二次函数压轴题(精华版)

1、标准实用2016年10月26日二次函数压轴题 1一.解答题(共30小题)1 .如图，二次函数 y=ax2+bx的图象经过点 A (2, 4)与B (6, 0).(1)求a, b的值；(2)点C是该二次函数图象上 A, B两点之间的一动点，横坐标为x (2vxv6),写出四边形OACB勺面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求 S的最大值.文案大全与y轴交于点B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为2 .如图，已知抛物线 y= - x2+mx+3与x轴交于A, (3, 0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当 PA+PC勺值最小时，求点 P的坐标.A,与x轴

2、交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线2交于A E两点，与x轴交于 B C两点，且B点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式；P的坐标.(2)动点P在x轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点4 .如图，抛物线 y=ax2+bx- 3a经过A(- 1, 0)、C (0, -3)两点，与x轴交于另一点 B. (1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D (m - m- 1)在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标.(3)在(2)的条件下，连接 BD问在x轴上是否存在点 巳使/ PCBW CBD若存在，请 求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.A,点 A 的坐标(4,3

3、), t 皿/,5 .如图，二次函数 y=ax2+bx-3的图象与x轴交于 B C两点(点B在点C的左侧)，一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点(1)求二次函数和一次函数的解析式；(2)若点P在第四象限内的抛物线上，求 ABP面积S的最大值并求出此时点 P的坐标;(3)若点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的在倍，求点M的坐标.6 .如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为 A (3, 0),与y轴的交点为B (0,3), 其顶点为C,对称轴为x=1 .(1)求抛物线的解析式；M的坐标.(2)已知点M为y轴上的一个动点，当 ABM为等腰三角形时，求点(

4、1)求A点的坐标；(2)在x轴上是否存在点 巳使4OA幅等腰三角形？若存在写出 P点坐标；若不存在，说明理由.8 .如图，对称轴为直线 x= - 1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A, B两点，其中点A的坐 标为(-3, 0),点C为抛物线与y轴的交点.(1)求函数的解析式；(2)若点P在抛物线上，且 Spo=4Saboc求点P的坐标；(3)设点Q为线段AC上的动点，作 Q(Xx轴交抛物线于点 D,求线段QD长度的最大值.9 .如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 A( - 2, 0)和点B (6, 0),与y轴交于点 C (0, 3),点D是抛物线上的点，且 CD/ x轴，点E

5、是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)平移该抛物线的对称轴所在直线L,当L平移到何处时，恰好将 BCD勺面积分为相等的两部分？(3)点F在线段CD上，若以点C, E, F为顶点的三角形与 COE相似，i求点F的坐标.10 .如图，抛物线 y=ax2+bx+2与x轴交于点 A (1, 0)和B (4, 0).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)若抛物线的对称轴交 x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC/ x轴，与对 称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OEC思平行四边形，求点 C的坐标.交于点D (0, 4),点C ( - 2, n)也在此抛物线上.(1)求此抛物线的解析式及点

6、 C的坐标；(2)设BC交y轴于点E,连接AE, AC请判断 ACE的形状，并说明理由；(3)连接AD交BC于点F,试问：以A, B, F为顶点的三角形与 ABCffi似吗？请说明理由.12.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为 (-1, 0),与y轴交于点 C (0, 3),作直线 BC动点P在x轴上运动，过点 P作PMLx轴，交抛物线于点 M交直线BC于点N,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，求线段 MN的最大值；(3)当点P在线段OB上运动时，若 CMN以MNK/腰的等腰直角三角

7、形时，求 m的值；(4)当以C。M N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 m的值.如13 .已知：如图所示，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A (1, 0), B (3, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件Sapab=1的点P有几个？并求出所有点 P的坐标;(3)设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M使彳MAM周长最小？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.14 .如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A (-3, 0)、B (1, 0)、C (0, 3).(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线在第二

