弯曲应力7-1(13年)1

1、实验报告问题实验报告问题1 1、抄书，抄与本实验无关的内容、抄书，抄与本实验无关的内容( (仪器）！仪器）！2 2、没有实验数据，无计算结果；、没有实验数据，无计算结果；3 3、对问题不分析，无讨论，无总结；、对问题不分析，无讨论，无总结；基础实验提倡研究，希望提出问题基础实验提倡研究，希望提出问题点滴之间培养科学研究素质点滴之间培养科学研究素质第七章 弯曲应力（bending stress)强度问题强度问题刚度问题刚度问题弯矩、剪力弯矩、剪力弯曲问题的分析过程：弯曲问题的分析过程：弯曲内力弯曲内力 弯曲应力弯曲应力 弯曲变形弯曲变形拉（压）拉（压）轴力轴力NAN扭转扭转扭矩扭矩TpIT弯曲弯

2、曲弯矩弯矩M剪力剪力Q？应力应力内力内力载荷载荷构件构件问题：梁弯曲时，横截面上有何应力？问题：梁弯曲时，横截面上有何应力？正应力造成弯矩正应力造成弯矩剪应力造成剪力剪应力造成剪力梁段梁段横截面上内力横截面上内力 剪力：剪力：Q 弯矩：弯矩：MdAQ剪应力和正应力的分布规律是什么？剪应力和正应力的分布规律是什么？横截面上剪应力横截面上剪应力 横截面上正应力横截面上正应力yz ydAM超静定问题超静定问题M Q本章主要内容本章主要内容一一. 弯曲正应力弯曲正应力二二. 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件三三. 弯曲剪（切）应力及强度条件弯曲剪（切）应力及强度条件四四. 弯曲中心弯曲中心五五.

3、提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施一一.弯曲正应力公式弯曲正应力公式Normal stress in bending beam1、限制：、限制：1）纯弯曲纯弯曲：Q=0， M=常量常量CDCD段为纯弯曲段为纯弯曲其余为横力弯曲其余为横力弯曲2）平面弯曲平面弯曲： 外力作用在对称面内，外力作用在对称面内， 梁变形后为一平面曲线。梁变形后为一平面曲线。 以以纯弯梁纯弯梁为研究对象，研究梁为研究对象，研究梁横截面上的横截面上的正应力正应力分布规律。分布规律。1、变形关系、变形关系2、物性关系、物性关系3、静力平衡关系、静力平衡关系 研究思路研究思路：回忆拉压杆、圆轴扭：回忆拉压杆、圆轴扭转

4、问题的研究过程。转问题的研究过程。2、变形规律1 1）横线仍是直线，只是发生相对转动，仍与纵线正交。）横线仍是直线，只是发生相对转动，仍与纵线正交。2 2）纵线弯曲成曲线。且梁的一侧伸长，另一侧缩短。）纵线弯曲成曲线。且梁的一侧伸长，另一侧缩短。以上是以上是外部外部的情况，的情况，内部内部如何？如何？1 1）横线仍是直线，只是发生相对转动，仍与纵线正交。）横线仍是直线，只是发生相对转动，仍与纵线正交。2 2）纵线弯曲成曲线。且梁的一侧伸长，另一侧缩短。）纵线弯曲成曲线。且梁的一侧伸长，另一侧缩短。1 1、平面假设：、平面假设： 横截面变形后仍为平面，横截面变形后仍为平面， 并垂直于变形后梁的轴

5、线，并垂直于变形后梁的轴线， 只作相对转动。只作相对转动。2 2、纵面之间无挤压。、纵面之间无挤压。 推论：推论：1、横截面上只有正应力。（单向应力状态）、横截面上只有正应力。（单向应力状态）2、梁变形后，必存在中性层、梁变形后，必存在中性层不伸不缩的纵面。不伸不缩的纵面。中性轴中性轴中性层与横截面交线。中性层与横截面交线。3. 建立公式目标：求横截面各点正应力。目标：求横截面各点正应力。坐标选取：坐标选取： X梁的轴线。梁的轴线。 Y横截面对称轴。横截面对称轴。 Z中性轴。中性轴。问题性质：问题性质：无限多度超静定问题。无限多度超静定问题。1）几何方程纯弯曲时，纵向线应变纯弯曲时，纵向线应变

