角形，

11、因此图中等腰三角形共 4个.【解答】解：.三角形ABC是等腰三角形，且/ BAC=90 , / B=/ C=45 ,v DEL BC, ./ EDBW EDC=90 ./DECW C=45 , .EDO等腰三角形，v BD=AB . ABC®等腰三角形，丁 / BADW BDA而/EAD=90 - Z BAD / EDA=90 - Z BDA丁 / EADW EDA.EAD等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个.故选D.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理；由已知条 件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键.11.如图，点 O是 ABC中/ABC与/A

12、CB的平分线的交点，OD/ AB交BC于D点，OE AC交BC于E点，若BC=20cm则 ODE勺周长为（）陞B D E CA. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 22cm【分析】ODE勺周长=OD+DE+O的以先证明BD=OD CE=OE则OD+DE+OE=BC 得出.【解答】解：: OD/ AB ./ABOW BOD. OBW/ ABC ./ABOW OBD ./ABOW BODBD=OD则同理可得CE=OE ODE勺周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=20cm故选C.【点评】本题利用了：两直线平行，内错角相等；角的平分线的性质； 等边对等角.二.解答题（共8小题）AE

13、平分/ BAC BEX AE于 E, ED/ AG12. （2016秋?宝塔区期中）如图，已知 /BAE=42 ,求 / BED的度数.【分析】已知AE平分/BAG ED/ AG根据两直线平行同旁内角互补，可求得 /DEA勺度数，再由三角形外角和为 360°求彳3/ BED®数.【解答】 解：.BE! AE； /AEB=90v AE平分 / BAC. / CAEW BAE=42Xv ED/ AC，/AED=180 - / CAE=180 - 42° =138°丁. / BED=360 - / AEB- / AED=132【点评】此题考查平行线的性质和三角

14、形外角和定理.两直线平行，同旁内角 互补.13.在 ABC中，/ABC=Z C, BD平分/ ABC 交 AC于 D, AE±BR 垂足为 E.【分析】首先过点A作AF/ BG交BD的延长线于点F,由在ABCt, / ABC=2/C, BD平分/ABC易证得 ADF ABF ADBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE即可证得 AC=2BE【解答】证明：过点A作AF/ BG交BD的延长线于点F, / F=/ DBC / FAD=/ C, ./ABC=Z C, BD 平分/ABC ./ABDW DBCh C, / F=/ FADW ABD BD=CD . AD=DF AB=A

15、Fv AE! BD,BE=EF=-BF, 2，vAC=AD+CD=DF+BD=BF . AC=2BE【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定.此题难度较大，解题的关键是 准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用.14.如图所示.zABC中，AE是/A的平分线，CCL AE于D求证：/ ACA / B.【分析】延长CD交AB于F点，可证明 ACDt AFDr等.卞g据/ AFC是 BCF的外角可证结论.【解答】证明：延长CD交AB于F点.: AE是/ A的平分线，CD± AE /FAD力 CAD /ADCW ADF=90 .又AD公共, .ADC AADF ./ACDW AFD /AFC

16、是 BCF0勺外角， /AFO / B. ./ACD> / B.【点评】此题考查三角形全等的判定和性质及三角形外角的性质.作出辅助线 建立两角的联系是难点.15.如图，在等腰 ABC中，AB=AC AD是BC边上的高，点E、F分别是边ABAC上的点，且EF/ BC.(1)试说明 AEF是等腰三角形；(2)试比较DE与DF的大小关系，并说明理由.S D C【分析】(1)首先利用等腰三角形的性质得到/ B=Z C,再结合平行线的性质得 至|J/AEF=ZAFE,利用等角对等边即可证得；(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得 AD是线段EF的垂直平分线，然后根 据线段的垂直平分线的性质即可证得

17、.【解答】解：(1) V EF/ BC ./AEF=Z B, /AFE=Z C.又AB=AC / B=/ C,./AEF=Z AFEAE=AF即AEF是等腰三角形；(2) DE=DF理由如下：.飞比等腰三角形ABC的底边上的高，AD&是/ BAC的平分线.又.AEF是等腰三角形，一AG是底边EF上的高和中线，ADL EF, GE=GFAD线段EF的垂直平分线，DE=DF【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质, 正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键.16.如图,在4ABC中,AB=ACR E分另是BC?口 AC上的点，且DE/ AB EA=ED请你说明A

18、D垂直平分BC【分析】由平行线的性质、等腰 AED的性质推知AD平分/ BAC则由“等腰三 角形三合一的性质”证得结论.【解答】证明：如图，: EA=ED /2=/ 3.又 : DE/ AB,/ 1=/ 3,./ 1=/ 2,即 AD平分/ BAC又AB=ACAD是边BC的中垂线，即AD垂直平分BC.B D C【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质.难度不大，属于基础题.17. （2017春?蓝田县期末）如图，在 ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接 DF,交AC于点E,连接BE, ZA=Z ABE（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB=AC /A=46时，

19、求/ EBC及/F的度数.【分析】（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；（2）根据等腰三角形的性质求出/ ABE结合图形计算即可.【解答】（1）证明：:/ A=Z ABEEA=EBvAD=DB DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：丁/ A=46 , ./ABEWA=46° , v AB=AC ./ABCW ACB=67 , ./EBCW ABO /ABE=21 ,/ F=90° - / ABC=23 .【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形 内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的 关键.18. （2017?平谷区二模）如图，在 ABC中，BD平分/ ABC交AC于点D, DE/BC交 AB于点 E, EF± BDT点 F.求证：/ BEF玄 DEF【分析】根据角平分线的定义得到/ ABDWCBD根据平行线的性质得到/ EDB