8、象限上的一点，设 PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为 D, D吐x轴于点E,在y轴上是否存在点 M使彳ADM等腰直 角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.15 .已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)过点 A(- 3, 0), B (1, 0), C (0, 3)三点.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)若抛物线的顶点为 P,连接PA AG CP,求 PAC的面积；(3)过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D,连接PR BD, BD交AC于点E,判断四边形16 .如图，二次函数 y=x2+2x+c的图象与x轴交于点A和点B (1

9、, 0),以AB为边在x轴上 方作正方形ABCD动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 x轴的正方向匀速运 动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿 CB匀速运动，当点 Q到达终点 B时，点P停止运动，设运动时间为 t秒.连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)求点A的坐标；(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段 OE的长有最大值，并 求出这个最大值；(3)在P, Q运动过程中，求当 DPE与以D, C, Q为顶点的三角形相似时 t的值；(4)是否存在t ,使 DCQgDQ翻折得到 DC Q点C'恰好落在抛物线的对称轴上？若 存在，

10、请求出t的值；若不存在，请说明理由.圄1图217 .如图，在平面直角坐标系中， 直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx- 3 (aw0)交于A、B两点， 点A在x轴上，点B的纵坐标为5.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点 A B 重合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB于点C, P PD± AB于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为 m用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值；连结PB,线段PC把 PD的成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1: 2?若存在，直接写出 m的值；若不存在，请说明理由.18 .如图，在平面

11、直角坐标系中，已知矩形ABCM三个顶点B(1, 0), C (3, 0), D (3,4),以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C,动点P从点A出发，以每秒工个单位的速度沿2线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE± x轴交抛物线于点 M交AC于点N.(1)直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)当t为何值时， ACM勺面积最大？最大值为多少？(3)点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段 CD向点D运动，当t为何值时，在线 段PE上存在点H,使以C, Q, N H为顶点的四边形为菱形？19 .如图，二次函数 y=-1-x2-2岂+3 (其中m是常数，且 m

12、>0)的图象与x轴交于A、B m2皿(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,作CD)/ AB,点D在二次函数的图象上， 连接BD, 过点B作射线BE交二次函数的图象于点 E,使得AB平分/ DBE(1)求点C的坐标；(2)求证：型为定值；BE(3)二次函数y=-Lx2-2+3的顶点为F,过点C F作直线与x轴交于点G试说明：以GR BD BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由.20.如图1,平面直角坐标系中， 矩形OABC勺顶点A, C的坐标分别为(-2, 0)、(0, -3), 过点B, C的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点D, E (D在E的左侧)，直线DC与线段AB

13、交于 点F.(1)求抛物线 y=x2+bx+c的表达式；(2)求点F的坐标；(3)如图2,设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线 ED运动，过点P作直线 DC的平行线l ,过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q设点P的运动时间为t秒.当点P在射线ED上运动时，四边形PQFDtB否成为菱形？若能， 求出相应的t的值；若不 能，说明理由；当0WtW4时，设四边形PQFM四边形ODBC1合部分的面积为 S,直接写出S与t的函 数关系式以及相应的自变量 t的取值范围.D21.如图，在平面直角坐标系中, C,且与x轴交另一点A.抛物线y=ax2+bx - 4a与直线y= - x+4交两坐标轴于点

14、B,(1)(2) 标；求抛物线的解析式；B两点.(1)若直线m的解析式为y= - x+2 ,求P, A, B三点的坐标；(2)若点P的坐标为(-2, 2),当PA=PB寸，求点 A的坐标；(3)求证：对于直线l上任意一点 巳在抛物线上都能找到两个不同位置的点A,使得PA=PBC,设已知点D (m m+1)在第一象限抛物线的图象上，求点 D关于直线BC对称的点D'坐抛物线的顶点为 D.(1)求点C D的坐标(用含a的式子表示)；a的值；若不能,(2)当a变化时， ACD能否为直角三角形？若能？求出所有符合条件的点E在边BC上，若/ AEF=90,且 EF交正方形AE=EF请叙述你(1)图