6、沿截面高度线性分布。沿截面高度线性分布。纵向正应变为纵向正应变为变形前：变形前： dooaa _ dyaa)( 变形后：变形后：aaaa dddy )(1) y 2）物理方程线弹性材料，胡克定律线弹性材料，胡克定律(2) E 横截面上任一点的正应力与横截面上任一点的正应力与该点到中性轴距离该点到中性轴距离y y成正比。成正比。纵向纤维无挤压纵向纤维无挤压 单向应力状态。单向应力状态。问题：中性问题：中性轴在哪里？轴在哪里？)3( yE (1) (2)(1) yzy3）平衡方程 0X MMz(3) (4)截面对截面对z z轴的静矩为轴的静矩为0 00 E0 zS结论结论1 1：中性轴通过截面形心

7、。：中性轴通过截面形心。0 AzS AydA NE ydAE E zyMzMyM)3( yE )5( 0 AydAzM 0 yM)6( MdAyMAz )(4 0dANA (3) (5)0 yM yzIE AyzdAE AdAyzE AyzyzdAI截面对截面对y y、 z z轴的惯性积轴的惯性积结论结论2 2：y.zy.z为一对主形心惯性轴。为一对主形心惯性轴。 yz I0zyMzMyM)3( yE )5( 0 AydAzMM Mz IEz dAyEA 2dAyEA 2(3) (6) AzdAyI2-截面对截面对z z轴的惯性矩轴的惯性矩zIyM 代入（代入（3 3）式：）式：)3( yE

8、zyMzMyM)3( yE )6( MdAyMAz 1zEIM zIyM 讨论：1.弯曲正应力分布规律：弯曲正应力分布规律：1） 正比于正比于y。2） 沿高度线性分布。沿高度线性分布。3）中性轴处）中性轴处 =0。（。（y=0）2.2.最大弯曲正应力：最大弯曲正应力：zzmaxmaxWMIyM yIWmaxzz 抗弯截面系数抗弯截面系数6bhW 22h12bhz3 矩形：矩形：zy32d W 32d64d z4 圆形：圆形：3.3.梁变形后曲率（中性层曲率）梁变形后曲率（中性层曲率）4.4.应用条件应用条件 1 1）纯弯曲。）纯弯曲。2 2）对称截面。）对称截面。3 3）比例极限以内）比例极限

9、以内E E+ +=E=E- -。* * 推广：推广： 1 1）纯弯曲）纯弯曲精确公式；非纯弯曲精确公式；非纯弯曲近似。近似。 2 2）对称截面：外力作用在对称轴上，）对称截面：外力作用在对称轴上， 非对称截面：外力作用在主轴非对称截面：外力作用在主轴Iyz = 0 3 3）超过比例极限，不能用虎克定律。）超过比例极限，不能用虎克定律。 E E+ + E E- -，分别考虑。分别考虑。 截面的抗弯刚度截面的抗弯刚度zEIZEIM1 yIMz pIT 类似扭转剪应力公式类似扭转剪应力公式实验力学实验力学验证验证、弹性力学弹性力学印证印证了公式的精确性了公式的精确性 非常成功！非常成功！q横力弯曲时

10、，截面上有切应力，平面假设不严格成立横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立 但当梁跨度但当梁跨度 l 与高度与高度 h 之比大于之比大于5（即为细长梁）时（即为细长梁）时 弹性力学指出：上述公式近似成立弹性力学指出：上述公式近似成立注意注意 对弯曲应力线性分布的认识，得之不易对弯曲应力线性分布的认识，得之不易yIMz 伽利略（伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为：的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的弯曲应力是均匀分布的 （两门新科学的对话（两门新科学的对话1638年出版年出版 ） 因而得不到正确的公式因而得不到正确的公式 大科学家有时也弄错大科学家有时也弄错二