15、1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点 B, C重合).AE=EF是否一定成立？说出你的理由；在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A D两点，当点E滑动到某处时,点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标.与y轴交于点C(0,-2),过A、C画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且 PA=PC求OP的长；(3)若M为线段OB上的一个动点，过点 M做MNF行于y轴交抛物线于点 N当点M运动M的坐标及四边形ACNB0积的最大值？26 .如图

16、，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y=x2-3x的图象与x轴相交于。A两点. (1)求A点和顶点C的坐标；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在直线OB下方的抛物线上是否存在点 P,使得 POB勺面积最大？ 若存在，求出 POB勺最大面积；若不存在，请说明理由.27 .如图，抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(-1, 0)、(0, 3)(1)求此抛物线对应的函数解析式；(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求 ABP面积的最大值；(3)若过点A( - 1,

17、 0)的直线AD与抛物线的对称轴和 x轴围成的三角形的面积为 6,求此直线的解析式.C,点D是抛物线的顶点,28 .如图，抛物线 y= - x2+2x+3与x轴交于点AB,与y轴交于点连接BG BD(1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点D的坐标是 ;(2)若点E是x轴上一点，连接 CE且满足/ ECB=/ CBD求点E坐标；(3)若点P在x轴上且位于点 B右侧，点A、Q关于点P中心对称，连接QD且/ BDQ=45 , 求点P的坐标(请利用备用图解决问题)29 .如图(1),在平面直角坐标系 xOy中，？ OABC勺顶点A的坐标为(2, 0),点C的坐标 为(2, 2),点P在射线OA

18、7;?gOA方向以2个单位长度/s的速度向右运动，点 Q在线段AB上沿AB方向以 g个单位长度/s的速度从点A向点B运动，设点Q运动的时间为t s (0WtW2),射线PQ交射线CB于点D,连接CP(1)求出过Q A、B三点的抛物线的函数关系式；(2)当0V t<1时，求出 PAQ的面积S与t的函数关系式，并求出当 t取何值时，S有 最大值；(3)在点P运动的过程中，/ CP皿一个定值，这个定值是 ;并求出当 PCD为等腰三 角形时t的值；(4)当1wtW2时，线段DP的中点M运动的总路程为图(1 )管用国30 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= - x2+bx+c与x轴交于A D

19、两点，与y轴交于 点B,四边形OBC比矩形，点A的坐标为(1, 0),点B的坐标为(0, 4),已知点E (n 0) 是线段DO±的动点，过点E作PE± x轴交抛物线于点巳 交BC于点G,交BD于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P在直线BC上方时，请用含 m的代数式表示PG的长度；(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点P,使得以P、R G为顶点的三角形与 DEHf似？若存在，求出此时 m的值；若不存在，请说明理由.2016年10月26日二次函数压轴题1参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1. (2016?安徽)如图，二次函数 y=ax2+bx的图象经过点

20、A (2, 4)与B (6, 0).(1)求a, b的值；(2)点C是该二次函数图象上 A, B两点之间的一动点，横坐标为x (2vxv6),写出四边形OACB勺面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求 S的最大值.【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值.【专题】 计算题；二次函数图象及其性质.【分析】(1)把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；(2)如图，过 A作x轴的垂直，垂足为 D (2, 0),连接CD过C作C已AD, CF，x轴，垂足分另1J为E, F,分别表示出三角形 OAD三角形ACD以及三角形BCD勺面积，之和即为 S, 确定出S关于x的函数解析式，并

21、求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出 S的最大值，以及此时x的值.【解答】 解：(1)将A (2, 4)与B (6, 0)代入y=ax2+bx,(2)如图，过 A作x轴的垂直，垂足为 D (2, 0),连接CD过C作CE!AD, CF±x轴，垂 足分另为E, F,Saoad-OC? AD=-X 2X4=4;22Saacet-AD? CE=-X4X (x-2) =2x- 4;22SabcBD? CFX4X ( -x2+3x) = - x2+6x,222贝U S=Soai+Saacd+Sabc=4+2x 4 - x +6x= x +8x)S关于x的函数表达式为 S=- x2+8x (

22、2<x< 6),. S=-x2+8x=- (x 4) 2+16,当x=4时，四边形OACB勺面积S有最大值，最大值为16.【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.2. (2016?宁波)如图，已知抛物线 y= - x2+mx+3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C, 点B的坐标为(3, 0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当 PA+PC勺值最小时，求点 P的坐标.【分析】(1)首先把点B的坐标为(3, 0)代入抛物线y=-x2+mx+3,利用待定系数法即可求得m的值，继而求得

23、抛物线的顶点坐标；(2)首先连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC勺值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案. 【解答】解：(1)把点B的坐标为(3, 解得：m=21. y= - x2+2x+3= - (x-1) 2+4, ，顶点坐标为：(1 , 4).0)代入抛物线 y= x2+mx+3得：0=32+3m+3(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P, 设直线BC的解析式为：y=kx+b ,点 C (0, 3),点 B (3, 0),f0=3k+b, 4)l3=brk= - 1则此时PA+PCW值最小,解得：lb二 3，直线BC的解析式为：y= -x+3,当 x=1

24、时，y= - 1+3=2,当PA+PC勺值最小时，点 P的坐标为:(1, 2).【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题.注意找到点P的位置是解此题的关键.3. (2016?湘潭模拟)如图，已知直线y=JLx+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=-x2+bx+c与直线交于 A 22E两点，与x轴交于 日C两点，且B点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式；P的坐标.(2)动点P在x轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点【考点】二次函数的性质.【分析】(1)根据直线的解析式求得点A (0, 1),那么把A, B坐标代入y=Lx2+bx+c即可2求得函数解

25、析式；(2)让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标. PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点 A是直角顶点，点 E是直角顶点三种情况探讨.【解答】 解：(1) 丁直线y=JLx+1与y轴交于点A, 2A （0, 1）,y=x2+bx+c 过（1,20）和（0, 1）,c-1/口 匕二 一解得，2 .d抛物线的解析式为y=4-x2- -x+1 ;22（2）设点E的横坐标为 m,则它的纵坐标为 Lm2-JLm+1即E点的坐标（m m- Jlm+D ,2222又丁点E在直线y*Lx+1上，2J_m2-m+1= m+1222解得m=0 （舍去），m=4,.E的坐标为（4,3）.（I）当

26、A为直角顶点时，过A作ARLDE交x轴于Pi点，设Pi由Rt AOS Rt PiOA得匹二空,即OA OP（a, 0）易知D点坐标为（-2, 0）,二 151 aa=,2, Pi（L o）.2（n）同理，当 E为直角顶点时，过E作EP2LDE交x轴于P2点,由RtAOS RtPzED得，匹1=卫匚，即OA EP22区i1 ep2.-.EP2=22Z_,2. no-Ws x Vb_15DP2=一22a=A - 2=A!.22P2点坐标为（2L, 0）.2（出）当P为直角顶点时，过 E作EFLx轴于F,设P3 （b、0）,由 / OPA吆 FPE=90° ,彳导/ OPAW FEP, R

27、tAO的 RtAPF由更L=5L得 _=_=k,PF EF 4-b 3解得 bi=3, b2=1,，此时的点P3的坐标为（1, 0）或（3, 0）,综上所述，满足条件的点 P的坐标为（工，0）或（1, 0）或（3, 0）或（工L, 0）.22【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键.4. (2016?株洲模拟)如图，抛物线 y=ax2+bx-3a经过A (- 1, 0)、C (0, -3)两点，与 x轴交于另一点 B.(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D (m - m- 1)在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称

28、的点D'的坐标.(3)在(2)的条件下，连接 BD问在x轴上是否存在点 巳使/ PCB=/ CBD若存在，请 求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)将A ( - 1, 0)、C (0, -3)两点坐标代入抛物线 y=ax2+bx-3a中，列方程组 求a、b的值即可；(2)将点D(m, - m- 1)代入(1)中的抛物线解析式，求 m的值，再根据对称性求点 D 关于直线BC对称的点D'的坐标；(3)分两种情形过点 C作CP/ BD,交x轴于P,则/ PCB=/ CBD连接BD',过点C 作CP / BD ,交x轴于P',分别求