11、、弯曲正应力强度条件二、弯曲正应力强度条件strength criterion of normal stress in bendingstrength criterion of normal stress in bending zzmaxmaxWMIyM当当 + + - - ，应分别考虑。，应分别考虑。当中性轴不对称，当中性轴不对称， W Wz z + + WWz z - - 时，分别计算。时，分别计算。强度条件：强度条件：对全梁，找出可能的危险截面，对全梁，找出可能的危险截面，M Mmaxmax+ +，M Mmaxmax- -， 全面考虑。全面考虑。 1 1 矩形：矩形：横放、竖放？横放、竖

12、放？2. 2. 矩形改进矩形改进材料不对称材料不对称 + + - - 时，采用不对称截面。时，采用不对称截面。n铸铁：铸铁： + + - - 钢筋混凝土：钢筋混凝土：钢筋钢筋ab方法总结（1 1）理想模型法：）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2 2）实验）实验-观察观察-假设法：假设法：中性层不伸缩；平面假设中性层不伸缩；平面假设（3 3）白箱法：）白箱法：外力外力内力内力变形变形胡克定律胡克定律平衡平衡（4 4）数学方法）数学方法微分微分单元体单元体积分积分应力合成内力应力合成内力平面弯曲平面弯曲例题例题已知：已知：I Iz z= 26.1= 26.

13、11010-6-6m m4 4 , , t t=40MPa, =40MPa, c c=110MPa =110MPa 求：校核梁的正应力强度求：校核梁的正应力强度zy2003016030y2=142y1=4840kN200kN/m500900400ABCDRARB例题例题解：解：1. 求支反力求支反力 RA=14.3 kN () RB=105.7 kN()2. 内力计算内力计算 作弯矩图作弯矩图 MB=7.15 kNm, Mc=16 kNmzy2003016030y2=142y1=4840kN200kN/m500900400ABCDRARB弯矩图必须画！弯矩图必须画！14.3 105.7 M (

14、kNm)7.1516讨论40kN200kN/m500900400ABCDRARBZIyM zy2003016030y2=142y1=48分清各点受力！分清各点受力！BC14.3 105.7 M (kNm)7.15164. 压应力压应力强度校核强度校核 cZCcIyMC MPa87101 .261014210166332max截面：截面：3.拉应力拉应力强度校核强度校核maxtB 截面：截面：例题例题40kN200kN/mABCD zy2003016030y2=142y1=48maxcB 截面：截面：maxtC 截面：截面：BC t MPa9 .38101 .26101421015. 7633Z

15、BIyM2 ZCIyM1 t MPa4 .29101 .2610481016633ZBIyM1 c MPa1 .13101 .2610481015. 7633M (kNm)7.1516讨论讨论B 截面截面tmax= 38.9 MPa,C 截面截面tmax= 29.4 MPa,最大应力不一定在最大弯矩处取得！最大应力不一定在最大弯矩处取得！2. 将将T形梁倒置，强度又如何？形梁倒置，强度又如何？40kN200kN/mABCD比较比较1：zy20030160y2=142y1=48M (kNm)7.1516思考题：思考题：1. 弯矩和剪力分别由什么内力组成，试画图说明。弯矩和剪力分别由什么内力组成，

16、试画图说明。2. 研究梁的正应力为什么要考虑几个方面？研究梁的正应力为什么要考虑几个方面？ 它们是什么？它们是什么？ 表达式是什么？表达式是什么？3. 什么是梁的中性层，中性轴？试证明矩形梁的中性轴什么是梁的中性层，中性轴？试证明矩形梁的中性轴 必通过横截面的形心。必通过横截面的形心。4. 什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲 率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对 吗？为什么吗？为什么 ？5. 纯弯曲梁的正应力公式的使用条件和范围是什么？纯弯曲梁的正应力公式的使用条件和范围是什么？ 可否推广到一般梁？可否推广到一般梁？6. 写出抗弯截面模量的数学式，对圆截面，写出抗弯截面模量的数学式，对圆截面， 抗弯抗弯 和抗扭截面模量有何关系？证明之和抗扭截面模量有何关系？证明之 。7. 材料力学研究应力问题的一般方法何步骤是什么？材料力学研究应力问题的一般方法何步骤是什么？ 试总结之。试总结之。8. 有一矩形梁，由直径为有一矩形梁，由直径为D的圆木切割而成，的圆木切割而成， 为使梁的强度最大，试问高宽比应为多少？为使梁的强度最大，试问高宽比应为多少？