29、出直线CP和直线CP的解析式即可解决问题.【解答】 解：(1)将A( 1, 0)、C (0, 3)代入抛物线y=ax2+bx3a中，得a - b _ 3a=0-3a= - 3解得、-b= - 2y=x2- 2x - 3;(2)将点 D (m, - m- 1)代入 y=x2- 2x - 3 中，得2m 2mr 3= m 1,解得m=2或-1,丁点D (m - m- 1)在第四象限， D (2, - 3), 直线BC解析式为y=x-3, /BCDh BCO=45 , CD =CD=2 OD =3-2=1,，点D关于直线BC对称的点D' (0, -1);(3)存在.满足条件的点 P有两个.过

30、点C作CP/ BD交x轴于 巳 则/ PCBW CBD 直线BD解析式为y=3x-9, .直线CP过点C,，直线CP的解析式为y=3x -3, 点 P坐标（1, 0）,连接BD ,过点 C作CP' / BD',交x轴于P',/ P' CB=Z D' BC根据对称性可知/ D' BC=Z CBD.P' CB=Z CBD;直线BD的解析式为y=x - 1,3 .直线CP过点C, 直线CP解析式为y=lx-3, 3 P'坐标为（9, 0）,综上所述，满足条件的点P坐标为（1, 0）或（9, 0）.【点评】本题考查了二次函数的综合运用.关

31、键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线 BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解.5. （2016?东平县一模）如图，二次函数 y=ax2+bx-3的图象与x轴交于B、C两点（点B 在点C的左侧），一次函数y=mx+n的图象经过点 B和二次函数图象上另一点 A,点A的坐标（4，3）, tan/ABC（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）若点P在第四象限内的抛物线上，求 ABP面积S的最大值并求出此时点 P的坐标；（3）若点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的选倍，求点M的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)过点A作AD，x轴于点D,则D (4, 0),

32、 /ADB=90 ,在RtADB中，根据正 切函数的定义求出 BD=6则B点坐标为(-2, 0),再将B, A两点的坐标代入 y=ax2+bx- 3, 运用待定系数法求出二次函数的解析式；将B, A两点的坐标代入y=mx+n,运用待定系数法求出一次函数的解析式；(2)根据(1)中求出的抛物线的解析式可设点P的坐标为(t, -Lt2-Lt -3),过点P作22PH垂直于x轴交AB于H点，则H (t , -lt+1 )，用含t的代数式表示 PH的长度，再根据 Sa2AB尸!PH? BD,求出Saabf-JLt2+3t+12 ,配方后根据二次函数的性质即可求解；22(3)根据(1)中求出的直线 AB

33、的解析式可设点 M的坐标为(p, Xp+1),由点M与点A的2距离是它到x轴距离的亚倍，列出关于p的方程，解方程即可.2【解答】解：(1)过点A (4,3)彳ADLx轴于点D,则D (4,0), / ADB=90 .在 RtADB中， tan / ABD里1=2=1,BD BD 2.BD=6, B 点坐标为(-2, 0).将 B (- 2, 0), A (4, 3)代入 y=ax2+bx - 3,ZH f4a- 2b- 3=0得，16a+4b- 3-3解得：,I万，二次函数的解析式为 y=x2- x - 3;22将 B ( - 2, 0), A (4, 3)代入 y=mx+n, r 1ZB f

34、 _ 2m+n=0 idfz-得-,解得-2 ,，一次函数解析式为 y=-x+1 ；2(2)设点P的坐标为(t ,上八-t - 3),过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H (t , 221+1 ),2，PH=( 1+1 ) ( t2 - t - 3) = 12+t+4 ,2222 SaabP=Saah+Sabh=XpH? DM+LpH? BM=LpH? BD!(Jkt2+t+4)? 6= -JLt 2+3t+12=2222221) 2+2lL, 当t=1即P点坐标为(1, - 3)时， ABP的面积S最大，此时Saabf=21;2(3)设点M的坐标为(p,1p+1), 2由题意，得(p-

35、4 )，+ 停p+1 - 3：2= |_p+1|， 化简整理，得p2- 12p+20=0,解得p=2或10,当 p=2 时，J_p+1=J_x 2+1=2; 22当 p=10 时，_Lp+1=_Lx 10+1=6.22故所求点M的坐标为(2, 2)或(10, 6).【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式，三角形的面积，两点间的距离公式， 平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离等重 要知识点，难度不是很大.运用数形结合及方程思想是解题的关键.6. (2016?镇江二模)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为 A (3, 0),与y轴

36、的交点为B (0, 3),其顶点为C,对称轴为x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为y轴上的一个动点，当 ABM为等腰三角形时，求点 M的坐标.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式.【分析】（1）直接根据题意列出关于 a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题.（2）运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决 问题.【解答】解：（1）由题意得：9a+3b+c=0一'二12a ，I c=3解该方程组得：a= - 1, b=2, c=3,，抛物线的解析式为 y= x2+2x+3.（2）由题意得：OA=3

37、OB=3由勾股定理得：AB2=32+32, .AB=3 二当 ABMI为等腰三角形时，若AB为底，.OA=OB，此时点O即为所求的点M,故点M的坐标为M （0, 0）;若AB为腰，以点B为圆心，以3a长为半径画弧，交 y轴于两点，此时两点坐标为 M （0, 3-35 或M （0, 3+3-八），以点A为圆心，以3a长为半径画弧，交 y轴于点（0, - 3）;综上所述，当 ABMK1等腰三角形时，点 M的坐标分别为【点评】该题主要考查了抛物线与 x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式等知识点及 其应用问题；解题的关键是灵活运用、大胆猜测、科学解答.7. (2016?丹阳市校级模才A)已知点A

38、(2, a)在抛物线y=x2上(1)求A点的坐标；(2)在x轴上是否存在点 巳使4OA幅等腰三角形？若存在写出 P点坐标；若不存在，说 明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)直接将A点代入解析式求出即可 A点坐标即可；(2)分别根据以。为顶点时，以A为顶点时，以P为顶点时求出符合题意的点的坐标即可.2 .【解答】 解：(1) ,一点A (2, a)在抛物线y=x上，a=22=4,，A点的坐标为：(2, 4);(2)如图所示：以。为顶点时，AO=PO=27或 AO=AP=2 在 点 P坐标：(2向，0), (2内，0),以A为顶点时，AO=OP，点P坐标:(4, 0);以P为顶点时，OP

39、' =AP , .AE2+P' E2=P' A2,设 AP' =x,贝U 42+ (x 2) 2=x2,解得：x=5, 点 P坐标：(5, 0),综上所述：使OA呢等腰三角形则P点坐标为：(2加，0),(-2点，0),(4,0),(5,0).【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的性质以及等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键.8. (2016?宁津县二模)如图，对称轴为直线x=- 1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A, B两点，其中点A的坐标为(-3, 0),点C为抛物线与y轴的交点.(1)求函数的解析式；(2)若点P在抛物线上，且 Spo=4Sa

40、boc求点P的坐标；(3)设点Q为线段AC上的动点，作 Q(Xx轴交抛物线于点 D,求线段QD长度的最大值.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线 x= - 1,交x轴于A、B两点，其中A点的 坐标为(-3, 0),根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；(2) a=1时，先由对称轴为直线 x= - 1,求出b的值，再将B (1,0)代入，求出二次函数 的解析式为y=x2+2x - 3,得到C点坐标，然后设 P点坐标为(x, x2+2x-3),根据Sapo=4S bo冽出关于x的方程，解方程求出 x的值，进而得到点 P的坐标；(3)先运用待定系数法求出

41、直线AC的解析式为y=-x- 3,再设Q点坐标为(x, -x-3),则D点坐标为(x, x2+2x-3),然后用含x的代数式表示 QD根据二次函数的性质即可求出 线段QD长度的最大值.【解答】 解：(1) ,对称轴为直线 x= - 1的抛物线y=x2+bx+c (aw0)与x轴相交于A、B 两点， A、B两点关于直线x=- 1对称， 点A的坐标为(-3, 0),.点B的坐标为(1, 0);(2)二.抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线 x= - 1,，-=-1,解得 b=2.2将 B (1, 0)代入 y=x2+2x+c,得 1+2+c=0,解得 c=- 3.则二次函数的解析式为 y=x2+

42、2x - 3,，抛物线与y轴的交点C的坐标为(0, -3), OC=3 设P点坐标为(x, x2+2x - 3), SA PO=4SA bocx 3X |x|=4 X-Lx 3X 1,22|x|=4 , x=±4.当 x=4 时，x2+2x3=16+83=21 ;当 x= -4 时，x2+2x- 3=16 - 8- 3=5.点P的坐标为(4, 21)或(-4, 5);(3)设直线AC的解析式为y=kx+t (kw0)将A ( - 3, 0), C (0, - 3)代入,-3k+t 二 0 ”日,解得,t- 3即直线AC的解析式为y=-x- 3.设 Q点坐标为(x, - x-3) (-

43、3WxW0),则 D点坐标为(x, x?+2x-3),QD=( - x-3) - (x2+2x-3) =-x2- 3x= - ( x+旦)2+224当x=一旦时，QM最大值24【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题.此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想, 构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型.学会9. (2016?丹东模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 A( - 2, 0)和点B (6, 0),与y轴交于点C (0, 3),点D是抛物线上的点，且 CD/ x轴,点E是抛物线的顶点.(1)求抛物线

44、的解析式；(2)平移该抛物线的对称轴所在直线的两部分？L,当L平移到何处时,恰好将 BCD勺面积分为相等【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式;F的坐标.(2)首先求得 D的坐标，则CD的长即可求得，进而求得 BCD的面积，当l平移至li, li 与CD BC分别交于点 M N,易证 CM2 BO(C求得CM M弼关系，利用三角形的面积 公式即可求解；(3)分成 CO9 ECFA CO9 FCE两种情况，利用相似三角形的对应边的比相等即可 求解.2b+c=0【解答】解：(1)根据题意得：，36a+6b+c=0, «二 3a=_l解得：，b=1 .lc=3则抛物线的解析式是

45、 y= - -lx2+x+3;4(2)抛物线y= Lx2+x+3的对称轴是x=2.41. CD/ x轴，C的坐标是(0, 3), .D的坐标是(4,3), Sabc/-CC? OC=Lx 4X3=6.22如图，当l平移至li, li与CD BC分别交于点 M Nl./ MCN= CBO / CMN= BOC=90 , . CMN BOC：.L=L=k=2, MN OC 3.CM=2MN .Sacm=CM? MN= C机24Sacm= Sabced,.cM=3,4.CM=2 ；当l平移到直线x=2立处时，恰好将 BCD的面积分成面积相等的两部分；(3)设对称轴l交CD于点P,过点E作EQLy轴，

46、垂足为点 Q.,. E (2, 4), C (0, 3) , CD/ x 轴，-='OQ CP 2?又. / EQO=EPC=9O , .EQ6 EPC / COEh ECD- C (0,_3), E (2, 4),.CE=75, OE=275.分成两种情况：当 CO9 ECF是， 竺=理,CE CF.1.cf=M,3.F的坐标是(里，3);3当CO9 4FCE 时，0=01, CF CE.CF=1.2.F的坐标是（老，3）.2【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质, CO9 ECFA com FCE两种情况进行讨论是关键.正确分成410. (2016?曲

47、靖模拟)如图，抛物线 y=ax2+bx+2与x轴交于点A (1, 0)和B (4, 0).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)若抛物线的对称轴交 x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC/ x轴，与对 称轴右侧的抛物线交于点 C,且四边形OEC思平行四边形，求点 C的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)由点A B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由抛物线的对称轴为x=-L,代入数据即可得出结论;2a(2)由平行四边形的性质即可得出点C的横坐标，代入抛物线解析式中即可得出点C的坐标.【解答】 解：(1)将点A (1, 0)、B (4, 0)代入y=ax2+bx+2中

48、，得：,解得：，2 ,lL0=16a+4b+2b=_ A2，抛物线的解析式为-yx+2-Ca>抛物线的对称轴为 x=-Jl=JL.2a 2(2) OEC思平行四边形，OE=l,2 . FC=回，2，C点横坐标x=OE+FC=5令 y=L/ -也_工+2中 x=5,则 y=2,【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出函数解析式；(2)根据平行四边形找出点 C的横坐标.本题属于基础题， 难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.11. (2016?邵阳模拟)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (

49、aw0)与x轴交于点A ( - 4, 0), B (1, 0),与y轴交于点 D (0, 4),点C (- 2, n)也在此抛物线上.(1)求此抛物线的解析式及点 C的坐标；(2)设BC交y轴于点E,连接AE, AC请判断 ACE的形状，并说明理由；(3)连接AD交BC于点F,试问：以A, B, F为顶点的三角形与 ABCffi似吗？请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)由A、B、D三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，把 C点坐标代入 解析式可求得n的值，可求得 C点坐标；(2)把C点坐标代入抛物线解析式可求得n,可得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，则可求得

50、 E点坐标，利用勾股定理可求得AC AE CE的长，则可判断 ACE的形状；(3)由A、D坐标可先求得直线 AD解析式，联立直线 BC AD解析式可求得F点坐标，又可求得BF、BC和AB的长，由题意可知/ ABF± CAB若以A B, F为顶点的三角形与 ABC相似只有/ BFA=Z CAB则判定电和aL是否相等即可.AB BC【解答】解：(1)二.抛物线经过 A、B、D三点，'16a- 4b+c=0fa=- 1，代入抛物线解析式可得, a+b+c=0,解得4 b=-3 ,4二 4lc=4，抛物线 y=-x2- 3x+4,点C ( - 2, n)也在此抛物线上，n= 4+6+

51、4=6,.C点坐标为(-2, 6);(2) ACE为等腰直角三角形，理由如下：设直线BC解析式为y=kx+s ,一 口 k+s=O “ Q f k=- 2把B、C两点坐标代入可得，解得，2k+s=615=2 直线BC解析式为y= - 2x+2,令x=0可得y=2 , .E点坐标为(0, 2), A (4, 0), C ( 2, 6),AC=/-2- (- 4)2 + 62=2v， AE=/£F、质=2 赤,CE'To _ ( _ 2) (2 6)2=亭=2泥,.AE2+C=20+20=40=A(c,且 AE=CE. ACE为等腰直角三角形；(3)相似，理由如下：设直线AD解析

52、式为y=px+q ,把A、D坐标代入可得,，直线AD解析式为y=x+4 ,联立直线AD BC解析式可得,产工+4y= - 2x+210.f点坐标为（-2,工1）,33,所/口-( -4)2+借) 2=，B4-(_2) 2+(”6)2=3饵且 AB=1-四ABBFA=Z CABABBC一一BFAB .ABD CBA【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质等知识点.在（1）中注意待定系数法的应用步骤是解题的关键，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得F点的坐标是解题的关键， 注意勾股定理的应用.本 题考查知识点较多，综合性较强，难度适

53、中.12. （2016?长春校级一模）如图，抛物线 y= -x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），点A的坐标为（-1, 0）,与y轴交于点C （0, 3）,作直线BC.动点P在x轴上 运动，过点P作PMLx轴，交抛物线于点 M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为 m（1）求抛物线的解析式和直线 BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段 MN的最大值；（3）当点P在线段OB上运动时，若 CMN以MNK/腰的等腰直角三角形时，求m的值；（4）当以C。M N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值.%【考点】二次函数综合题.【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标,再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；(2)用m可分别表示出 M M的坐标，则可表示出 MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；(3)由题意可得当 CMN以MNK/腰的等腰直角三角形时则有 MN=MC且MCL MN则可求表示出M点坐标，代入抛物